مسائل وحلول - المتتابعات الحسابية والهندسية

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 14 )

ح(ن) متتابعة حسابية ، فيها ح15 = 64
ح4 ، ح9 ، ح19 تكون متتابعة هندسية
أوجد المتتابعة الحسابية ؟
ثم أوجد مجموع 15 حدا الأولى منها

نفرض أن الحد الأول فى المتتابعة الحسابية = أ ، الأساس = د
أ + 14 د = 64 ـــــــــــــــــ> أ = 64 - 14 د ...... (1)

(أ + 8 د)^2 = (أ + 3 د)(أ + 18 د)
5 د ( 2 د - أ ) = 0 ـــــــــــــ> أ = 2 د ........... (2)
من (1) ، (2)
أ = 8 ، د = 4

المتتابعة الحسابية : 8 ، 12 ، 16 ، .....

ج15 = 15/2 × [ 2 × 8 + 14 × 4 ] = 540

للتحقق :
ح15 = أ + 14 د = 8 + 14 × 4 = 8 + 56 = 64

ح4 = أ + 3 د = 8 + 3 × 4 = 20
ح9 = أ + 8 د = 8 + 8 × 4 = 40
ح19 = أ + 18 د = 8 + 18 × 4 = 80
ح4 × ح19 = 20 × 80 = 1600 = (40)^2 = (ح9)^2

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 15 )

فى متتابعة هندسية
الوسط الحسابى للحدين ح2 ، ح5 = 9
الوسط الحسابى للحدين ح2 ، ح3 = 12
أوجد المتتابعة ؟
ثم أوجد مجموعها الى مالانهاية

نفرض أن الحد الأول = أ ، الأساس = ر
أ ر + أ ر^4 = 2 × 18 .................... (1)
أ ر + أ ر^2 = 2 × 24 .................... (2)
من (1) ، (2) بشرط ر لاتساوى - 1
أ = 32
ر = 1/2

ج = أ/(1 - ر) = 32/(1 - 1/2) = 64

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 16 )

متتابعة حسابية
مجموع ح1 + ح5 = 2
مجموع ح3 + ح4 = 5/4
أوجد مجموع الأربعين حدا الأولى منها ؟

نفرض أن الحد الأول فى المتتابعة الحسابية = أ ، الأساس = د
أ + أ + 4 د = 2 ـــــ> أ = 1 - 2 د ................... (1)
أ + 2 د + أ + 3 د = 5/4 ــــ> أ = (5 - 20 د) /8 ........ (2)
من (1) ، (2)
أ = 5/2 ، د = - 3/4

المتتابعة : 5/2 ، 7/4 ، 1 ، 1/4 ، - 1/2 ، ...

مجموع 40 حدا الأولى = 40/2 × [ 2 × 5/2 + 39 × - 3/4 ] = - 485

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 17 )

متتابعة حسابية
الحد الأول = 19
الحد الأخير = 95
مجموعها = 1140
أوجد المتتابعة ؟
ثم أوجد مجموع 12 حدا الأخيرة منها

نفرض أن الحد الأول = أ ، الأساس = د ، الحد الأخير = ل
أ = 19
ل = 95 = أ + (ن - 1) د = 19 + (ن - 1) د ............... (1)
ج ن = 1140 = ن/2 × [ أ + ل ] = ن/2 × [ 19 + 95 ] = ن/2 × 114
ومنها : ن = 20 ................................... .... (2)
بالتعويض فى (1)
ينتج أن : د = 4 ................................... ... (3)

المتتابعة : 19 ، 23 ، 27 ، ...... ، 95

مجموع 12 حدا الأخيرة = مجموع المتتابعة حدودها 20 حدا - مجموع 8 حدا الأولى منها
= 1140 - 8/2 × [ 2 × 19 + 7 × 4 ] = 1140 - 264 = 876

أو
12 حدا الأخيرة :
حدها الأول = ح9 فى المتتابعة الحسابية = أ + 8 د = 19 + 8 × 4 = 51
حدها الأخير = ل = 95
وعدد حدوها = 12
مجموعها = 12/2 × [ 51 + 95 ] = 876

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 18 )

متتابعة هندسية لانهائية
حدها الثانى = 2/3
مجموعها = 8/3
أوجد رتبة الحد الذى قيمته = 1/24

نفرض أن الحد الأول = أ ، الأساس = ر
أ ر = 2/3 ـــــــــــــــ> أ = 2/(3 ر) ............. (1)
أ/( 1 - ر) = 8/3
بالتعويض من (1)
2/[ 3 ر (1 - ر) = 8/3
4 ر^2 - 4 ر + 1 = 0
ومنها : ر = 1/2 ــــــــ> أ = 4/3
المتتابعة : 4/3 ، 2/3 ، 1/3 ، 1/6 ، 1/12 ، 1/24 ، ......

نفرض أن رتبة الحد الذى قيمته = 1/24 هو ن
1/24 = أ ر^(ن - 1) = 4/3 × (1/2)^(ن - 1)
(1/2)^(ن - 1) = 1/32 = (1/2)^5
ن - 1 = 5 ــــــــــــ> ن = 6
ويكون هو الحد السادس

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 19 )

ح(ن) متتابعة هندسية
ح1 = 32
الحد الأخير = 1/4
مجموع حدودها = 255/4
أوجد عدد حدود المتتابعة ؟
اثبت أنه يمكن جمع عدد غير متناه من حدودها ، وأوجد هذا المجموع

نفرض أن الحد الأول = أ ، الحد الأخير = ل ، الأساس = ر ، عدد الحدود = ن
أ = 32
ل = 1/4 = 32 ر^(ن - 1) ــــ> ر^ن = ر/128
ج(ن) = 255/4 = 32 [ ر^ن - 1 ]/[ر - 1] = 32 [ ر/128 - 1 ]/[ر - 1]
ومنها : ر = 1/2
ل = 1/4 = أ ر(ن - 1) = 32 ر^(ن - 1)
ر^(ن - 1) = 1/128 = (1/2)^7
ن = 8
والمتتابعة : 32 ، 16 ، 8 ، 4 ، 2 ، 1 ، 1/2 ، 1/4

حيث : ا ر ا < 1 ــــ> يمكن إيجاد مجموع حدود لامتناهى من المتتابعة الهندسية
= أ/(1 - ر) = 64

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 20 )

ح(ن) متتابعة حسابية
ح2 = 13
مجموع العشرة حدود الأولى منها = 235
أوجد المتتابعة ؟

أ + د = 13
10/2 × [ 2 أ + 9 د ] = 235
بحل المعاداتين جبريا : ــــــ > أ = 10 ، د = 3
المتتابعة : 10 ، 7 ، 4 ، 1 ، - 2 ، ...