مُشتقة ليي، التناظرات و متجهات كيلنغ The Lie derivative, Symmetries and Killing vecto

**محمد ابوزيد** · 08-19-2011 09:58 PM

-مُشتقة ليي للحقول الإتجاهية

الان سوف نتبع نفس الخطوات السابقة حتى نحصل مشتقة ليي للحقول الإتجاهية، ومن اجل هذا الغرض دعنا نفترض متجه $\120dpi U^{\mu}$ وتحول احدجاثي متناهي الصغر (3) وطالما ان تحويل المتجه عموماً يأخذ الصورة التالية:

$\150dpi U'^{\mu}(y(x))=\frac{\partial y^{\mu}}{\partial x^{\nu}}U^{\nu}(x)\qquad \qquad (6)$

فاننا نحتاج ان نحسب المصفوفة $\120dpi \partial y^{\mu}/\partial x^{\nu}$ باستخدام التحويل متناهي الاصغر (3).

$\150dpi \\ y^{\mu}=x^{\mu}+\epsilon V^{\mu}\Rightarrow \qquad \frac{\partial y^{\mu}}{\partial x^{\nu}}=\delta_{\nu}^{\mu}+\epsilon\partial_{\nu}V^{\mu}$

و بالتعويض في المعادلة (6) نحصل على

$\150dpi U'^{\mu}(y(x))=(\delta_{\nu}^{\mu}+\epsilon\partial_{\nu}V^{\mu}(x))U^{\nu}(x)=U^{\mu}(x)+\epsilon U^{\nu}(x)\partial_{\nu}V^{\mu}(x)\qquad \qquad (7)$

وبايجاد مفكوك تايلور للمتجه $\120dpi U^{\mu}(y(x))$ حول النقطة x

$\150dpi U^{\mu}(y(x))=U^{\mu}(x+\epsilon V)=U^{\mu}(x)+\epsilon V^{\nu}\partial_{\nu}U^{\mu}(x)+\frac{\epsilon^2}{2!}V^{\nu}V^{\lambda}\partial_{\nu}\partial_{\lambda}U^{\mu}(x)+...$

مكتفين بالحدين الاول والثاني في المفكوك اي بعد إهمال الحد الذي يحتوي على مربع $\120dpi \epsilon$ سوف نجد ان :

$\150dpi U^{\mu}(y(x))=U^{\mu}(x)+\epsilon V^{\nu}\partial_{\nu}U^{\mu}(x)\qquad (8)$

الان بطرح المعادلة (7) من المعادلة (8) سوف نحصل على

$\150dpi U^{\mu}(y(x))-U'^{\mu}(y(x))=\epsilon V^{\nu}\partial_{\nu}U^{\mu}(x)-\epsilon U^{\nu}\partial_{\nu}V^{\mu}(x)$

وبقسمة الطرفين على $\120dpi \epsilon$ و أخذ النهاية عند $\120dpi \epsilon \to 0$ فسوف نحصل على تعريف مشتقة ليي للمتجه U بواسطة المتجه V

$\150dpi \boxed{\pounds_{V}U^{\mu}:=\lim_{\epsilon \to 0}\frac{U^{\mu}(y(x))-U'^{\mu}(y(x))}{\epsilon }=V^{\nu}\partial_{\nu}U^{\mu}-U^{\nu}\partial_{\nu}V^{\mu}\qquad \qquad(9)}$

الموضوع: مُشتقة ليي، التناظرات و متجهات كيلنغ The Lie derivative, Symmetries and Killing vecto

أدوات الموضوع

عرض

Hybrid View

رد: مُشتقة ليي، التناظرات و متجهات كيلنغ The Lie derivative, Symmetries and Killing vecto

معلومات الموضوع

الأعضاء الذين يشاهدون هذا الموضوع

المواضيع المتشابهه

تعريف دوران حقل متجهات ، أرجو ترجمته للعربية

مواقع النشر (المفضلة)

مواقع النشر (المفضلة)

ضوابط المشاركة