***
والآن سندرس سلوك هذه المعادلة عند الحدود المفروضة لدرجات الحرارة (المرتفعة والمنخفضة)، وذلك على النحو التالي:
1 – عند درجات الحرارة المرتفعة، ، وبالتالي تكون النهاية العليا صغيرة جداً، وعليه تكون قيمة في التكامل صغيرة خلال المدى الكامل، الأمر الذي يُمكننا من إستخدام المفكوك أو التقريب التالي:
وعليه سيصبح التكامل على الصورة:
وبالتالي ستكون الحرارة النوعية هي:
أو:
وهذه هي النتيجة الكلاسيكية المعتادة التي تتفق وقانون "بيتيت ودلونج" !
2 – عند درجات الحرارة المنخفضة، فالأمر أكثر إثارة ! فهنا ، وعليه سيقترب الحد العلوي للتكامل من اللانهاية، وعليه نحصل على تكامل يمكن حسابه رياضياً، أي:
وبالتالي ستأخذ الحرارة النوعية الصورة التالية:
أو:
وهذا ما يُبين الإعتماد على الأس الثالث لدرجة الحرارة المطلقة، الذي أشرنا إليه سابقاً ! مما يعني أنه عند درجات الحرارة المنخفضة يوجد، فقط، عدد قليل من الأنماط هو المُثار (excited).
هذه الأنماط هي التي طاقتها الكمية أقل من الطاقة الحرارية !
سبب فشل نموذج أينشتاين عند درجات الحرارة المنخفضة أصبح واضحاً الآن ! فهذا النموذج تجاهل وجود الأنماط ذات التردد الضعيف جداً (طويل الطول الموجي) التي تستطيع أن تمتص الحرارة حتى عند درجات الحرارة المنخفضة، لأن الطاقة المكممة لمثل هذه الأنماط صغيرة جداً !
والشكل التالي يُبين نموذج ديباي مقابل نموذج أينشتاين، والذي يوضح الحرارة النوعية كدالة في درجة الحرارة !
وختاماً ... على الرغم من النجاح الكبير الذي حققه نموذج ديباي، إلا أنه أيضاً يبقى في النهاية كتقريب !
تم بحمد الله وتوفيقه تعالى
المصادر:
Elementary Solid State Physics - M. Ali Omar
Debye model - From Wikipedia, the free encyclopedia
وآخر دعوانا أن الحمد لله رب العالمين
وصلِّ اللهم وبارك على نبي الرحمة سيد ولد أدم أبى القاسم "محمد بن عبد الله" وعلى آله الطيبين الطاهرين وعلى أصحابه الغر الميامين أجمعين وسلم تسليماً كثيراً
لا تنسونا من صالح دعائكم
مواقع النشر (المفضلة)