اعدد غرسمان او الاعداد الفيرميونية
تعلمنا فى الفيزياء ان هناك نوعان من الجسيمات
بوزونات وهى جسيمات تخضع لاحصاء بوز-انشتاين حيث اذا قمنا بتبديل بوزونين فان الدالة الموجية لهما لا تتأثر بهذا التبديل ونتيجة لذلك فان اى عدد من البوزونات يمكن ان يشغل نفس الحالة الكمية
فيرميونات وهى جسيمات تخضع لاحصاء فيرمى-ديراك حيث اذا قمنا بتبديل فيرميونيين فان الدالة الموجية تكتسب اشارة سالبة و لذلك نقول ان الفيرميونات تخضع لمبدأ باولى الاستبعادى و الذى يُحرم على اى فيرميونيين ان يشغلا نفس الحالة الكمية فى نفس الوقت
مجموعة الاعداد الحقيقية ومجموعة الاعداد المركبة تحقق الخاصية الابدالية و لذلك فانها تتوافق مع البوزونات اما الفيرميونات طالما انها غير ابدالية بطبيعتها فاننا نحتاج الى مجموعة اعداد تحقق الخاصية اللابدالية و هذه الاعداد تُعرف بالاعداد الفيرميونية او اعداد غراسمان
اعداد غراسمان:
تعريف:
تعرف اعداد غراسمان بانها الاعداد التى تحقق الخاصية ضد الابدالية اى ان
واذا كانت الفا تساوى بيتا اعداد لغراسمان فان العلاقة (1) تتطلب ان يكون مربع عدد غراسمان يساوى صفراً اى ان
ادعاء:
ناتج حاصل ضرب عددين لغراسمان يعطى عدد ابدالى
البرهان:
الاعداد الابدالية (البوزونية) تحقق الخاصية الابدالية فى الضرب
الان افترض ان الفا و بيتا هى اعداد فيرميونية اى اعداد تحقق جبرا غراسمان (1) وهكذا فان
حيث استخدمنا خاصية الدمج
و بتبديل العددين داخل القوس سوف نحصل على اشارة سالبة اى ان
وبتبديل الاعداد داخل القوسين الاول والثانى واستخدام خاصية الدمج سوف نحصل على
(\alpha_2\beta_2)=-(-\alpha_2\alpha_1)(-\beta_2\beta_1)=-\alpha_2(\alpha_1\beta_2)\beta_1=-\alpha_2(-\beta_2\alpha_1)\beta_1)
اى ان
وطالما ان هذه العلاقة تحقق الخاصية الابدالية فان هذا يبرهن ان حاصل ضرب عددين لغراسمان يعطى عداداً ابدالياً
يتبع....
رد مع اقتباس
المشاركة الأصلية كتبت بواسطة محمد ابوزيد
مواقع النشر (المفضلة)