اريد اثبات associated Legendre polynomial

**truthSeeker** · 06-11-2009 01:52 AM

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته .
أخى الكريم أحمد محمد فتحى ...........
عند دراسة ذرة الهيدروجين كميا ً ، فإننا نستخدم معادلة شرودنجر فى الإحداثيات الكروية ( على اعتبار أن إلكترون الذرة يوجد فى غلاف كروي حول البروتون ) ، وتكون المعادلة :
$\frac{\partial }{{\partial r}}\left( {r^2 \frac{{\partial \psi }}{{\partial r}}} \right) + \frac{1}{{\sin \theta }}\frac{\partial }{{\partial \theta }}\left( {\sin \theta \frac{{\partial \psi }}{{\partial \theta }}} \right) + \frac{1}{{\sin ^2 \theta }}\frac{{\partial ^2 \psi }}{{\partial \phi ^2 }} + \frac{{2\mu }}{{\hbar ^2 }}r^2 \left( {E + \frac{{kZe^2 }}{r}} \right)\psi= 0$
ونستخدم طريقة فصل المتغيرات لحل هذه المعادلة فنضع :
$\psi \left( {r,\theta ,\phi } \right) = R\left( r \right)\Theta \left( \theta\right)\Phi \left( \phi\right)$
فتصبح المعادلة على الصورة :
$\frac{{\sin ^2 \theta }}{R}\frac{\partial }{{\partial r}}\left( {r^2 \frac{{\partial R}}{{\partial r}}} \right) + \frac{{\sin \theta }}{\Theta }\frac{\partial }{{\partial \theta }}\left( {\sin \theta \frac{{\partial \Theta }}{{\partial \theta }}} \right) + \frac{1}{\Phi }\frac{{\partial ^2 \Phi }}{{\partial \phi ^2 }} + \frac{{2\mu }}{{\hbar ^2 }}r^2 \sin ^2 \theta \left( {E + \frac{{kZe^2 }}{r}} \right) = 0$
والتى يمكن فصلها إلي ثلاث معادلات تفاضلية ، كل واحدة منها فى دالة واحدة (معادلة تفاضلية عادية) :
$- \frac{1}{\Phi }\frac{{d^2 \Phi }}{{d\phi ^2 }} = m_l^2$
$\frac{1}{R}\frac{d}{{dr}}\left( {r^2 \frac{{dR}}{{dr}}} \right) + \frac{{2\mu }}{{\hbar ^2 }}r^2 \left( {E + \frac{{kZe^2 }}{r}} \right)\psi= C$
$\frac{{m_l^2 }}{{\sin ^2 \theta }} - \frac{1}{{\Theta \sin \theta }}\frac{d}{{d\theta }}\left( {\sin \theta \frac{{d\Theta }}{{d\theta }}} \right) = C$
حيث C ثابت ، ومن المعادلة الثالثة :
$\frac{\Theta }{\Theta }\frac{{m_l^2 }}{{\sin ^2 \theta }} - \frac{1}{{\Theta \sin \theta }}\frac{d}{{dr}}\left( {\sin \theta \frac{{d\Theta }}{{d\theta }}} \right) = \left( {\frac{{m_l^2 }}{{\sin ^2 \theta }} - \frac{1}{{\sin \theta }}\frac{d}{{dr}}\left( {\sin \theta \frac{d}{{d\theta }}} \right)} \right)\frac{\Theta }{\Theta } = C$
$\therefore \left( {\frac{{m_l^2 }}{{\sin ^2 \theta }} - \frac{1}{{\sin \theta }}\frac{d}{{dr}}\left( {\sin \theta \frac{d}{{d\theta }}} \right)} \right)\Theta= C\Theta$
$let:w = \cos \theta$
$\because \sin ^2 \theta+ \cos ^2 \theta= 1 \Rightarrow \sin ^2 \theta= 1 - \cos ^2 \theta= 1 - w^2$
$\therefore dw =- \sin \theta d\theta\Rightarrow- \frac{d}{{dw}} = \frac{1}{{\sin \theta }}\frac{d}{{d\theta }}$
$\therefore \left( {\frac{{m_l^2 }}{{1 - w^2 }} + \frac{d}{{dw}}\left( {\frac{{\sin ^2 \theta }}{{\sin \theta }}\frac{d}{{d\theta }}} \right)} \right)\Theta= C\Theta$
$\therefore \frac{d}{{dw}}\left( {\left( {1 - w^2 } \right)\frac{{d\Theta }}{{dw}}} \right) = \left( {\frac{{m_l^2 }}{{1 - w^2 }} - C} \right)\Theta$
$\frac{d}{{dw}}\left( {\left( {1 - w^2 } \right)\frac{{d\Theta }}{{dw}}} \right) = \frac{d}{{dw}}\left( {1 - w^2 } \right)\frac{{d\Theta }}{{dw}} + \left( {1 - w^2 } \right)\frac{{d^2 \Theta }}{{dw^2 }} =- 2w\frac{{d\Theta }}{{dw}} + \left( {1 - w^2 } \right)\frac{{d^2 \Theta }}{{dw^2 }}$
$\therefore \left( {1 - w^2 } \right)\frac{{d^2 \Theta }}{{dw^2 }} - 2w\frac{{d\Theta }}{{dw}} - \frac{{m_l^2 }}{{1 - w^2 }}\Theta+ C\Theta= 0$
والمعادلة الأخيرة هى معادلة لاجندر المرافقة Associated Legendre equation ، و لنحسب قيمة الثابت C نضع m = 0 فنحصل على معادلة لاجندر Legendre equation .
ومن هنا كانت أهمية دوال لاجندر فى حل ذرة الهيدروجين فى ميكانيكا الكم .
و أعتقد أن هناك مواضيع تتناول ذرة الهيدروجين الكمية فى منتدي فيزياء الكم يمكنك الإطلاع عليها للحصول على تفاصيل أكثر .
والله أعلى و أعلم .

الموضوع: اريد اثبات associated Legendre polynomial

أدوات الموضوع

عرض

مشاهدة المواضيع

مشاركة: اريد اثبات associated Legendre polynomial

معلومات الموضوع

الأعضاء الذين يشاهدون هذا الموضوع

المواضيع المتشابهه

اثبات

طلب اثبات في الشغل

bessel and legendre functions???

اثبات فى الكهربية

مواقع النشر (المفضلة)

مواقع النشر (المفضلة)

ضوابط المشاركة