الدوال الزائدية Hyperbolic Functions:
وهي دوال غير جبرية تفيد في تطبيقات كثيرة وتعرف بعلاقات بسيطة من الدالة الأسية، وهي ست دوال أيضاً: الجيب الزائدي hyperbolic sine ’sinh x’ ، وجيب التمام الزائدي hyperbolic cosine ’cosh x’ ، والظل الزائدي hyperbolic tangent ’tanh x’ ، قاطع التمام الزائدي csch x، القاطع الزائدي sech x وظل التمام الزائدي coth x.
والسبب في إستعمال نفس رموز الدوال المثلثية بإضافة h إليها هو إمتلاك هذه الدوال لخصائص شبيهة بخصائص الدوال المثلثية، فمثلاً:
sinh (- x) = - sinh x
cosh (- x) = cosh x
cosh^2 x - sinh^2 x = 1
وأيضاً:
sinh (x + y) = sinh x cosh y + cosh x sinh y
ولا يندهش القارئ من التشابه الكبير بين قوانين الدوال المثلثية والزائدية، فالاثنتان تحققان العلاقة بين إحداثي نقطة واقعة على محيط دائرة في الحالة الأولى وعلى منحنى قطع زائد في الثانية. لذلك تسمى الدوال المثلثية بالدوال الدائرية أحياناً نسبةً إلى دائرة على غرار الزائدية نسبة إلى القطع الزائد.
والمعروف أن x^2 + y^2 = 1 تمثل في الإحداثيات الكارتيزية معادلة دائرة بينما تمثل x^2 - y^2 = 1 معادلة قطع زائد.
وبالتعويض عن
x = cos t , y = sin t
تتحقق المعادلة الأولى، وتتحقق الثانية بالتعويض
x = cosh t , y = sinh t
ويمثل البارامتر t في الحالة الأولى الزاوية الدائرية PoA كما في الشكل الأول وفي الحالة الثانية ضعف مساحة المنطقة PoA كما في الشكل الثاني:
والدوال الزائدية تفيد في كثير من التطبيقات، من أهمها ظهورها في حلول المعادلات التفاضلية كما تستخدم أيضاً في حساب صور متعددة من التكاملات.
ومن الأمثلة التطبيقية الشهيرة لها هي أن أي كتينة معلقة تعليقاً حراً من طرفيها تأخذ شكل منحنى جيب التمام الزائدي، والمقصود بالكتينة سلسلة أو كابل مثل خطوط الجهد العالي أو التليفونات أو حتى أي حبل ممدود بين نقطتين ثابتتين.
ونفس الدالة (جيب التمام الزائدي) تظهر في تحليل حركة جسم في مائع تحت تأثير مقاومة، فمثلاً عند سقوط جسيم في الهواء إذا كانت مقاومة الأخير له تتناسب مع مربع سرعة الجسيم، فإن المسافة المفطوعة بواسطة هذا الجسيم تمثل بهذه الدالة.
مواقع النشر (المفضلة)