معضلة هندسية تواجهني

[قسوره]

اخوتي الكرام السلام عليكم
لقد صنعت كرة من الحديد أعرف وزنها تماما وأعرف حجمها ، ثم قمت بتوزيع مادتها بصورة عكسية مع حجمها بحيث تصبح كثافتها أعلى ما تكون عند المركز وأقل ما تكون عند السطح، ثم قمت، مستعملا أدوات الخراطة، بنحت وصناعة قضيب من جسم هذه الكرة ، صنعته على امتداد نصف قطر الكرة . ثم اردت قياس ما يلي:
1) وزن القضيب الإجمالي
2) كثافة مادة القضيب عند كل نقطة من نقاطه، مع العلم أن سمك القضيب متناهي في الصغر


أعلم أن ذلك كله يحتاج الى شيء من التفاضل والتكامل ولكن كيف؟

[قسوره]

للتذكير فقط ، لقد اردت مكاملة متوسط كثافة الكرة لكن النتائج النظرية لم تتوافق مع المشاهد عمليا، هل يعود السبب لخطأ رياضي ارتكبته في مكاملة الدالة التالية؟ ام أن الأمر يحسب بطرق رياضية أخرى؟

M/4/3π r3

[عزام أبوصبحة]

اخي الكريم يجب ان تذكر كيفية توزيع الكتلة مع زيادة نصف القطر اي ما هي العلاقة بين كتلة الجزء الصغير منها وبعده عن المركز

[قسوره]

لقد وزعت الكتلة بالتساوي على طول نصف القطر واصبح المتغير الوحيد هو حجم الكرة ، بمعنى أن الكثافة عند أي بعد عن مركز الكرة تعتمد على حجم الكرة وليس على مقدار المادة فذلك أعتبرته ثابتا في جميع المقاطع الحجمية للكرة ..
فالمشكلة لدي الآن هو كيفية تكامل هذه الكثافة تبعا لحجم الكرة حتى استطيع أن اقدر مقدار الكثافة عند اي بعد عن المركز ؟ اعتقد أنه امر سهل على أي شخص ملم ببعض من مبادئ التكامل لكنه استعصى علي لأنني حصلت على نتائج غير دقيقة..

[عزام أبوصبحة]

ارجو ان اكون اقتربت من الموضوع

[قسوره]

شكرا لك استاذ عزام على ردك الجميل وذلك بالرغم من أنني لم افهم بالصورة المثلى ، فأنا يا استاذي لم احدد نصفي قطر للكرة أحدهما قبل توزيع الكتلة والآخر بعد التوزيع بل هو نصف قطر واحد وفقط، وهو نصف القطر بعد ما تم توزيع الكتلة على الحجم. هذه ناحية .
ومن ناحية اخرى ولكي تكون الأمور اكثر وضوحا لي ولغيري و أتمكن من فهم شرحك كما يجب يكفي معرفة الآتي : تكامل دالة الكثافة لأي كرة مرة بالنسبة للسطح ومرة بالنسبة لنصف القطر وهل هناك خلاف بين الإثنين. اي بمعنى أننا نريد احتساب وزن غشاء رقيق لكرة ما يؤول سمكه الى الصفر وكان متوسط كثافة الكرة في كل نقطة بعيدة عن المركز هو ناتج قسمة الكتلة على الحجم عند ذلك البعد.
ايضا على مستوى نصف القطر كيف نقيس كتلة أو وزن قضيب يؤول سمكه الى الصفر ممتد بموازاة نصف قطر الكرة .
اعتقد انه في كلا الحالتين يتم تكامل الدالة التالية مرة بالنسبة لسطح الكرة ومرة بالنسبة لنصف قطرها. اليس كذلك؟

M/4/3π r3
وتقبل تحياتي يا أستاذنا الكبير