العلاقة بين الإحداثيات الكارتيزية والإحداثيات الخطية المنحنية

بفرض أن النقطة P(x,y,z) لها متجه الموضع



بالنسبة لمجموعة الإحداثيات المتعامدة حيث:



فإذا ما غيرنا إلى الإحداثيات u,v,w فإننا نحصل على متجه الموضع كدالة في u,v,w، ومن ثم فإن:



هي مماسات لمنحنيات الإحداثيات، وبفرض أن:



هي متجهات الوحدة في إتجاه الإحداثيات فسنجد أن:



حيث:



وبالتالي ستعطى متجهات الوحدة من العلاقة:



ولكي تكون هذه الإحداثيات "متعامدة orthogonal" فيجب أن تتحقق العلاقات:



وعليه فإن عنصر الطول في مثل هذه الإحداثيات يمكن أن يوضع على الصورة:



وبالتعويض من (6):



وبالتالي يكون مربع عنصر الطول الواصل بين النقطتين (u,v,w) و (u + du,v + dv,w + dw) هو:



أما عنصر المساحة فيمكن أن يأخذ إحدى الصور التالية:



بينما يعطى عنصر الحجم من العلاقة:



(يتبع) ******