معادلات لاجرانج ... والنسبية الخاصة !

**رجب مصطفى** · 05-27-2011 05:26 AM

بسم الله الرحمن الرحيم

الحمد لله الذي صدق وعده، ونصر عبده، وأعز جنده، وهزم الأحزاب وحده، والصلاة السلام على من لا نبي بعده، رسولٍه الذي هدى به الأنام، وكشف به شبهات الأوهام، وعلى آله الطيبين الأطهار، وأصحابه المجاهدين الأبرار، الذين أغاظ الله بهم الكفار، وبسط بهم رحمته في جميع الأقطار.

أما بعد:

معادلات لاجرانج ... والنسبية الخاصة !

Lagrange Equations ... and Special Relativity !

معادلات لاجرانج في المكانيكا التقليدية ...

لا تنبع أهمية معادلة لاجرانج (Lagrange formulation) من خلال تطبيقاتها الواسعة، إنما أيضاً تعزز الفهم الفيزيائي العميق. وعلى الرغم من أن بداية اللاجرانجيان سعت إلى وصف الميكانيكا الكلاسيكية، إلا أن مبدأ الفعل (The Action Principle) الذي استخدمه لاجرانج لاشتقاق معادلته ذو تطبيقات واسعة في ميكانيكا الكم.

في الميكانيكا الكلاسيكية، يُعرّف الـ "لاجرانجيان" على أنه الفرق بين طاقة الحركة kinetic energy لنظامٍ ما وطاقة وضعه potential energy.

وحيث أن طاقة الوضع هي دالة في الإحداثيات $V(q)$ ، في حين أن طاقة الحركة هي دالة في السرعة (المشتق الزمني لإحداثي الموضع) $T(\dot q )$ ، إذاً يمكن التعبير عن الـ "لاجرانجيان" $\mathcal L$ بالصورة:

$\mathcal L=T(\dot q )-V(q)\quad \to (1)$

حيث $q$ هو إحداثي عام generalized coordinate، و $\dot q$ هو المشتق الزمني time-derivative للإحداثي العام السابق.

والآن ... بتفاضل المعادلة (1) بالنسبة للإحداثي العام $q$ نجد أن:

$\frac{\partial \mathcal L}{\partial q}=-\frac{\partial V(q)}{\partial q}= F_{q}\quad (Force)\quad \to (2)$

حيث $F_{q}$ هي مركبة القوة في إتجاه الإحداثي $q$ .

وبتفاضل (1) مرة أخرى بالنسبة للمشتق الزمني للإحداثيات العامة، أي السرعة، نجد أن:

$\frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot q}=\frac{\partial T(\dot q)}{\partial \dot q}= P_{q}\quad (Momentum)\quad \to (3)$

حيث $P_{q}$ هي مركبة كمية الحركة في إتجاه الإحداثي $q$ . ولكن:

$F_{q}=\frac{d}{dt}P_{q} \quad \Rightarrow \quad F_{q}=\frac{d}{dt}\left ( \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot q} \right ) \to \quad (4)$

من (2) و (4)، نجد أن:

${\color{Red} \frac{d}{dt}\left ( \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot q} \right ) = \frac{\partial \mathcal L}{\partial q} \quad \Leftrightarrow \quad \frac{d}{dt}\left ( \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot q} \right ) - \frac{\partial \mathcal L}{\partial q} = 0 \quad \to \quad (5)}$

وهذه هي معادلات "لاجرانج"، أو بتسميةً أدق، معادلات "أويلر – لاجرانج" Euler-Lagrange equations .

يُتبع ...