معادلات ماكسويل ... Maxwell's Equations ...

**الصادق** · 04-11-2010 10:54 PM

الاخت الكريمة سنوهيد

و اخي العزيز رجب مصطفى

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

Bianchi Identity تحتوي على معادلتين من معادلات ماكسويل

$\partial^{\mu}F^{\nu \rho}+\partial^{\nu}F^{\rho \mu}+\partial^{\rho}F^{\mu \nu }=0$

حيث ان ممتد شدة المجال الكهرومغنطيسي The electromagnetic field tensor يُعطى بـ
$F^{\mu \nu }=\rm \begin{pmatrix} 0 & -E_1 & -E_2 &-E_3 \\ E_1 & 0 &-B_3 &B_2 \\ E_2 & B_3 &0 &-B_1 \\ E_3 & -B_2 &B_1 & 0 \end{pmatrix} \qquad (1)$
متجه الموقع الرباعي فى صورة الـ covariant يعطي بـ
$x_{\mu}=(t,x_1,x_2,x_3)=(t,-x,-y,-z)$
وبالتالي فان التفاضل الرباعي هو

$\partial^{\mu}=\frac{\partial }{\partial x_{\mu}}=\left(\frac{\partial }{\partial t},\frac{\partial }{\partial x_1},\frac{\partial }{\partial x_2},\frac{\partial }{\partial x_3}\right)=\left(\frac{\partial }{\partial t},-\frac{\partial }{\partial x},-\frac{\partial }{\partial y},-\frac{\partial }{\partial z}\right)\qquad (2)$

نعوض قيم للمعاملات $\mu, \nu,\rho$
مثلاً اذا اخترنا القيم التالية
$\mu=1,\; \nu=2,\;\rho=3$
و عوضنا فى متطابقة بيانكي فسوف نحصل على

$\partial^{1}F^{23}+\partial^{2}F^{31}+\partial^{3}F^{12}=0$

لاحظ من المعادلة (1) ان mu=0 عبارة عن الصف الاول فى المصفوفة (1) و mu=1 تمثل الصف الثاني و mu=2 الصف الثالث و mu=3 الصف الرابع
وهكذا فان $F^{23}$ عبارة عن عنصر المصفوفة فى الصف الثالث و العمود الرابع اى ان $F^{23}=-B_1$
اما
$F^{31}=-B_2 ,\qquad F^{12}=-B_3$

ومن المعادلة (2) نجد ان
$\\\partial^{1}=\frac{\partial }{\partial x_1}=-\frac{\partial }{\partial x}\\\\ \partial^{2}=\frac{\partial }{\partial x_2}=-\frac{\partial }{\partial y}\\\\ \partial^{3}=\frac{\partial }{\partial x_3}=-\frac{\partial }{\partial z}$
وهكذا بالتعويض المباشر نحصل على

$\\\partial^{1}F^{23}+\partial^{2}F^{31}+\partial^{3}F^{12}=0\\ \\ \frac{\partial }{\partial x_1}(-B_1)+\frac{\partial }{\partial x_2}(-B_2)+\frac{\partial }{\partial x_3}(-B_3)\\ \\\frac{\partial B_x}{\partial x}+\frac{\partial B_y}{\partial x}+\frac{\partial B_z}{\partial z}=0\\ \\ \Rightarrow \nabla.\vec{B}=0$
بنفس الطريقة و باختيار بقية القيم المختلفة لـ $\mu, \nu,\rho$
نحصل على ثلاثة معادلات تمثل مركبات المعادلة
$\nabla\times\vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$
وهذه اتركها لكم كتمرين

ملاحظة: فى الحسابات السابقة من اجل التبسيط قمت باختيار c=1

الموضوع: معادلات ماكسويل ... Maxwell's Equations ...

أدوات الموضوع

عرض

مشاهدة المواضيع

مشاركة: معادلات ماكسويل ... Maxwell’s Equations ...

معلومات الموضوع

الأعضاء الذين يشاهدون هذا الموضوع

المواضيع المتشابهه

معادلات القيم المميزة Eigenvalues Equations ... نبذة سريعة !!!

معادلات ماكسويل

معادلات ماكسويل

معادلات ماكسويل

مواقع النشر (المفضلة)

مواقع النشر (المفضلة)

ضوابط المشاركة