معادلات ماكسويل ... Maxwell's Equations ...

**رجب مصطفى** · 03-18-2010 06:59 PM

*** ملحق (2) ... معادلة الإستمرارية ...

معادلة الإستمرارية هي معادلة تفاضلية تصف إنتقال أن نوع من الكميات الفيزيائية التي تطبق عليها قوانين الحفظ ... وحيث أن الكتلة، الطاقة، كمية الحركة، والشحنة الكهربية وباقي الكميات الطبيعية محفوظة ... فإن هذه المعادلة يمكن تطبيقها أو ملاحظتها في فروع الفيزياء المختلفة ...

تنص هذه المعادلة على أن "المقدار الكلي (للكمية المحفوظة) داخل أي منطقة ما معينة يمكن فقط أن يتغير بالمقدار الذي يدخل إلى (أو يخرج من) هذه المنطقة خلال الحدود" ...

فالكمية المحفوظة لا يمكن أن تزيد أو تنقص ... لكن يمكن أن تنتقل من مكان لآخر ...

وفي الكهرومغناطيسية ... يمكن أن تشتق هذه المعادلة بعدة طرق مختلفة ... منها التالية ...

من المعروف أن التيار الناتج خلال أى سطح مغلق يعطى من العلاقة

$I=\oint_{S}\vec{J}\cdot d\vec{S}$

وعلى فرض أن هذا التيار ناتج عن الشحنات الموجبة ... فإن الفيض الخارج من هذا السطح لابد وأن يُقابله نقص في كثافة الشحنة الموجبة (أو زيادة في كثافة الشحنة السالبة) خلال هذا السطح المغلق.

وبفرض أن مقدار الشحنة داخل هذا السطح هي $Q$ ، فإن معدل النقص سيكون $-dQ/dt$ ، وبناءً على مبدأ حفظ الشحنة يكون:

$I=\oint_{S}\vec{J}\cdot d\vec{S}=-\frac{dQ}{dt}$

وهذه هي الصورة التكاملية لمعادلة الإستمرارية ... والحصول على الصورة التفاضلية (النقطية) يكون على النحو التالي:

$\oint \vec{J} \cdot d\vec{S} = \int_{v}\left ( \blacktriangledown \cdot \vec{J} \right ) dv$

ولكن:

$Q = \int_{v}\rho dv$

إذاً:

$\int_{v}\left ( \blacktriangledown \cdot \vec{J} \right ) dv=-\frac{d}{dt} \int_{v}\rho dv=- \int_{v}\frac{\partial \rho}{\partial t} dv$

أو:

$\blacktriangledown \cdot \vec{J} \right )=-\frac{\partial \rho}{\partial t}$

وهذه هي الصورة التفاضلية لمعادلة الإستمرارية ... فكثافة التيار هى عبارة عن حركة كثافة الشحنة ...

*** طريقة أخرى ... من قانون أمبير مع تعديل ماكسويل ...

$\blacktriangledown \wedge \vec{H} = \vec{J}+ \frac{\partial \vec{D}}{\partial t}$

بأخذ $\blacktriangledown \cdot$ الطرفين نجد أن:

$\blacktriangledown \cdot\blacktriangledown \wedge \vec{H} = \blacktriangledown \cdot\vec{J}+\blacktriangledown \cdot \frac{\partial \vec{D}}{\partial t}=0$

أو:

$\blacktriangledown \cdot\vec{J}=-\blacktriangledown \cdot \frac{\partial \vec{D}}{\partial t}=- \frac{\partial \left (\blacktriangledown \cdot\vec{D} \right )}{\partial t}$

لكن من قانون جاوس نجد أن:

$\rho = \blacktriangledown \cdot \vec{D}$

إذاً:

$\blacktriangledown \cdot\vec{J}=- \frac{\partial \rho}{\partial t}$

وهو ما حصلنا عليه سابقاً ...

هذا كل شيء للآن لأني جداً مشغول هذا الأسبوع ...
أتمنى مرعاة ظروفي ...
لا تنسونا من صالح دعائكم ...