الحرارة النوعية ونموذجي أينشتاين وديباي ... ج (1) !!!

**رجب مصطفى** · 07-22-2010 02:02 AM

***

نموذج "أينشتاين" (The Einstein Model) !

وفي هذا النموذج، تُعامل الذرات كمتذبذبات مستقلة، وطاقة كل ذرة (متذبذب أو مهتز) تُعطى بـ ميكانيكا الكم بدلاً من الميكانيكا الكلاسيكية والمُشار إليها بالمعادلة (2).

وعليه، طبقاً لميكانيكا الكم، طاقة المتبذبذب ((المعزول (isolated oscillator))) مقيدة، فقط، بالقيم

$\varepsilon _{n}=n\hbar \omega\rightarrow (4)$

حيث $n$ عدد صحيح موجب أو صفر !، و $\omega$ هي تردد المهتز التوافقي.

إذاً ... طاقة المتذبذب أصبحت ((مكماه)) (quantized).

فالحالة الأرضية (ground state)، المقابلة لـ $n=0$ ، لها الطاقة $\varepsilon_{0}=0$ ، أما الحالات المُثارة (excited states) فتُكَوِن الطيف المتقطع ذو الفواصل المتساوية المُبَين بالشكل التالي:

حيث المسافة الفاصلة بين كل مستويين تساوي $\hbar \omega$ .

والمعادلة (4) تخص نظام معزول، كما بينّا، ولكن الذرات المكونة للجسم الصلب ليست معزولة عن بعضها البعض، بل تتبادل الطاقة باستمرار مع الوسط الحراري المحيط بالنظام (وهو الجسم الصلب).

وعلى الرغم من أن طاقة المهتز التوافقي (الذرة) تتغير باستمرار، إلا أن قيمتها المتوسطة عند الإتزان الحراري تُعطى من

$\bar{\varepsilon}=\frac{\sum_{0}^{\infty }\varepsilon_{n}e^{-\varepsilon_{n}/kT}}{\sum_{0}^{\infty }e^{-\varepsilon_{n}/kT}}$

حيث العامل الأُسي $e^{-\varepsilon_{n}/kT}$ هو معامل بولتزمان (Boltzmann factor) المعروف، والذي يُحدد إلى أي مدى يتم إسكان مستوى الطاقة $\varepsilon_{n}$ .

والآن بالتعويض بالمعادلة رقم (4) في المعادلة السابقة، نجد أن:

$\bar{\varepsilon}=\frac{\sum_{0}^{\infty }n\hbar \omega e^{-n\hbar \omega/kT}}{\sum_{0}^{\infty }e^{-n\hbar \omega/kT}}$

وبفرض أن:

$\alpha =\frac{\hbar \omega}{kT}\Rightarrow \hbar \omega = kT \alpha$

إذاً ...

$\bar{\varepsilon}=kT\frac{\sum_{0}^{\infty}n \alpha e^{-n \alpha}}{\sum_{0}^{\infty}e^{-n \alpha}}$

ولكن:

$-\alpha\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} \alpha} \ln \left ( \sum_{0}^{\infty} e^{-n \alpha} \right )=-\alpha \times \frac{1}{ \sum_{0}^{\infty} e^{-n \alpha}}\sum_{0}^{\infty}(-n)e^{-n \alpha}=\frac{\sum_{0}^{\infty}n \alpha e^{-n \alpha}}{\sum_{0}^{\infty}e^{-n \alpha}}$

إذاً ...

$\bar{\varepsilon}=kT\frac{\sum_{0}^{\infty}n \alpha e^{-n \alpha}}{\sum_{0}^{\infty}e^{-n \alpha}}=-kT\alpha\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} \alpha} \ln \left ( \sum_{0}^{\infty} e^{-n \alpha} \right )$

ولكن أيضاً ... المتسلسلة الهندسية السابقة يمكن كتابتها على الصورة:

$\sum_{0}^{\infty} e^{-n \alpha}=1+e^{-\alpha}+e^{-2\alpha}+ ... = (1-e^{-\alpha})^{-1}$

وعليه:

$\bar{\varepsilon}=-kT\alpha\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}\ln((1-e^{-\alpha})^{-1})=kT\alpha\frac{(1-e^{-\alpha})^{-2}e^{-\alpha}}{(1-e^{-\alpha})^{-1}}$

وبعد الإختصار، وإعادة التعويض، نحصل على العلاقة البسيطة:

${\color{red} \bar{\varepsilon}= \frac{\hbar \omega}{e^{\hbar \omega /kT}-1}}\rightarrow (5)$

ففي الشكل التالي، والذي يُبين متوسط الطاقة $\bar{\varepsilon }$ مقابل درجة الحرارة $T$ ،

نُلاحظ أنه عند درجات الحرارة العالية $\bar{\varepsilon }\rightarrow kT$ ، والتي هي نفسها القيمة المحسوبة كلاسيكياً، ولكن بانخفاض درجات الحرارة، تنخفض الطاقة $\bar{\varepsilon }$ أيضاً، ويستمر الإنخفاض حتى تصل درجة الحرارة للصفر المطلق، وكما بينا سابقاً مراراً، عندها تتلاشى الطاقة تماماً.

هذا السلوك عند درجات الحرارة المنخفضة هو نتيجة للطبيعة الكمّية للحركة، كما أنه المسؤول عن الإنخفاض الغير متوقع كلاسيكياً للحرارة النوعية بإنخفاض درجات الحرارة !

يُتبع ...