Loi de Fourier. équations de Conduction de la chaleur Plan
En état d’équilibre, les systèmes thermodynamiques homogènes sont caractérisés par des variables d’état uniformes et constantes.
Soumis à certaines conditions, un système peut être en état de déséquilibre.
La Conduction de la Chaleur est le cas particulier où la non-uniformité de la température entraîne un transfert d’énergie d’un point à un autre du système
sans transport macroscopique de matière.
Pour un système solide, seul ce processus de transfert est possible.
Pour un système fluide il peut aussi se produire des transferts d’énergie par transport macroscopique de matière, ce dernier processus est appelé
convection de la chaleur.
Le milieu matériel, siège d’un phénomène de conduction de la chaleur, peut être homogène ou hétérogène, isotrope ou non isotrope, ses dimensions peuvent être finies ou infinies.
Le milieu est en " contact " avec des
sources de chaleur internes ou externes et le champ de température est noté
.
Le caractère de déséquilibre peut être classé en quatre types de régimes :
les régimes permanents pour lesquels la température en tout point du milieu est indépendante du temps, le déséquilibre est entretenu par les sources de chaleur
les régimes périodiques établis pour lesquels la température, en tout point, effectue des oscillations périodiques indépendantes du champ de température initial
les régimes transitoires qui correspondent à l’évolution d’un système d’un état initial (permanent ou en équilibre) vers un état final (permanent ou en équilibre) provoquée par un changement à l’instant initial des sources; le champ de température
dépend du champ de température initial
mais l’influence de celui-ci s’estompe avec le temps
les régimes variables pour lesquels les sources évoluent constamment, le champ de température
dépend des valeurs instantanées des sources et des évolutions antérieures.
1. Loi de Fourier (1807)
Loi de Fourier (1807).
Expérimentalement, si les variations de températures ne sont pas trop importantes, on rend compte localement des phénomènes de conduction de la chaleur par la
loi de Fourier, à savoir le vecteur densité de flux de chaleur
est égal à :
pour un milieu isotrope
l est appelée
conductivité thermique du milieu ettraduit l’aptitude à conduire la chaleur.
La densité de flux de chaleur
j dans une direction caractérisée par un vecteur unitaire
est :
Dans le système MKSA, la densité de flux de chaleur
j se mesure en
W m-2 et la conductivité thermique
l en
W.m-1.K-1 .
Remarques
Le signe - traduit le fait que les échanges tendent à uniformiser la température (
autrement dit que spontanément les transferts thermiques se produisent du corps chaud vers le corps froid
Les tangentes en chaque point au vecteur
déterminent les lignes de flux de chaleur. Un tube de flux est constitué par un ensemble de ligne de flux s’appuyant sur un contour fermé. La relation
(propriété du gradient) impose qu’en chaque point les lignes de flux sont perpendiculaires aux isothermes.
En milieu anisotrope, la loi de Fourier s’écrit sous la forme :
où
est le tenseur
conductivité thermique. La loi de Fourier est une loi
phénoménologique ; les théories sur l’interprétation microscopique du processus de Conduction dépendent de la nature du milieu gaz, liquide, solide amorphe, solide cristallin ou métal ; elles sont loin d’être achevées.
Il convient de remarquer l’analogie qui peut être faite entre la loi de Fourier et la loi d’Ohm introduite en électrocinétique des courants continus
.
Dans le cas de la diffusion de matière la même analogie peut être faite avec la loi de Fick
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.
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