معادلات ماكسويل ... Maxwell's Equations ...

**رجب مصطفى** · 03-14-2010 09:29 PM

4* - قانون أمبير الدائري مع تعديل أو تصحيح ماكسويل (وهذه هي المعادلة الوحيدة (الجديدة) لماكسويل):
من قانون أمبير الدائري في الحالة الأولي (الغير معتمدة على الزمن) وجدنا أن:

$\blacktriangledown \wedge \vec{H} = \vec{J}$

ولدراسة التغير الناشيء في حالة الإعتماد على الزمن، نضرب الطرفين في $\blacktriangledown \cdot$ ، فنحصل على:

$\blacktriangledown \cdot \blacktriangledown \wedge \vec{H} = \blacktriangledown \cdot \vec{J}$

ولكن div curl يساوي صفراً، مما يستوجب أن يكون:

$\blacktriangledown \cdot \vec{J} = 0$

وهذا غير صحيح، لأنه من معادلة الإستمرارية نجد أن:

$\blacktriangledown \cdot \vec{J} = - \frac{\partial \rho }{\partial t}$

لذا قام ماكسويل بإفتراض أن:

$\blacktriangledown \wedge \vec{H} = \vec{J}+\vec{G}$

حيث $\vec{G}$ متجه له نفس أبعاد كثافة التيار، وعليه نضرب الطرفين مجدداً في $\blacktriangledown \cdot$ ، فنحصل على:

$\blacktriangledown \cdot \blacktriangledown \wedge \vec{H} = \blacktriangledown \cdot \vec{J}+\blacktriangledown \cdot \vec{G}=0$

أو:

$\blacktriangledown \cdot \vec{G} = - \blacktriangledown \cdot \vec{J}= \frac{\partial \rho }{\partial t}$

ولكن:

$\rho = \blacktriangledown \cdot \vec{D}$

إذاً:

$\blacktriangledown \cdot \vec{G} = \frac{\partial \left (\blacktriangledown \cdot \vec{D} \right ) }{\partial t}= \blacktriangledown \cdot \frac{\partial \vec{D}}{\partial t}$

أو:

$\vec{G}= \frac{\partial \vec{D}}{\partial t}$

والآن بالتعويض نجد:

$\blacktriangledown \wedge \vec{H} = \vec{J}+ \frac{\partial \vec{D}}{\partial t}= \vec{J}+\vec{J_{d}}$

حيث $\vec{J_{d}}$ هو كثافة تيار الإزاحة كما أطلق عليه ماكسويل.

والآن بأخذ التكامل السطحي لطرفي المعادلة السابق، نحصل على:

$\int_{S}\left (\blacktriangledown \wedge \vec{H} \right )\cdot d\vec{S}=\int_{S}\vec{J}\cdot d\vec{S}+ \int_{S}\frac{\partial \vec{D}}{\partial t}\cdot d\vec{S}$

أو:

$\oint \vec{H}\cdot d\vec{L} = I + I_{d}$

حيث:

$I_{d} = \int_{S}\frac{\partial \vec{D}}{\partial t}\cdot d\vec{S}$

*** *** ***

هذه في عُجالة ... معادلات ماكسويل ...

أتمنى أن تنال رضاكم ...

دمتم في رعاية الله وحفظه ...

نسألكم الدعاء ...