قانون بلانك لإشعاع الجسم الأسود ... نظرة إحصائية !

**رجب مصطفى** · 03-12-2010 09:36 PM

بسم الله الرحمن الرحيم
والصلاة والسلام على رسول الله
"محمد بن عبد الله"
وعلى آله وصحبه أجمعين
السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
إخواني زوار وأعضاء ومشرفي المنتدى الكرام
تحية طيبة إليكم

قانون بلانك لإشعاع الجسم الأسود ... نظرة إحصائية !

لو فرضنا أن هناك مجموعة من الفوتونات محبوسة داخل صندوق حجمه $L^{3}$ ، فإن الموجات الكهرومغناطيسية الموقوفة ستنشأ بشرط أن يكون:

$\frac{n\lambda}{2} = L$

أو:

$\frac{1}{\lambda} = \left (\frac{1}{2L} \right )n$

ولأي فوتون له

$\vec{k}= \left ( \vec{k_{x}},\vec{k_{y}},\vec{k_{z}} \right )$

حيث $k$ هو العدد الموجي wave number و:

$k= \frac{2\pi}{\lambda}= \frac{\omega }{c}$

و:

$\vec{k_{x}}= \frac{2\pi}{\lambda_{x}}$

$\vec{k_{y}}= \frac{2\pi}{\lambda_{y}}$

$\vec{k_{z}}= \frac{2\pi}{\lambda_{z}}$

فإن:

$k^{2}=k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}=\frac{4\pi ^{2}}{\lambda ^{2}}\times \frac{\nu ^{2}}{\nu ^{2}}=\frac{\omega ^{2}}{c^{2}}$

أو:

$k= \frac{\omega }{c}$

وعليه فإن:

$k^{2}=\left (\frac{\pi}{L} \right )^{2}\left (n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2} \right )=\left (\frac{\pi}{L} \right )^{2}n_{R}^{2}$

$k=\left (\frac{\pi}{L} \right )n_{R}$

حيث:

$n_{R}^{2}=n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2}$

و $n_{R}$ هي نصف قطر الكرة المبينة بالشكل التالي:

حيث $k$ تتناسب طردياً مع $n_{R}$ .

وعليه فإن عدد الحالات من $k=0$ إلى $k=k$ هو

$\frac{1}{8}\times \frac{4}{3}\pi n_{R}^{3}\times 2$

حيث ضربنا حجم الكرة في $2$ لأنه توجد حالتين أو إتجاهين للإستقطاب في حالة الفوتونات (حالتين للغزل في حالة الإلكترونات ومثيلاتها)، وضربنا في

$\frac{1}{8}$

لأننا نأخذ فقط الثمن الموجب من الكرة الذي تكون فيه جميع $n_{x},n_{y},n_{z}$ موجبة.

وعموماً فإن عدد الحالات الموجودة بين $k$ و $k+dk$ سيكون:

$\frac{1}{8}\times 4\pi n_{R}^{2}\times 2\times dn_{R}$

بالتعويض عن:

$n_{R}^{2}=\left (\frac{L}{\pi} \right )^{2}k^{2}$

و:

$dn_{R}=\left (\frac{L}{\pi} \right )dk$

نجد أن عدد الحالات الموجودة بين $k$ و $k+dk$ هو:

$\frac{1}{8}\times 4\pi \left (\frac{L}{\pi} \right )^{2}k^{2}\times 2\times \left (\frac{L}{\pi} \right )dk$

أو:

$\left (\frac{L^{3}}{\pi^{2}} \right )k^{2}dk=\large \frac{V}{\pi^{2}} \right k^{2}dk$

حيث $V$ هو حجم الصندوق.
وبدلالة التردد الزاوي $\omega$ ، يكون:

$k = \frac{\omega}{c}$

و:

$dk = \frac{1}{c} d\omega$

*** يُتبع ...

**رجب مصطفى** · 03-12-2010 09:42 PM

وعليه فإن عدد حالات الفوتون في مدى التردد الزاوي بين $\omega$ و $\omega + d\omega$ هو:

$\frac{V}{\pi^{2}c^{3}} \right \omega ^{2}d\omega$

والآن، فإن عدد الفوتونات في مدى التردد الزاوي بين $\omega$ و $\omega + d\omega$ هو:

كثافة الحالات × دالة بوز – أينشتاين

أو:

$N\left( \omega \right )d\omega = \frac{V \omega^{2}d\omega}{\pi^{2}c^{3}}\times \frac{1}{e^{\not h\omega /kT}-1}$

ولذلك، فإن طاقة الفوتونات في هذا المدى ستكون:

$\not h\omega N\left( \omega \right )d\omega = \frac{V \not h}{\pi^{2}c^{3}} \frac{\omega^{3}d\omega}{( e^{\not h\omega /kT}-1 \right )}$

وعليه فإن كثافة الطاقة (لوحدة الحجوم) في هذا المدى هي:

$u\left( \omega, T \right )d\omega = \frac{\not h}{\pi^{2}c^{3}} \frac{\omega^{3}d\omega}{( e^{\not h\omega /kT}-1 \right )}$

أو:

$u\left( \omega, T \right )= \frac{\not h}{\pi^{2}c^{3}} \frac{\omega^{3}}{( e^{\not h\omega /kT}-1 \right )}$

وهو قانون "بلانك" لإشعاع الجسم الأسود، حيث $u\left ( \omega , \right T)$ هي "كثافة الطاقة الطيفية spectral energy density".

*** يُتبع ...

**رجب مصطفى** · 03-12-2010 09:45 PM

*** تمرين ...

أوجد العلاقة السابقة مرة بدلالة التردد $\nu$ وأخرى بدلالة الطول الموجي $\lambda$ ؟

بالتعويض من خلال هذه المعادلة:

$u\left( \omega, T \right )d\omega = \frac{\not h}{\pi^{2}c^{3}} \frac{\omega^{3}d\omega}{( e^{\not h\omega /kT}-1 \right )}$

*** حل الجزء الأول في المشاركة رقم 12 ...

**رجب مصطفى** · 03-12-2010 09:51 PM

*** ملحق (1) ... إشتقاق قانون "ستيفان – بولتزمان":

تُعطى شدة الإشعاع الكلية عند درجة حرارة معينة، $u\left( T \right )$ ، بتكامل قانون بلانك على جميع الترددات، أي:

$u\left( T \right )= \frac{\not h}{\pi^{2}c^{3}} \int_{0}^{\infty}\frac{\omega^{3}d\omega}{( e^{\not h\omega /kT}-1) \right )}$

بفرض أن:

$\not h\omega /kT = x$

فإن:

$\omega^{3} =\left ( \frac{kT}{\not h} \right )^{3} x^{3}$

و:

$d\omega =\left ( \frac{kT}{\not h} \right ) dx$

وبالتالي:

$u\left( T \right )= \frac{\not h}{\pi^{2}c^{3}}( \frac{kT}{\not h} \right ) )^{4}\int_{0}^{\infty}\frac{x^{3}dx}{( e^{x}-1) \right )}$

ومن جدول التكاملات، نجد أن:

$\int_{0}^{\infty}\frac{x^{3}dx}{( e^{x}-1) \right )}=\frac{\pi ^{4}}{15}$

وعليه يكون:

$u\left( T \right )= \frac{\pi ^{2}k^{4}}{15 c^{3}h^{3}} T^{4}= \sigma T^{4}$

والذي هو قانون "ستيفان – بولتزمان"، حيث:

$\sigma = \frac{\pi ^{2}k^{4}}{15 c^{3}h^{3}}$

هو ثابت ستيفان – بولتزمان.

**رجب مصطفى** · 03-12-2010 09:59 PM

*** ملحق (2) ... إشتقاق قانون الإزاحة لـ "فين":

يمكن كتابة قانون "بلانك" بدلالة التردد على النحو التالي:

$u\left ( \nu \right )\equiv \large u\left ( \nu ,T\right )= \frac{8 \pi h}{c^{3}} \frac{\nu^{3}}{( e^{h \nu /kT}-1) \right )}$

وذلك على إعتبار أن القياس يتم عند درجة الحرارة معينة، ولكن عموماً طاقة الإشعاع دالة في التردد (أو الطول الموجي) ودرجة الحرارة.

وحيث أن الطاقة الكلية يمكن أن تُعطى على النحو التالي:

$U =\int_{0}^{\infty}R’\left ( \nu \right )d\nu =\int_{0}^{\infty}R\left (\lambda\right )d\lambda$

حيث:

$u\left ( \nu \right )\equiv \large u\left ( \nu ,T\right )\equiv \large R’\left ( \nu \right )$

و:

$u\left ( \lambda \right )\equiv \large u\left ( \lambda ,T\right )\equiv \large R\left ( \lambda \right )$

وعليه يكون:

$R’\left ( \nu \right )d\nu = R\left (\lambda\right )d\lambda$

أو:

$R\left (\lambda\right )= R’\left ( \nu \right )\left |\frac{d\nu}{d\lambda} \right |$

أو:

$|\frac{d\nu}{d\lambda}| = |\frac{-c}{\lambda^{2}}|= \frac{c}{\lambda^{2}}$

إذاً:

${d\nu}= \frac{c}{\lambda^{2}}d\lambda$

وبالتالي:

$R\left (\lambda\right )= R’\left ( \nu \right )\left |\frac{d\nu}{d\lambda} \right |$

و:

$R\left (\lambda\right )= \frac{c}{\lambda^{2}} R’\left ( \nu \right )\left = \frac{8 \pi h c}{\lambda^{5}} \frac{1}{( e^{h c /\lambda kT}-1) \right }$

ولإيجاد قانون الإزاحة لفين في الصورة

$\lambda _{max} T = constant$

يجب أولاً إيجاد $\lambda _{max}$ وهي القيمة التي عندما يكون للكمية $R\left (\lambda\right )$ نهاية عظمى، وعلى هذا الأساس يلزمنا حل المعادلة:

$\frac{d \large \large R\left (\lambda\right )}{d\lambda} = 0$

أي أن:

$\frac{d \large \large R\left (\lambda\right )}{d\lambda}=\frac{hc}{\pi^{2}}\left [ \frac{hc}{kT \lambda ^{7}}\frac{e^{hc/\lambda kT}}{(e^{hc/\lambda kT}-1)^{2}} -\frac{5}{\lambda^{6}(e^{hc/\lambda kT}-1)} \right ]$

أو:

$\frac{d \large \large R\left (\lambda\right )}{d\lambda}=8\pi hc \left [ \frac{hc}{kT \lambda ^{7}}\frac{e^{hc/\lambda kT}}{(e^{hc/\lambda kT}-1)^{2}} -\frac{5}{\lambda^{6}(e^{hc/\lambda kT}-1)} \right ]$

وعند $\lambda _{max}$ نجد أن:

$\frac{hc}{kT \lambda_{max}}\frac{e^{hc/\lambda_{max} kT}}{(e^{hc/\lambda_{max} kT}-1)} - {5} \right=0$

والآن بوضع

$\frac{hc}{kT \lambda_{max}}=x$

فإن:

$\frac{x e^{x}}{e^{x}-1} = {5}$

بالقسمة على $e^{x}$ وإعادة ترتيب المعادلة نحصل على العلاقة:

$x = 5 \left ( 1-e^{-x} \right )$

وباستخدام الطرق العددية لحل هذه المعادلة، نحصل على جذراً وحيداً قيمته $x = 4.965$ ، وعليه فإن:

$\frac{hc}{kT \lambda_{max}}= 4.965$

إذاً:

$\lambda_{max}T = \frac{hc}{4.965 x}= constant$

وهذا هو قانون الإزاحة لـ "فين".

**رجب مصطفى** · 03-12-2010 10:03 PM

*** ملحق (3) ... إشتقاق قانون "رايلي – جينز":

يتم اشتقاق قانون رايلي جينز من قانون بلانك عند الترددات الصغيرة جداً ( $\nu \to 0$ ) (أو الأطوال الموجية الكبيرة جداً ( $\lambda \to \infty$ )) .

إذاً من قانون بلانك:

$u\left ( \nu , \right T)= \frac{8\pi h\nu ^{3}}{c^{3}}\frac{1}{e^{h\nu /kT}-1}$

حيث:

$h\nu /kT < < 1$

وباستخدام مفكوك الدالة الأسية، نجد أن:

$e^{h\nu /kT} = 1 + \frac{h\nu}{kT} + \frac{1}{2!}\left ( \frac{h\nu}{kT} \right )^{2} + ...$

وعليه:

$e^{h\nu /kT} \approx 1 + \frac{h\nu}{kT}$

بالتعويض في قانون بلانك:

$u\left ( \nu , \right T)\approx \frac{8\pi h\nu ^{3}}{c^{3}}\frac{1}{1 + \frac{h\nu}{kT}-1}$

أو:

$u\left ( \nu , \right T)\approx \frac{8\pi h\nu ^{3}}{c^{3}}\frac{kT}{h\nu}$

وعليه:

$u\left ( \nu , \right T)\approx \frac{8\pi \nu ^{2}}{c^{3}}kT$

والذي هو قانون "رايلي جينز" في الصورة الكلاسيكية.

*** ومن هنا يتضح أن تلك العلاقة هي حالة خاصة من علاقة بلانك التي يمكن إعتبارها علاقة عامة لجميع الترددات ودرجات الحرارة.

**رجب مصطفى** · 03-12-2010 10:14 PM

*** ملحق (4) ... الإشعاع المنبعث من الجسم الأسود:

إذا إعتبارنا فجوة بالغة الصغر، مساحة سطحها $\Delta A$ ، وفوتونات قادمة من الإتجاه $\theta \to \theta +d\theta , \phi \to \phi +d\phi$ الذي يحصر أو يُقابل الزاوية المجسمة $d\Omega$ ، حيث:

$d\Omega = \frac{\Delta A}{r^{2}}= \frac{r^{2}sin \theta d\theta d\phi }{r^{2}}= sin \theta d\theta d\phi$

وأن الزاوية المجسمة الكلية تساوى $4\pi$ .
فإن الفوتونات القادمة في زمن $\Delta t$ ستقع في متوازي الأضلاع الذي طوله $c \Delta t$ .

حجم هذا المتوازي الأضلاع هو:

$dA \times c \Delta t cos \theta$

وعليه عدد الفوتونات القادمة في وحدة الزمن من الإتجاه $\theta \to \theta +d\theta , \phi \to \phi +d\phi$ في مدى التردد الزاوي بين $\omega$ و $\omega + d\omega$ هو:

$= \frac{Volume.of.Parallelepiped}{\Delta t} \times Fractional.solid.angle \times states.density.in.this.frequency.interval$

أي:

$= \frac{dA \times c \Delta t cos \theta}{\Delta t} \times \frac{d\Omega }{4\pi } \times \frac{N\left ( \omega \right ) d\omega}{V}$

إذاً:

$=c dA \times cos \theta \times\frac{d\Omega }{4\pi} \times \frac{N\left ( \omega \right ) d\omega}{V}$

وبالتالي فإن الطاقة الكلية (سنسميها مثلاُ $E \left ( \omega ,T \right )$ ) التي تُشع في وحدة الزمن في مدى التردد الزاوي بين $\omega$ و $\omega + d\omega$ هي تكامل على الزاوية المجسمة فقط، مع ملاحظة أن حدود الزاوية $\theta$ في حالتنا تلك $0\to \frac{\pi }{2}$ ، من الشكل، أي:

$=\frac{c \not h \omega N\left ( \omega \right ) d\omega dA}{4\pi V} \int_{0}^{\pi / 2}sin \theta cos \theta d \theta \int_{0}^{2 \pi}d \phi$

حيث أن

$\int_{0}^{2 \pi}d \phi = 2 \pi$

ولحل التكامل

$\int_{0}^{\pi / 2}sin\theta cos \theta d\theta$

سنفرض أن

$t = sin\theta$

و

$dt = cos \theta d\theta$

إذاً:

$\int_{0}^{1}t dt = \frac{1}{2} \left t^{2} \right |_{0}^{1} = \frac{1}{2}$

بالتعويض، نحصل على العلاقة:

$E \left ( \omega ,T \right ) d \omega = \frac{c}{4}dA \left (\frac{ \not h \omega N\left ( \omega \right ) d\omega }{V} \right )$

ولكن الكمية الموجود بين القوسين هي عبارة عن كثافة الطاقة $u\left( \omega, T \right )d\omega&space$ ; للحجم $V$ ، أي أن:

$E \left ( \omega ,T \right ) d \omega = \left (\frac{c}{4} \right )dA \left u \left ( \omega ,T \right ) d \omega$

وعليه فإن القدرة Power خلال "وحدة المساحة" في نفس مدى التردد هي:

$E \left ( \omega ,T \right ) d \omega = \left (\frac{c}{4} \right )\left u \left ( \omega ,T \right ) d \omega$

ملحوظة: كثافة الطاقة هى طاقة لوحدة "الحجوم"، في حين أن الشدة هي القدرة لوحدة "المساحة" ... لذا حدد من البداية الرمز الذي سوف تتخذه لوصف الكمية التي تريد حتى لا يحدث لبس أو تداخل في الرموز.

ملحوظة ثانية: في المعادلات المعطاة ليست هناك مشكلة في الثوابت، فهي تتوقف على الحالة التي يتم دراستها إن كانت كرة أو مكعب أو أو ...، فقط إنتبه للمتغيرات !

ملحوظة ثالثة: أعتقد أن خطي هذه المرة أفضل !!! هههه ...

أتمنى أن ينال رضاكم ...

دمتم في رعاية الله وحفظه ...

نسألكم الدعاء ...

الموضوع: قانون بلانك لإشعاع الجسم الأسود ... نظرة إحصائية !

أدوات الموضوع

عرض

قانون بلانك لإشعاع الجسم الأسود ... نظرة إحصائية !

تابع ...

تمرين ...

*** ملحق (1) ... إشتقاق قانون "ستيفان – بولتزمان" ...

*** ملحق (2) ... إشتقاق قانون الإزاحة لـ "فين" ...

*** ملحق (3) ... إشتقاق قانون "رايلي – جينز" ...

*** ملحق (4) ... الإشعاع المنبعث من الجسم الأسود ...

معلومات الموضوع

الأعضاء الذين يشاهدون هذا الموضوع

المواضيع المتشابهه

قانون بلانك

^^{ نظرة المغرور إلى نفسه نظرة غير متوازنة }^^

اشعاع الجسم الأسود

إحصائية

قانون بلانك

مواقع النشر (المفضلة)

مواقع النشر (المفضلة)

ضوابط المشاركة