مؤثرات اللف المغزلي و مصفوفات باولي

**الصادق** · 08-04-2010 05:11 AM

مصفوفات باولي هي مصفوفات من النظام 2x2 و تعطى بالصورة التالية:

$\150dpi \sigma_x=\bigl(\begin{smallmatrix} 0 &1\\ 1 & 0 \end{smallmatrix}\bigr), \qquad \sigma_y=\bigl(\begin{smallmatrix} 0 &-i\\ i & 0 \end{smallmatrix}\bigr)\qquad \sigma_z=\bigl(\begin{smallmatrix} 1 &0\\ 0 & -1 \end{smallmatrix}\bigr)$

اما مؤثرات اللف المغزلي فهي تعطي عن طريق مصفوفات باولي

$\150dpi \hat{\sigma}_x=\frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad \hat{\sigma}_y=\frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix} 0 & -i\\ i & 0 \end{pmatrix},\qquad \hat{\sigma}_z=\frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix},$

وهنا يجب الانتباه الى الترميز لانه احياناً يُرمز لهذه المؤثرات بالحرف S و لكن اهم فرق بين مصفوفات باولي ومصفوفات اللف المغزلي هو النصف و ظهور ثابت بلانك

ويمكن حساب اقواس التبادلية بين هذه المؤثرات بصورة مباشرة
$\150dpi \newline [\hat{\sigma}_x,\hat{\sigma}_y]=\hat{\sigma}_x\hat{\sigma}_y-\hat{\sigma}_y\hat{\sigma}_x=\frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix} 0 & -i\\ i & 0 \end{pmatrix}-\frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix} 0 & -i\\ i & 0 \end{pmatrix}\frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\newline \newline \newline \newline [\hat{\sigma}_x,\hat{\sigma}_y]=\frac{\hbar^2}{4}\begin{pmatrix} i & 0\\ 0 & -i \end{pmatrix}-\frac{\hbar^2}{4}\begin{pmatrix} -i & 0\\ 0 & i \end{pmatrix}=\frac{\hbar^2}{2}\begin{pmatrix} i & 0\\ 0 & -i \end{pmatrix}=i\hbar\frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}\newline \newline \newline [\hat{\sigma}_x,\hat{\sigma}_y]=i\hbar\hat{\sigma}_z$
و بنفس الطريقة نحصل على اقواس التبادلية الاخرى
$\150dpi \boxed{[\hat{\sigma}_x,\hat{\sigma}_y]=i\hbar\hat{\sigma}_z\qquad [\hat{\sigma}_y,\hat{\sigma}_z]=i\hbar\hat{\sigma}_x, \qquad [\hat{\sigma}_z,\hat{\sigma}_x]=i\hbar\hat{\sigma}_y }$

و اذا عكسنا الترتيب بين المؤثرات داخل اقواس التبادلية فاننا نحصل على اشارة سالبة و السبب هو ان
$\120dpi [B,A]=BA-AB=-(AB-BA)=-[A,B]$

الان نُعرف مؤثرات الLadder بالصورة التالية:
$\150dpi \\\hat{\sigma}_{+}=\hat{\sigma_x}+i\hat{\sigma_y}\\\hat{\sigma}_{-}=\hat{\sigma}_x-i\hat{\sigma}_y$

ويكون لدينا نظام مؤثرات جديد $\120dpi (\hat{\sigma}_{+}, \hat{\sigma}_{-},\hat{\sigma}_z)$ تحقق علاقات التبادلية التالية :

$\150dpi \newline \[\hat{\sigma}_z,\hat{\sigma}_{+}]=[\hat{\sigma}_{z},\hat{\sigma}_{x}+i\hat{\sigma}_{y}]=[\hat{\sigma}_{z},\hat{\sigma}_{x}]+i[\hat{\sigma}_{z},\hat{\sigma}_{y}]=i\hbar\hat{\sigma}_{y}+i(-i\hbar)\hat{\sigma}_{x}=\hbar(\hat{\sigma}_{x}+i\hat{\sigma}_{y})\newline\newline\newline \therefore \qquad \qquad \qquad \boxed{\[\hat{\sigma}_z,\hat{\sigma}_{+}]=\hbar\hat{\sigma}_{+}}\newline\newline$

$\150dpi \newline \[\hat{\sigma}_z,\hat{\sigma}_{-}]=[\hat{\sigma}_{z},\hat{\sigma}_{x}-i\hat{\sigma}_{y}]=[\hat{\sigma}_{z},\hat{\sigma}_{x}]-i[\hat{\sigma}_{z},\hat{\sigma}_{y}]=i\hbar\hat{\sigma}_{y}-i(-i\hbar)\hat{\sigma}_{x}=-\hbar(\hat{\sigma}_{x}-i\hat{\sigma}_{y})\newline\newline\newline \therefore \qquad \qquad \qquad \boxed{\[\hat{\sigma}_z,\hat{\sigma}_{-}]=-\hbar\hat{\sigma}_{+}}$

$\150dpi \newline\newline [\hat{\sigma}_{+}, \hat{\sigma}_{-}]=[\hat{\sigma}_{x}+i\hat{\sigma}_{y}, \hat{\sigma}_{x}-i\hat{\sigma}_{y}]=-i[\hat{\sigma}_{x},\hat{\sigma}_{y}]+i[\hat{\sigma}_{y},\hat{\sigma}_{x}]=-i(i\hbar)\hat{\sigma}_{z}+i(-i\hbar)\hat{\sigma}_{z} \newline\newline \therefore \qquad \qquad \qquad \boxed{\[\hat{\sigma}_{+},\hat{\sigma}_{-}]=2\hbar\hat{\sigma}_{z}}\newline\newline$

ومن هنا نلاحظ ان مؤثرات الـLadder تقوم برفع و خفض اللف المغزلي بصورة تشبه السلم لان
$\150dpi \hat{\sigma}_{+}$ ترفع اللف المغزلي في z بمقدار درجة واحدة بوحدات ثابت بلانك(ثابت فعل ديراك)

$\150dpi \newline \hat{\sigma}_{z}\hat{\sigma}_{+}|\psi\rangle=(\hat{\sigma}_{z}\hat{\sigma}_{+}-\hat{\sigma}_{+}\hat{\sigma}_{z}+\hat{\sigma}_{+}\hat{\sigma}_{z})|\psi\rangle\newline \hat{\sigma}_{z}\hat{\sigma}_{+}|\psi\rangle=([\hat{\sigma}_{z},\hat{\sigma}_{+}]+\hat{\sigma}_{+}\hat{\sigma}_{z})|\psi\rangle=(\hbar \hat{\sigma}_{+}+\hat{\sigma}_{+}\sigma_{z}|\psi\rangle=(\sigma_z+\hbar)\hat{\sigma}_{+}|\psi\rangle \newline$
و $\150dpi \hat{\sigma}_{-}$ تخفض اللف المغزلي في z بمقدار درجة واحدة بوحدات ثابت بلانك(ثابت فعل ديراك)

$\150dpi \newline \hat{\sigma}_{z}\hat{\sigma}_{-}|\psi\rangle=(\hat{\sigma}_{z}\hat{\sigma}_{-}-\hat{\sigma}_{-}\hat{\sigma}_{z}+\hat{\sigma}_{-}\hat{\sigma}_{z})|\psi\rangle\newline \hat{\sigma}_{z}\hat{\sigma}_{-}|\psi\rangle=([\hat{\sigma}_{z},\hat{\sigma}_{-}]+\hat{\sigma}_{-}\hat{\sigma}_{z})|\psi\rangle=(-\hbar \hat{\sigma}_{-}+\hat{\sigma}_{-}\sigma_{z}|\psi\rangle=(\sigma_z-\hbar)\hat{\sigma}_{-}|\psi\rangle \newline$

اذن فان حالات اللف المغزلي تتراتب في شكل سلم من ادنى لف مغزلي الى أعلى لف مغزلي

هذا والله اعلم

**رجب مصطفى** · 08-04-2010 05:45 AM

بارك الله فيك أستاذنا الغالي / الصادق على هذا المجهود الكبير وجعله في ميزان حسناتك يوم القيامة ...

كنت أفضل أن يُستخدم حرف Sللدلالة على مصفوفات الغزل، للتفرقة بينها وبين مصفوفات باولي ...

لذا أنبه الأخوة أنه يجب ملاحظة أن حرف سيجما فوقه قبعة $\hat{\sigma}$ يرمز لمصفوفة اللف ... في حين ترمز السيجما المجردة $\sigma$ لمصفوفات باولي !

والآن ... مع المهم ... مما سبق، وكما نعلم جميعاً أن:

$S_{i}=\left ( \hbar/2 \right )\sigma_{i}$

وأن مؤثرات السلم ladder للغزل هي:

$S_{\pm}=S_{x} \pm i S_{y}$

إذن بالتعويض ... نجد أن:

$(\hbar/2)\sigma_{\pm}=(\hbar/2)\sigma_{x} \pm i (\hbar/2)\sigma_{y}$

وبحذف (أو بالقسمة على) المقدار $(\hbar/2)$ للطرفين ... نجد أن:

$\sigma_{\pm}=\sigma_{x} \pm i \sigma_{y}$

وهنا المشكلة ! ... فالمعادلة السابقة غير صحيحه، فالصحيحة هي:

$\sigma_{\pm}=\frac{1}{2}\left (\sigma_{x} \pm i \sigma_{y} \right )$

فلا أعلم من أين جاء النصف !!!

**الصادق** · 08-05-2010 06:16 AM

اخي الغالي رجب
حياك الله تعالى واجرى الخير على يديك
اشكرك على التنبيه و اتفق معك بضرورة تبديل الحرف سيجما بـ S حتى لا يحدث لبس في الترميز، وارجو منك اخي ان تقوم بهذا التعديل لاني ليست لدي صلاحية اجراء تعديل

بالنسبة لتعريف مؤثرات الـ ladder فلك مطلق الحرية طالما انك تلتزم بالجبر المترتب على اختيارك للتعريف فمثلاً اذا اخترنا التعريف:
$\sigma_{\pm}=\sigma_{x} \pm i \sigma_{y}$
فعلينا الالتزام بالجبر التالي:
$\150dpi [\sigma_z,\sigma_{\pm}]=\pm2\sigma_{\pm}, \qquad [\sigma_{+},\sigma_{-}]=4\sigma_{z}$

اما اذا اخترنا التعريف :
$\sigma_{\pm}=\frac{1}{2}\left (\sigma_{x} \pm i \sigma_{y} \right )$
فيجب ان نلتزم باستخدام الجبر التالي:
$\150dpi [\sigma_z,\sigma_{\pm}]=\pm2\sigma_{\pm}, \qquad [\sigma_{+},\sigma_{-}]=\sigma_{z}$

وعموماً اي تعريف بالصورة :
$\150dpi \sigma_{\pm}=c(\sigma_x\pm i\sigma_y)$
حيث c اي عدد حقيقي

يحقق الجبر التالي:

$\150dpi [\sigma_z,\sigma_{\pm}]=\pm2\sigma_{\pm}, \qquad [\sigma_{+},\sigma_{-}]=4c^2\sigma_{z}$

اذن خلاصة القول هي ان عملية التعريف اختيارية ولا يوجد اي سبب فيزيائي او رياضي يميز تعريف عن الاخر، اما الالتزام بالجبر المترتب من التعريف المعين فهو اجباري
والمطلب الفيزيائي الوحيد هو ان تُحقق مؤثرات الـladder
الشرط :
$\150dpi \sigma_{-}|\rm lowest\; state\rangle=0, \qquad \sigma_{+}|\rm Highest\; state\rangle=0$
اي لايمكن النزول ادنى من ادنى حد ممكن ولايمكن الصعود اعلى من اعلى حد ممكن

هذا والله اعلم

**رجب مصطفى** · 08-05-2010 06:28 PM

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة الصادق

اذن خلاصة القول هي ان عملية التعريف اختيارية ولا يوجد اي سبب فيزيائي او رياضي يميز تعريف عن الاخر، اما الالتزام بالجبر المترتب من التعريف المعين فهو اجباري
والمطلب الفيزيائي الوحيد هو ان تُحقق مؤثرات الـladder
الشرط :

$\150dpi \sigma_{-}|\rm lowest\; state\rangle=0, \qquad \sigma_{+}|\rm Highest\; state\rangle=0$

اي لايمكن النزول ادنى من ادنى حد ممكن ولايمكن الصعود اعلى من اعلى حد ممكن
هذا والله اعلم

جزاك الله خيراً أخي وأستاذي الغالي / الصادق وجعله في ميزان حسناتك يوم القيامة ...

وضحت الفكرة إن شاء الله وسأعيد دراسة الموضوع مرة أخرى بُناءاً عليها ...

وإن شاء الله سأقوم بالتعديل المطلوب في أقرب وقت إن شاء الله ...

في أمان الله ...