علاقة عدم التأكد للمتذبذب التوافقي !!!

**رجب مصطفى** · 01-10-2011 02:36 AM

بسم الله الرحمن الرحيم

الحمد لله الذي صدق وعده، ونصر عبده، وأعز جنده، وهزم الأحزاب وحده، والصلاة السلام على من لا نبي بعده، رسوله الذي هدى به الأنام، وكشف به شبهات الأوهام، وعلى آله الطيبين الأطهار، وأصحابه المجاهدين الأبرار، الذين أغاظ الله بهم الكفار، وبسط بهم رحمته في جميع الأقطار

أما بعد:

*** ملحوظة هامة جداً كالعادة ... هذا الموضوع حصري لـ "منتدى الفيزياء التعليمي" فقط، غير ذلك سيكون واضعه سارقاً له !!!

علاقة عدم التأكد للمتذبذب التوافقي

The Uncertainty Relation of the Harmonic Oscillator

من المعروف أن الدالة الموجية المعيارة normalized wavefunction للمتذبذب التوافقي تأخذ الصورة العامة:

$\psi _{n}(x)=\frac{1}{\sqrt{2^{n} \;n!\sqrt{\pi}}} \left ( \frac{m \omega}{\hbar} \right )^{1/4} H_{n}\left (\sqrt{ \frac{m \omega}{\hbar}} \;x\right )e^{-m\omega x^{2}/2\hbar}$

ومنها، تكون الدالة الموجية للحالة الأرضية ground state wavefunction هي:

$\psi _{0}(x)=\frac{1}{\sqrt{\sqrt{\pi}}} \left ( \frac{m \omega}{\hbar} \right )^{1/4} e^{-m\omega x^{2}/2\hbar}$

وللحالة الأولى المثارة the first excited state wavefunction:

$\psi _{1}(x)=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\sqrt{\pi}}} \left ( \frac{m \omega}{\hbar} \right )^{3/4} x \;e^{-m\omega x^{2}/2\hbar}$

والذي مربعها هو:

$\left |\psi _{1}(x) \right |^{2}=\frac{2}{\sqrt{\pi}} \left ( \frac{m \omega}{\hbar} \right )^{3/2} x^{2} \;e^{-m\omega x^{2}/\hbar}$

وعليه، تُصبح القيمة المتوقعة للموضع position expectation value هي:

$\left \langle x \right \rangle = \int_{-\infty }^{\infty }x \left |\psi _{1}(x) \right |^{2}dx$

أي:

$\left \langle x \right \rangle =\frac{2}{\sqrt{\pi}} \left ( \frac{m \omega}{\hbar} \right )^{3/2} \int_{-\infty }^{\infty }x^{3} \;e^{-m\omega x^{2}/\hbar} \;dx =0$

أما القيمة المتوقعة لمربع الموضع square position expectation value ، فهي:

$\left \langle x^{2} \right \rangle =\frac{2}{\sqrt{\pi}} \left ( \frac{m \omega}{\hbar} \right )^{3/2} \int_{-\infty }^{\infty }x^{4} \;e^{-m\omega x^{2}/\hbar} \;dx$

ولكن:

$\int_{-\infty }^{\infty }x^{4} \;e^{-m\omega x^{2}/\hbar} \;dx = \left ( \frac{\hbar}{m \omega} \right )^{5/2}\; \left ( \frac{3}{4} \sqrt{\pi}\right )$

إذاً:

$\left \langle x^{2} \right \rangle = \frac{3}{2} \left ( \frac{\hbar}{m \omega} \right )$

ومنها نحصل على مقدار الشك uncertainty في الموضع:

$\Delta x = \sqrt{\left \langle x^{2} \right \rangle - \left \langle x \right \rangle ^{2}}= \sqrt{\left \langle x^{2} \right \rangle}=\sqrt{ \frac{3}{2} \left ( \frac{\hbar}{m \omega} \right )}$

يُتبع ...

**رجب مصطفى** · 01-10-2011 02:38 AM

وبنفس الخطوات، مع كمية التحرك momentum، لنحصل على مقدار الشك فيها، والذي سيكون:

$\Delta p = \sqrt{\left \langle p^{2} \right \rangle - \left \langle p \right \rangle ^{2}}= \sqrt{\left \langle p^{2} \right \rangle}=\sqrt{ \frac{3}{2}\left (m \omega \hbar \right )}$

ملحوظة هامة جداً جداً ... كن حذراً أثناء التفاضل حتى لا تنسى أي رمز، الأمر الذي يؤدي إلى الإخلال النتيجة !!!

والآن ... بالضرب، نحصل على علاقة هايزنبرج Heisenberg للمتذبذب التوافقي لهذه الحالة المثارة:

$\Delta x \; \Delta p =\frac{3}{2}\;\hbar$

وللتعميم ... لأي حالة، أو للحالة النونية nth state، تأخذ هذه العلاقة الصورة:

$\Delta x \; \Delta p =\left (n+\frac{1}{2} \right )\;\hbar$

هذا ... على وجه السرعة

والله تعالى ... أعلى وأعلم

وآخر دعوانا أن الحمد لله رب العالمين
وصلِّ اللهم وبارك على نبي الرحمة سيد ولد أدم أبى القاسم "محمد بن عبد الله" وعلى آله الطيبين الطاهرين وعلى أصحابه الغر الميامين أجمعين وسلم تسليماً كثيراً
لا تنسونا من صالح دعائكم

**رجب مصطفى** · 01-10-2011 02:55 AM

ملحوظة أخرى ... تم الإستعانة بالتكاملات التالية أثناء الحل:

$\int_{-\infty }^{\infty }z^{2n} \;e^{-z^{2}}\;dz = \frac{1.3.5....(2n-1)}{2^{n}}\sqrt{\pi} \qquad : n=1,2,3 ....$

$\int_{-\infty }^{\infty }z^{n} \;e^{-z^{2}}\;dz = 0\qquad : n\; \rm odd$

**رجب مصطفى** · 01-12-2011 01:20 AM

تطبيق ...

من المعروف أيضاً أن طاقة الوضع للمتذبذب التوافقي، تُعطى من العلاقة:

$V=\frac{1}{2}\;k\;x^{2}$

وبالتالي تكون القيمة المتوقعة لها هي:

$\left \langle V \right \rangle=\frac{1}{2}\;k\;\left \langle x^{2} \right \rangle$

ولكن:

$\left \langle x^{2} \right \rangle = \frac{3}{2} \left ( \frac{\hbar}{m \omega} \right )$

إذاً ...

$\left \langle V \right \rangle=\frac{1}{2}\;k\;\left \langle x^{2} \right \rangle= \frac{3}{4}\;k \left ( \frac{\hbar}{m \omega} \right )=\frac{3}{4}\;\omega\hbar$

والتي بدورها تساوي القيمة المتوقعة لطاقة الحركة ... إذاً:

$\left \langle T \right \rangle= \frac{3}{4}\;\omega\hbar$

وعليه تصبح الطاقة الكلية للمتذبذب هي:

$E = \left \langle T \right \rangle + \left \langle V \right \rangle= \frac{3}{2}\;\omega\hbar$

والله أعلى وأعلم

**ولد البحيرات** · 01-12-2011 06:39 AM

آخي رجب وآذآ اردنـآ ايجاد القيمه الذاتيه لكلآ من x , p كيف يسكون طريقه حلهم ؟

الموضوع: علاقة عدم التأكد للمتذبذب التوافقي !!!

أدوات الموضوع

عرض

علاقة عدم التأكد للمتذبذب التوافقي !!!

رد: علاقة عدم التأكد للمتذبذب التوافقي !!!

رد: علاقة عدم التأكد للمتذبذب التوافقي !!!

تطبيق ...

رد: علاقة عدم التأكد للمتذبذب التوافقي !!!

معلومات الموضوع

الأعضاء الذين يشاهدون هذا الموضوع

المواضيع المتشابهه

المتذبذب التوافقي البسيــط!!

علاقة عدم التأكد المعممة The Generalized Uncertainty Principle !!!

مساعده المتذبذب التوافقي

سؤال عن مبدأ عدم التأكد ...

المهتز التوافقي البسيط

مواقع النشر (المفضلة)

مواقع النشر (المفضلة)

ضوابط المشاركة