تصويب علاقة بور

**فيزيائي هاوي** · 07-07-2013 01:34 AM

بسم الله الرحمن الرحيم . نعلم جميعا ان طاقة الالكترون في ذرة الهيدروجين يعبر عنها بالعلاقة

$E=-\frac{me^{4}}{8\epsilon _{0}^{2}h^{2}n^{2}}$ . طالما تسائلت عن معنى هذه الاشارة السالبة في المعادلة . وقلت في نفسي اذا كان الفيزيائيون قد عجبوا وامتعضو من الطاقة السالبة التي اظهرتها معادلة ديراك فلماذا العجب من ذلك طالما طاقة الكترون ذرة الهيدروجين تكون سالبة حسب علاقة بور . اذن هل فعلا طاقة الالكترون تكون سالبة ? واي معنى لذلك . للاجابة عن هذا التساؤل يجب ان نبحث عن اصل هذه العلاقة . نعلم ان طاقة الالكترون تساوي مجموع طاقة الحركة وطاقة الوضع الكهروستاتيكية $E= E_{c}+E_{p}$ . ولدينا $E_{c}= \frac{1}{2}mv^{2}$
و $E_{p}=\int F.dr$ حيث F القوة الكهرساكنة المؤثرة على الالكترون من طرف النواة . اذن $E_{p}=\int \frac{1}{4\pi \epsilon _{0}}\frac{e^{2}}{r^{2}}dr$ نجد ان $E_{p}=\frac{e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}\left [ -\frac{1}{r} \right ]$ اذن $E_{p}=-\frac{e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}\left \frac{1}{r} \right$ .
نستنتج اذن ان طاقة الوضع الكهرساكنة لها مقدار سالب . هذه هي طريقة استخراج طاقة الوضع التي درسناها في الكلية . لكن عقلي لم يتقبل تلك الاشارة السالبة . لو قدر للالكترون ان يسقط وفق خط مستقيم نحو النواة فان طاقة الوضع ستتحول الى طاقة حركة وما دامت طاقة الوضع سالبة فان طاقة الحركة ستكون سالبة كذلك . ولكن حسب الصيغة الرياضية لطاقة الحركة فانها يجب ان تكون موجبة . يتبع .

**فيزيائي هاوي** · 07-08-2013 01:38 AM

لنطرح السؤال : التكامل الذي في صيغة طاقة الوضع هو تكامل من اين الى اين ? النواة تحاول جذب الالكترون الذي يوجد على مسافة r من مركزها الى سطحها حيث تكون المسافة بينه وبين مركزها هي R ) R هو نصف قطر النواة ) . اذن التكامل الذي لدينا هو من r الى R يعني ان : $E_{p}=\int_{R}^{r}\frac{1}{4\pi \epsilon _{0}}\frac{e^{2}}{r^{2}}dr= \frac{e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}\left [ -\frac{1}{r} \right ]_{r\rightarrow R}$ اذن $E_{p}= \frac{e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}\left (\frac{1}{R}-\frac{1}{r})$ يظهر لنا بوضوح الان ان طاقة الوضع موجبة وليست سالبة . من علاقتي السرعة والموضع لبور $r=\frac{\epsilon _{0}h^{2}n^{2}}{\pi me^{2}}$ و $v=\frac{e^{2}}{2\epsilon _{0}h.n}$ ينتج لنا $E_{p}=\frac{e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}.R}-\frac{me^{4}}{4\epsilon _{0}^{2}h^{2}.n^{2}}$ و $E_{c}=\frac{me^{4}}{8\epsilon _{0}^{2}h^{2}.n^{2}}$ ومنه نجد ان : $E=\frac{e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}.R}-\frac{me^{4}}{8\epsilon _{0}^{2}h^{2}.n^{2}}$ هذه هي الصيغة الصحيحة للطاقة الكلية للالكترون وهي كما راينا مقدار موجب لاننا وجدنا ان طاقة الوضع موجبة وطاقة الحركة موجبة كذلك وبالتالي فان مجموعهما موجب . ولكن هل ستؤثر هذه النتيجة على استنتاج طيف اشعاع ذرة الهيدروجين ?? هذا ما سنراه لاحقا . شكرا على اهتمامكم .

**فيزيائي هاوي** · 07-10-2013 03:03 AM

اذا انتقل الالكترون من مستوى n1 الى مستوى n2 فانه يصدر فوتونا له طاقة مقدارها $h\nu$ اذن لدينا $E_{n2}-E_{n1}=h\nu$ و $E_{n2}-E_{n1}=\frac{me^{4}}{8\epsilon _{0}^{2}h^{2}.n1^{2}}-\frac{me^{4}}{8\epsilon _{0}^{2}h^{2}.n2^{2}}$ $E_{n2}-E_{n1}=\frac{me^{4}}{8\epsilon _{0}^{2}h^{2}}\left ( \frac{1}{n1^{2}}-\frac{1}{n2^{2}} \right )$ $h\nu =\frac{me^{4}}{8\epsilon _{0}^{2}h^{2}}\left ( \frac{1}{n1^{2}}-\frac{1}{n2^{2}} \right )$ $\nu =\frac{me^{4}}{8\epsilon _{0}^{2}h^3}\left ( \frac{1}{n1^{2}}-\frac{1}{n2^{2}} \right )$ وهذه هي العلاقة التي تعطي تردد الفوتون ومنها نستنتج علاقة الطول الموجي للاشعاع $\frac{1}{\lambda } =\frac{me^{4}}{8\epsilon _{0}^{2}h^3c}\left ( \frac{1}{n1^{2}}-\frac{1}{n2^{2}} \right )$ وهي نفسها العلاقة التي استنتجها بور . اذن فتصويب علاقة طاقة الكترون ذرة الهيدروجين لا يؤثر على نتيجة طيف الاشعاع . اتمنى لكم الاستفادة ورمضان مبارك كريم .

**bohre** · 08-03-2013 05:24 PM

بسم الله الرحمان الرحيم أليست المسسألة تخص التغيير في نقطة الأصل للطاقة الوضع و من ثمة تغيير التكامل،و ما المانع في كون طاقة الوضع سالبة؟ تحياتي

**فيزيائي هاوي** · 08-18-2013 12:06 AM

السلام عليكم يا سيد bohre . معك حق و اظن اني قد اخطات . فقد نسبت نقطة الاصل لطاقة الوضع الى سطح النواة بينما كان علي ان انسبها الى المركز . لكني ساحاول تدارك الخطا ان شاء الله . ولكن قبل ان افعل ذلك اود منك او من الاعضاء الكرام لو تكرمتم بمدي بكيفية الحصول على صيغة طاقة الوضع التي ظهرت سالبة جزاكم الله خيرا . اما بالنسبة لسؤالك ما المانع في كون طاقة الوضع سالبة فجوابه كالتالي : تخيل معي ان الكترونا جذبته النواة الى مركزها بحيث انه انطلق من مسافة r عن مركز النواة بدون سرعة بدئية الى نقطة المركز ; عندئذ يمكننا القول ان طاقة وضع الالكترون في الموضع r قد تحولت الى طاقة حركة في المركز وبالتالي فان طاقة الوضع عند r تساوي طاقة الحركة عند 0 . اي Ep=Ec وحيث ان Ep سالبة فان Ec كذلك سالبة بحكم التساوي بينهما . ولكن Ec=1/2mv2 اي ان طاقة الحركة Ec موجبة حسب صياغتها الرياضية الشئ الذي يؤدي الى تناقض .