طول المنحنى

**The New Mr** · 11-04-2010 01:46 AM

نحن نعلم جيدا أن أقصر طريق بين نقطتين هو الخط المستقيم ولكن فى حالة المنحنيات المسافة بين

نقطتين يسمى بمعادلة الجيودسيك وتكون على الصورة
$s = \int g_{ij}dx^{i}dx^{j}$

حيث $g_{ij}$ هى معاملات الممتد الأساسى فى الهندسة التفاضلية وهو من أهم الممتدات لأننى شخصيا

أعتبره مثل ناقل الحركة من الملازم إلى المخالف وعلى حسب نوع الإحداثيات المستخدمة

فى حالة الإحداثيات الكارتيزية $g_{ij}$ تكون صفر إلا عندما i = j فهى تساوى الواحد الصحيح

$s = \int \sqrt{dx^{2} + dy^{2}}$

$s = \int \sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^{2}} dx$

مع مراعاة أن dx خارج الجذر وأن المعادلة لمنحنى فى بعد ثنائى

مثال : أوجد طول المنحنى بين الصفر والواحد للدالة د(س) = س^2

$\frac{dy}{dx}= 2x$

وبالتعويض فى القانون

$s = \int_{0}^{1} \sqrt{1 + (2x)^{2}} dx$

$s = \int_{0}^{1} \sqrt{1 + 4(x)^{2}} dx$

وباستخدام التعويض x = (1/2) tan (theta)

سنجد أن حدود الزاوية تتراوح من صفر إلى k

حيث k يساوى المعكوس لظل الزاوية ل 2

وباستخدام العلاقة

$1+ tan^{2}\Theta = sec^{2}\Theta$

سيكون التكامل على الصورة

$s = \frac{1}{2} \int sec^{3}\Theta d\Theta$
وباستخدام التكامل بالتجزئ مرتين سنحصل على الناتج وهو ما سيتم إضافته فى مشاركة قادمة إن شاء

الله فى نفس الموضوع

إن كان من توفيق فمن الله وحده وإن كان من خطأ فمنى ومن الشيطان

**The New Mr** · 11-06-2010 01:44 AM

هذا التكامل يحل بالتجزئ
$s = \frac{1}{2} \int sec^{3}\Theta d\Theta$
$u=sec\Theta , du= sec\Theta tan\Theta d\Theta$
$dv=sec^{2}\Theta d\Theta , v=tan\Theta$
$s=sec\Theta tan\Theta -\int sec\Theta tan^{2}\Theta d\Theta$
tan^(2) = sec^(2) + 1
$s=sec\Theta tan\Theta -\int sec^{3}\Theta d\Theta -\int sec\Theta d\Theta$
والحد الثانى من التكامل هو s
$2s=sec\Theta tan\Theta -log(sec\Theta +tan\Theta )$
وبالقسمة على 2 مع مراعاة حدود التكامل ينتج طول المنحنى

الموضوع: طول المنحنى

أدوات الموضوع

عرض

طول المنحنى

رد: طول المنحنى

معلومات الموضوع

الأعضاء الذين يشاهدون هذا الموضوع

المواضيع المتشابهه

استفسار / المنحنى المميز لعداد جايجر

حساب المسافه تحت المنحنى

تساؤل حول الفضاء المنحني

مواقع النشر (المفضلة)

مواقع النشر (المفضلة)

ضوابط المشاركة