قانون بلانك لإشعاع الجسم الأسود ... نظرة إحصائية !

**رجب مصطفى** · 03-12-2010 10:14 PM

*** ملحق (4) ... الإشعاع المنبعث من الجسم الأسود:

إذا إعتبارنا فجوة بالغة الصغر، مساحة سطحها $\Delta A$ ، وفوتونات قادمة من الإتجاه $\theta \to \theta +d\theta , \phi \to \phi +d\phi$ الذي يحصر أو يُقابل الزاوية المجسمة $d\Omega$ ، حيث:

$d\Omega = \frac{\Delta A}{r^{2}}= \frac{r^{2}sin \theta d\theta d\phi }{r^{2}}= sin \theta d\theta d\phi$

وأن الزاوية المجسمة الكلية تساوى $4\pi$ .
فإن الفوتونات القادمة في زمن $\Delta t$ ستقع في متوازي الأضلاع الذي طوله $c \Delta t$ .

حجم هذا المتوازي الأضلاع هو:

$dA \times c \Delta t cos \theta$

وعليه عدد الفوتونات القادمة في وحدة الزمن من الإتجاه $\theta \to \theta +d\theta , \phi \to \phi +d\phi$ في مدى التردد الزاوي بين $\omega$ و $\omega + d\omega$ هو:

$= \frac{Volume.of.Parallelepiped}{\Delta t} \times Fractional.solid.angle \times states.density.in.this.frequency.interval$

أي:

$= \frac{dA \times c \Delta t cos \theta}{\Delta t} \times \frac{d\Omega }{4\pi } \times \frac{N\left ( \omega \right ) d\omega}{V}$

إذاً:

$=c dA \times cos \theta \times\frac{d\Omega }{4\pi} \times \frac{N\left ( \omega \right ) d\omega}{V}$

وبالتالي فإن الطاقة الكلية (سنسميها مثلاُ $E \left ( \omega ,T \right )$ ) التي تُشع في وحدة الزمن في مدى التردد الزاوي بين $\omega$ و $\omega + d\omega$ هي تكامل على الزاوية المجسمة فقط، مع ملاحظة أن حدود الزاوية $\theta$ في حالتنا تلك $0\to \frac{\pi }{2}$ ، من الشكل، أي:

$=\frac{c \not h \omega N\left ( \omega \right ) d\omega dA}{4\pi V} \int_{0}^{\pi / 2}sin \theta cos \theta d \theta \int_{0}^{2 \pi}d \phi$

حيث أن

$\int_{0}^{2 \pi}d \phi = 2 \pi$

ولحل التكامل

$\int_{0}^{\pi / 2}sin\theta cos \theta d\theta$

سنفرض أن

$t = sin\theta$

و

$dt = cos \theta d\theta$

إذاً:

$\int_{0}^{1}t dt = \frac{1}{2} \left t^{2} \right |_{0}^{1} = \frac{1}{2}$

بالتعويض، نحصل على العلاقة:

$E \left ( \omega ,T \right ) d \omega = \frac{c}{4}dA \left (\frac{ \not h \omega N\left ( \omega \right ) d\omega }{V} \right )$

ولكن الكمية الموجود بين القوسين هي عبارة عن كثافة الطاقة $u\left( \omega, T \right )d\omega&space$ ; للحجم $V$ ، أي أن:

$E \left ( \omega ,T \right ) d \omega = \left (\frac{c}{4} \right )dA \left u \left ( \omega ,T \right ) d \omega$

وعليه فإن القدرة Power خلال "وحدة المساحة" في نفس مدى التردد هي:

$E \left ( \omega ,T \right ) d \omega = \left (\frac{c}{4} \right )\left u \left ( \omega ,T \right ) d \omega$

ملحوظة: كثافة الطاقة هى طاقة لوحدة "الحجوم"، في حين أن الشدة هي القدرة لوحدة "المساحة" ... لذا حدد من البداية الرمز الذي سوف تتخذه لوصف الكمية التي تريد حتى لا يحدث لبس أو تداخل في الرموز.

ملحوظة ثانية: في المعادلات المعطاة ليست هناك مشكلة في الثوابت، فهي تتوقف على الحالة التي يتم دراستها إن كانت كرة أو مكعب أو أو ...، فقط إنتبه للمتغيرات !

ملحوظة ثالثة: أعتقد أن خطي هذه المرة أفضل !!! هههه ...

أتمنى أن ينال رضاكم ...

دمتم في رعاية الله وحفظه ...

نسألكم الدعاء ...