معادلات لاجرانج ... والنسبية الخاصة !

**رجب مصطفى** · 05-27-2011 05:26 AM

بسم الله الرحمن الرحيم

الحمد لله الذي صدق وعده، ونصر عبده، وأعز جنده، وهزم الأحزاب وحده، والصلاة السلام على من لا نبي بعده، رسولٍه الذي هدى به الأنام، وكشف به شبهات الأوهام، وعلى آله الطيبين الأطهار، وأصحابه المجاهدين الأبرار، الذين أغاظ الله بهم الكفار، وبسط بهم رحمته في جميع الأقطار.

أما بعد:

معادلات لاجرانج ... والنسبية الخاصة !

Lagrange Equations ... and Special Relativity !

معادلات لاجرانج في المكانيكا التقليدية ...

لا تنبع أهمية معادلة لاجرانج (Lagrange formulation) من خلال تطبيقاتها الواسعة، إنما أيضاً تعزز الفهم الفيزيائي العميق. وعلى الرغم من أن بداية اللاجرانجيان سعت إلى وصف الميكانيكا الكلاسيكية، إلا أن مبدأ الفعل (The Action Principle) الذي استخدمه لاجرانج لاشتقاق معادلته ذو تطبيقات واسعة في ميكانيكا الكم.

في الميكانيكا الكلاسيكية، يُعرّف الـ "لاجرانجيان" على أنه الفرق بين طاقة الحركة kinetic energy لنظامٍ ما وطاقة وضعه potential energy.

وحيث أن طاقة الوضع هي دالة في الإحداثيات $V(q)$ ، في حين أن طاقة الحركة هي دالة في السرعة (المشتق الزمني لإحداثي الموضع) $T(\dot q )$ ، إذاً يمكن التعبير عن الـ "لاجرانجيان" $\mathcal L$ بالصورة:

$\mathcal L=T(\dot q )-V(q)\quad \to (1)$

حيث $q$ هو إحداثي عام generalized coordinate، و $\dot q$ هو المشتق الزمني time-derivative للإحداثي العام السابق.

والآن ... بتفاضل المعادلة (1) بالنسبة للإحداثي العام $q$ نجد أن:

$\frac{\partial \mathcal L}{\partial q}=-\frac{\partial V(q)}{\partial q}= F_{q}\quad (Force)\quad \to (2)$

حيث $F_{q}$ هي مركبة القوة في إتجاه الإحداثي $q$ .

وبتفاضل (1) مرة أخرى بالنسبة للمشتق الزمني للإحداثيات العامة، أي السرعة، نجد أن:

$\frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot q}=\frac{\partial T(\dot q)}{\partial \dot q}= P_{q}\quad (Momentum)\quad \to (3)$

حيث $P_{q}$ هي مركبة كمية الحركة في إتجاه الإحداثي $q$ . ولكن:

$F_{q}=\frac{d}{dt}P_{q} \quad \Rightarrow \quad F_{q}=\frac{d}{dt}\left ( \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot q} \right ) \to \quad (4)$

من (2) و (4)، نجد أن:

${\color{Red} \frac{d}{dt}\left ( \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot q} \right ) = \frac{\partial \mathcal L}{\partial q} \quad \Leftrightarrow \quad \frac{d}{dt}\left ( \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot q} \right ) - \frac{\partial \mathcal L}{\partial q} = 0 \quad \to \quad (5)}$

وهذه هي معادلات "لاجرانج"، أو بتسميةً أدق، معادلات "أويلر – لاجرانج" Euler-Lagrange equations .

يُتبع ...

**رجب مصطفى** · 05-27-2011 05:29 AM

معادلات لاجرانج في النسبية الخاصة ...

من معلوماتنا عن مبادئ النظرية النسبية الخاصة، عند السرعات العالية (أي التي تقترب من سرعة الضوء)، تكون طاقة الحركة النسبية عبارة عن الفرق بين الطاقة الكلية total energy والطاقة السكونية (أو طاقة الكتلة السكونية) rest mass energy، أي:

$T=mc^{2}- m_{0}c^{2}=m_{0}c^{2}\left ( \frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}} -1\right )\quad \to (6)\quad : \beta =\frac{v}{c}$

والآن ... بإعتبار مركبة طاقة الحركة في الإتجاه السيني، ثم التفاضل بالنسبة لمركبة السرعة في نفس الإتجاه، نجد أن:

$\frac{\partial T_{x}}{\partial \dot x}=\frac{m_{0} \dot x}{\left ( 1-\beta^{2} \right )^{3/2}}\neq P_{x}=\frac{m_{0} \dot x}{\left ( 1-\beta^{2} \right )^{1/2}}$

أي أن الصيغة السابقة لطاقة الحركة لا تسمح لنا بإستنتاج القيمة الصحيحة لكمية الحركة كما هي في النسبية !

إذاً ... ما الحل ؟!

الحل هو أن نفترض دالة أخري لطاقة الحركة، ولتكن $T'$ ، تحقق المعادلة:

$\frac{\partial T'_{x}}{\partial \dot x}=\frac{m_{0} \dot x}{\left ( 1-\beta^{2} \right )^{1/2}}= P_{x}$

ولكن:

$dT' = \frac{\partial T'_{x}}{\partial \dot x} d \dot x+\frac{\partial T'_{y}}{\partial \dot y} d \dot y + \frac{\partial T'_{z}}{\partial \dot z} d \dot z$

ومنها:

$dT' =\frac{m_{0}}{\left ( 1-\beta^{2} \right )^{1/2}}\left ( \dot x d \dot x +\dot y d \dot y+\dot z d \dot z\right )$

أو:

$dT' =\frac{m_{0}}{\left ( 1-\beta^{2} \right )^{1/2}}vdv$

وبدلالة $\beta$ ، حيث:

$v= c \beta , \quad dv= c d\beta, \quad \Rightarrow \quad vdv= c^{2} \beta d \beta$

إذاً ...

$dT' =\frac{m_{0}c^{2}}{\left ( 1-\beta^{2} \right )^{1/2}}\beta d \beta$

وبالتكامل:

$T' =m_{0}c^{2}\int \frac{\beta d \beta}{\sqrt{1-\beta^{2}}}$

يُتبع ...

**رجب مصطفى** · 05-27-2011 05:33 AM

وحل هذا التكامل بسيط وهو على النحو التالي:

بفرض أن:

$\alpha = \sqrt{1-\beta^{2}}, \quad \beta = \sqrt{1-\alpha^{2}}, \quad d \beta = - \frac{ \alpha}{\sqrt{1-\alpha^{2}}} d \alpha$

إذاً ... بعد التعويض ... نجد أن:

$T'=- m_{0}c^{2}\int d \alpha= - m_{0}c^{2} \alpha + A \quad (constant)$

أو:

$T'= - m_{0}c^{2}\left ( 1-\frac{v^{2}}{c^{2}} \right )^{1/2} + A \quad \to \quad (7)$

وعند السرعات المنخفضة، نجد أن:

$at \; v<<c \; \Rightarrow \; \left ( 1-\frac{v^{2}}{c^{2}} \right )^{1/2} \sim 1 - \frac{1}{2} \frac{v^{2}}{c^{2}} \quad and \; \; T'=\frac{1}{2}m_{0}v^{2}$

وعليه، بالتعويض في (7):

$\frac{1}{2}m_{0}v^{2}= - m_{0}c^{2}+\frac{1}{2}m_{0}v^{2} + A \quad \to \quad A = m_{0}c^{2}$

وبالتالي:

$T'= - m_{0}c^{2}\left ( 1-\frac{v^{2}}{c^{2}} \right )^{1/2} + m_{0}c^{2}$

أو:

$T'=m_{0}c^{2}\left ( 1-\sqrt{1- \beta ^{2} }\right )\quad \to \quad (8)$

وعليه تصبح معادلة "لاجرانج" في النسبية على الصورة:

${\color{Red} \mathcal L = T'-V=m_{0}c^{2}\left ( 1-\sqrt{1- \beta ^{2} }\right )-V\quad \to \quad (9)}$

بضرب المعادلة (8) في المقدار:

$\frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}}=\gamma$

نجد أن:

$\gamma \; T'=m_{0}c^{2}\left ( \frac{1}{\sqrt{1- \beta ^{2} }}-1\right )\quad \to \quad (10)$

وبمقارنة هذه المعادلة بالمعادلة (6)، نستنتج أن:

${\color{Blue} T = \gamma \; T'\quad \to \quad (11)}$

والله أعلى وأعلم

وآخر دعوانا أن الحمد لله رب العالمين
وصلِّ اللهم وبارك على نبي الرحمة سيد ولد أدم أبى القاسم "محمد بن عبد الله" وعلى آله الطيبين الطاهرين وعلى أصحابه الغر الميامين أجمعين وسلم تسليماً كثيراً
لا تنسونا من صالح دعائكم

**محمد ابوزيد** · 05-27-2011 12:00 PM

اشكرك اخى العزيز رجب مصطفى دائما تتحفنا بالاعمال الرائعة والمجهود الوافر والفكر المنظم

واليك هذه الهدية:

http://www.herosh.com/download/86579...____1.pdf.html

اخوكم / محمد ابوزيد

**الصادق** · 05-28-2011 04:11 PM

بارك الله فيك وجزاك خيراً اخي العزيز رجب على هذا العرض الماتع والمميز جداَ

**رجب مصطفى** · 05-29-2011 01:44 AM

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة محمد ابوزيد

اشكرك اخى العزيز رجب مصطفى دائما تتحفنا بالاعمال الرائعة والمجهود الوافر والفكر المنظم

واليك هذه الهدية:

http://www.herosh.com/download/86579...____1.pdf.html

اخوكم / محمد ابوزيد

بارك الله فيك ... أستاذنا الغالي / أبو آية ... ومنكم نتعلم ... وهديتكم مقبولة ... كنت سأقوم بها لولا بعض المشكلات الطارئة في جهازي وفي النت عندي ...

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة الصادق

بارك الله فيك وجزاك خيراً اخي العزيز رجب على هذا العرض الماتع والمميز جداَ

بارك الله فيك ... أستاذنا الغالي / الصادق ... ومنكم نتعلم فنحن تلاميذتكم ...

**nuha1423** · 05-29-2011 05:05 AM

بارك الله فيك وجزاك خيرا

شكراً لك

الموضوع: معادلات لاجرانج ... والنسبية الخاصة !

أدوات الموضوع

عرض

معادلات لاجرانج ... والنسبية الخاصة !

رد: معادلات لاجرانج ... والنسبية الخاصة !

رد: معادلات لاجرانج ... والنسبية الخاصة !

رد: معادلات لاجرانج ... والنسبية الخاصة !

رد: معادلات لاجرانج ... والنسبية الخاصة !

رد: معادلات لاجرانج ... والنسبية الخاصة !

رد: معادلات لاجرانج ... والنسبية الخاصة !

معلومات الموضوع

الأعضاء الذين يشاهدون هذا الموضوع

المواضيع المتشابهه

الفرق بين النظرية النسبية العامة والنسبية الخاصة

سوال في دالة لاجرانج

تمارين في معادلات لاجرانج من يساعدني في حلها؟؟

لاجرانج وهاميلتون

دالة لاجرانج

مواقع النشر (المفضلة)

مواقع النشر (المفضلة)

ضوابط المشاركة