مفاهيم رياضية أساسية: الأعداد

[الصادق]

بسم الله الرحمن الرحيم

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

مفاهيم رياضية أساسية: (1 )الأعداد

إذا ذكرت مجموعات الأعداد يتبادر إلى ذهننا مباشرة
1- مجموعة الأعداد الطبيعية



2- مجموعة الأعداد الصحيحة



مجموعة الأعداد النسبية



أسئلة:

1- لماذا كتبت مجموعة الأعداد النسبية بطريقة مختلفة عن سابقاتها؟

2- مجموعة الأعداد النسبية لها مجموعة من الخواص الرياضية تميزها فما هي هذه الخواص؟


3- تعرف النسبة التقريبية
على أنها النسبة بين محيط أي دائرة و قطرها (حيث أن تلك النسبة ثابتة لكل الدوائر كما تعلمون )
فإلى أي مجموعات الأعداد تنتمي هذه النسبة؟

أرجو أن نحاول الإجابة على هذه الاسئلة

كمدخل حقيقي أولي و لازم لفهم جيد للأعداد و أهميتها

و العمليات عليها

و خواص تلك العمليات

قبل التعرف على المجموعة الأكثر تعقيدا

(مجموعة الأعداد الحقيقية)

وعليكم السلام ورحمة الله وبركاته
حياك الله اختي الكريمة تغريد
و جزاك الله خيراً على هذا الطرح الرائع

محاولة الاجابة على الأسئلة

1- لماذا كتبت مجموعة الأعداد النسبية بطريقة مختلفة عن سابقاتها؟

ربما تم تعريف الاعداد النسبية بهذه الطريقة المختلفة عن سابقاتها نسبة لتكافؤ عدد لانهائي من النسب التى تمثل نفس العدد النسبي فمثلاً 1/2 يساوى 2/4 يساوي 4/8 ... لا الخ (ان صح التعبير) ان جميعها يمثل نفس العدد النسبي

و فى حالة خاصة عندما تساوي b الواحد الصحيح فان هذا يعطي مجموعة الاعداد الصحيحة اذن فان هذا التعريف

يمثل توسيع مباشر لحقل الاعداد من الاعداد الصحيحة الى الاعداد النسبية

2- مجموعة الأعداد النسبية لها مجموعة من الخواص الرياضية تميزها فما هي هذه الخواص؟

اعتقد ان اوضح فرق يميز مجموعة الاعداد النسبية عن سابقاتها (الطبيعية والصحيحة) هو الكثافة لانه بين اى عددين نسبين نجد عدداً نسبياً آخر و بمعنى ادق يوجد عدد لانهائى من الاعداد ىالنسبية بين اى عددين نسبيين

تعرف النسبة التقريبية
على أنها النسبة بين محيط أي دائرة و قطرها (حيث أن تلك النسبة ثابتة لكل الدوائر كما تعلمون )
فإلى أي مجموعات الأعداد تنتمي هذه النسبة؟

تنتمي لمجموعة اعداد بحيث لا يوجد عددين صحيحين a و b بحيث ان باي تساوى خارج قسمتهما
اى ان باى لايمكن تمثيلها فى شكل خارج قسمة عددين صحيحين

والله اعلم

بارك الله فيك وجزاك كل خير

[محمد ابوزيد]

النسبة التقريبية

عدد غير نسبى

ومن ثم فان اتحاد الاعداد النسبية وغير النسبية يعطى الاعداد الحقيقية

[محمد ابوزيد]

وبالنسبة للتوسع فى الاعداد فاننا عندما نواجه معادلة جديدة ونحاول حلها

فربما لا نجد ضالتنا فى الاعداد المتوفرة لدينا

مثلا المعادلة:

x+1=0

ما هو حلها ؟

ان مجموعة الاعداد الطبيعية لن تفى هنا بالغرض فى الحل لانها لا تحتوى على

اعداد سالبة

والمعادلة :

2x-3=0

لن تفى هنا مجموعة الاعداد الصحيحة للحل


والمعادلة :

x^2-4=0

لن تفى هنا مجموعة الاعداد النسبية للحل

والمعادلة:

x^2+1=0

لن تفى مجموعة الاعداد الحقيقية للحل


اخوكم / محمد ابوزيد

[تغريد]

وعليكم السلام ورحمة الله وبركاته
حياك الله اختي الكريمة تغريد
و جزاك الله خيراً على هذا الطرح الرائع

محاولة الاجابة على الأسئلة



ربما تم تعريف الاعداد النسبية بهذه الطريقة المختلفة عن سابقاتها نسبة لتكافؤ عدد لانهائي من النسب التى تمثل نفس العدد النسبي فمثلاً 1/2 يساوى 2/4 يساوي 4/8 ... لا الخ (ان صح التعبير) ان جميعها يمثل نفس العدد النسبي

و فى حالة خاصة عندما تساوي b الواحد الصحيح فان هذا يعطي مجموعة الاعداد الصحيحة اذن فان هذا التعريف

يمثل توسيع مباشر لحقل الاعداد من الاعداد الصحيحة الى الاعداد النسبية


اعتقد ان اوضح فرق يميز مجموعة الاعداد النسبية عن سابقاتها (الطبيعية والصحيحة) هو الكثافة لانه بين اى عددين نسبين نجد عدداً نسبياً آخر و بمعنى ادق يوجد عدد لانهائى من الاعداد ىالنسبية بين اى عددين نسبيين


تنتمي لمجموعة اعداد بحيث لا يوجد عددين صحيحين a و b بحيث ان باي تساوى خارج قسمتهما
اى ان باى لايمكن تمثيلها فى شكل خارج قسمة عددين صحيحين

والله اعلم

بارك الله فيك وجزاك كل خير

أشكرك كثيرا أخي الكريم الصادق بارك الله فيك

أخي الكريم بالنسبة للسؤال الأول
قلت

ربما تم تعريف الاعداد النسبية بهذه الطريقة المختلفة عن سابقاتها نسبة لتكافؤ عدد لانهائي من النسب التى تمثل نفس العدد النسبي فمثلاً 1/2 يساوى 2/4 يساوي 4/8 ... لا الخ (ان صح التعبير) ان جميعها يمثل نفس العدد النسبي

حسنا أخي الكريم و لكن إذا اعتبرنا أن هذه المشكلة يمكن تجاوزها بالقول بأن كل عدد نسبي يمكن وضعه على شكل حاصل قسمة عددين صحيحين ليس لهما عوامل مشتركة سوى الواحد الصحيح(العدد في أبسط صورة)
لو اعتمدنا ذلك
هل يمكن أن نكتب مجموعة الاعداد النسبية كما فعلنا في مجموعة الأعداد الصحيحة و الطبيعية بسرد عناصرها

اعتقد ان اوضح فرق يميز مجموعة الاعداد النسبية عن سابقاتها (الطبيعية والصحيحة) هو الكثافة لانه بين اى عددين نسبين نجد عدداً نسبياً آخر و بمعنى ادق يوجد عدد لانهائى من الاعداد ىالنسبية بين اى عددين نسبيين

أصبت أخي الكريم هذا أهم الفروق بين المجموعتين من حيث الطبيعة

و هناك أيضا فروقا جبرية
حيث أن هذه المجموعة تمتاز بكونها مغلقة على عملية الجمع و الطرح و في ذات الوقت بعد طرح الصفر منها تكون مغلقة على عملية الضرب و القسمة و هذا ما لم يتوفر في المجموعات الأخرى



و كذلك بالنسبة للسؤال الثالث أصبت بالطبع لأن النسبة التقريبية بين محيط أي دائرة و نصف قطرها لا يمكن كتابته على صورة قسمة عددين صحيحين أبدا


شكرا لك أخي الكريم و بارك الله فيك

[تغريد]

وبالنسبة للتوسع فى الاعداد فاننا عندما نواجه معادلة جديدة ونحاول حلها

فربما لا نجد ضالتنا فى الاعداد المتوفرة لدينا

مثلا المعادلة:

X+1=0

ما هو حلها ؟

ان مجموعة الاعداد الطبيعية لن تفى هنا بالغرض فى الحل لانها لا تحتوى على

اعداد سالبة

والمعادلة :

2x-3=0

لن تفى هنا مجموعة الاعداد الصحيحة للحل


والمعادلة :

X^2-4=0

لن تفى هنا مجموعة الاعداد النسبية للحل

والمعادلة:

X^2+1=0

لن تفى مجموعة الاعداد الحقيقية للحل


اخوكم / محمد ابوزيد

أصبت أخي الكريم محمد بارك الله فيك


قبل أن ننتقل للحديث عن الأعداد الحقيقة

أخي الكريم محمد
الاخوة الكرام
تطرقنا في الحديث للعمليات على الأعداد

ما هي خواص هذه العمليات على مجموعة الأعداد النسبية التي تجعل التعامل معها أسهل و أثر سلاسة من اي عملية أخرى ؟

[محمد ابوزيد]

الاخت الكريمة تغريد:

بالنسبة لهذه العبارة:


هناك أيضا فروقا جبرية
حيث أن هذه المجموعة تمتاز بكونها مغلقة على عملية الجمع و الطرح و في ذات الوقت بعد طرح الصفر منها تكون مغلقة على عملية الضرب و القسمة و هذا ما لم يتوفر في المجموعات الأخرى


فاعتقد ان مجموعة الاعداد النسبية غير مغلقة على عملية القسمة

وكمثال 4 عدد نسبى و 0 عدد نسبى

وخارج قسمة 4 على 0

غير معرف فى مجموعة الاعداد النسبية

اخوكم / محمد ابوزيد

[تغريد]

الاخت الكريمة تغريد:

بالنسبة لهذه العبارة:


هناك أيضا فروقا جبرية
حيث أن هذه المجموعة تمتاز بكونها مغلقة على عملية الجمع و الطرح و في ذات الوقت بعد طرح الصفر منها تكون مغلقة على عملية الضرب و القسمة و هذا ما لم يتوفر في المجموعات الأخرى


فاعتقد ان مجموعة الاعداد النسبية غير مغلقة على عملية القسمة

وكمثال 4 عدد نسبى و 0 عدد نسبى

وخارق قسمة 4 على 0

غير معرف فى مجموعة الاعداد النسبية

اخوكم / محمد ابوزيد

نعم أخي الكريم هي غير مغلقة على عملية القسمة
و لكني نوهت بأنها مغلقة بعد طرح الصفر منها
و لكن ربما لم تكن عبارتي واضحة