الطبيعة الموجية للمادة وموجات "دي برولي"

[رجب مصطفى]

بسم الله الرحمن الرحيم

والصلاة والسلام على رسول الله "محمد بن عبد الله"

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

إخواني زوار وأعضاء ومشرفي المنتدى الكرام

تحية طيبة إليكم وكل عام وأنتم بخير

*****

نتابع اليوم شرح الجزء الثاني من أساسيات الحركة الموجية والتي أعتقد أنها "بالنسبة لي" تعتبر مدخل أساسي لدراسة وفهم مبادئ "ميكانيكا الكم" وذلك بأسلوب جديد وهو الشرح المباشر المقتبس من الأخ الفاضل "الرائع جداً" الأستاذ / الصادق وذلك حتى يمكن لزوار المنتدى أن يستفيدوا منه، وأرجو من الله أن ينال إعجابكم.

والآن مع:

*** ( الطبيعة الموجية للمادة وموجات "دي برولي" ) ***

في سبيل تفسير نتائج العديد من التجارب العملية التي تتضمن التفاعل بين الطاقة الإشعاعية (الموجات الكهرومغناطيسية / الإشعاع) والمادة، كإشعاع الجسم الأسود – التأثير الكهروضوئي – ظاهرة كومبتون، كان من الضروري إعطاء الطاقة الإشعاعية بعض الخواص المميزة للجسيمات أكثر من تلك المميزة للموجات.
فمن المعروف أن كمية الطاقة لهكذا جسيم من الطاقة الإشعاعية (فوتون) تعطى من العلاقة:



حيث h ثابت "بلانك Plank"، و υ (نيو) تردد الإشعاع، هذا التردد (نيو) υ عادةً ما يحسب من قياسات الطول الموجي (لمدا) λ للإشعاع باستخدام العلاقة:



حيث c سرعة الضوء، والطول الموجي (لمدا) λ يحسب فقط من بعض التجارب التي تتضمن التداخل والحيود وهي الظواهر المميزة للموجات.

وعلى الرغم من الحقيقة القائلة بأن "الإشعاع يمتلك الطبيعة المزدوجة، فإنه لا يُظهر أبداً كلا الصفتين في تجربة واحدة"، أي أنه في تجربةٍ ما معينة يتصرف كجسيم أو كموجة.
وبحلول العام 1920 أصبحت فكرة ثنائية الموجات الكهرومغناطيسية مقبولة لدى العلماء بالرغم من عدم وضوحها، واستمروا في جمع المعلومات التجريبية واعتادوا على تفسير الظواهر إما باستعمال الصفة الموجية أو الصفة الجسيمية للضوء (الموجات الكهرومغناطيسية).

وفي العام 1924 تقدم العالم الفيزيائي الفرنسي "لويس دي برولي Louis de Broglie" في أطروحته لنيل درجة الدكتوراه من جامعة باريس، وفيها إقترح إقتراحاً مفاده "أنه طالما أن الضوء (الموجات الكهرومغناطيسية) يتصرف تصرفاً مزدوجاً وله صفة موجية وأخرى جسيمية، فربما تكون للمادة أيضاً طبيعة موجية بالإضافة لطبيعتها الجسيمية".

ولقد كانت فكرته في ذلك الوقت مخالفة للمفاهيم السائدة ولم يكن لها أي مبرر تجريبي، وبمرور مدة لا تتجاوز الثلاث سنوات أصبح لها مكانة هامة في أوساط العلماء وكان لها دور هام في تطوير ميكانيكا الكم.
فطبقاً لفرضية "دي برولي" فإن الطبيعة المزدوجة يجب أن لا تقتصر على الإشعاع وحده، بل تشمل كل المكونات الأساسية للمادة وعليه، فإن الإلكترونات، البروتونات، الذرات والجزيئات يجب أن تُظهر نوعاً من الحركة الموجية مصاحبة لهم.

(يتبع) ******

[رجب مصطفى]

هذا، وقد استعمل "دي برولي" في فرضيته نتائج كلاً من النظرية النسبية الخاصة وميكانيكا الكم، فمن النسبية نجد أن طاقة الفوتون هي:



حيث P كمية حركة الفوتون، ولكن طاقة هذا الفوتون تعطى في ميكانيكا الكم من العلاقة:



وبالتعويض في (1)، نحصل على:



لذلك، وحسب إقتراح "دي برولي" فإن الجسيمات المادية التي لها كمية حركة P يمكن أن يكون لها خاصية موجية وأطوال موجية خاصة بها.
ولكن كمية الحركة لجسيم كتلته m يتحرك بسرعة v هي:



وعليه يكون طول الموجة الخاص به والمصاحب له هو:



وهنا يُعرف طول الموجة (لمدا) λ بــ "طول موجة "دي برولي" للجسيم De Broglie wavelength of the particle".
ومن المناسب في كثير من الأحيان كتابة هذه العلاقة بدلالة طاقة الحركة T للجسيم، على النحو التالي:



إذاً:



ولجسيم مثل الإلكترون يكتسب سرعته v تحت تأثير فرق جهد مقداره V ، تكون طاقة حركته هي:



ولقد كانت تجربة "دافيسون وجرمر Davison and Germer" أول تأكيد لهذه الفرضية، حيث لاحظ هذان العالمان أن توجيه حزمة متوازية من الإلكترونات أحادية الطاقة على بلورة نيكل، يؤدي إلى تكون نهايات عظمى وصغرى للإلكترونات المتشتتة ويتشكل مخطط حيود diffraction pattern مشابه تماماً لحيود الإشعة السينية X-rays .

(يتبع) ******

[رجب مصطفى]

*** ( سرعة موجات دي برولي ) ***

إن سرعة موجات "دي برولي" المصاحبة لحركة الجسيم ليست بالضرورة مساوية لسرعة الجسيم نفسه، حيث يمكن إيجاد العلاقة بين السرعتين بسهولة على النحو التالي:
فبفرض أن (لمدا) λ هو طول موجة "دي برولي" المصاحبة، و(نيو) υ هي التردد فإن سرعة الموجة w هي:



وطاقتها الكلية هي:



حيث P هي كمية حركة الجسيم المتحرك بسرعة v ، ولكن من النسبية تكون طاقته الكلية هي:



وعليه:



وحيث أن السرعة v لأي جسيم مادي دائماً أصغر من السرعة c ، فإن سرعة موجة "دي برولي" المصاحبة له يجب أن تكون أكبر من سرعة الضوء وهذا غير ممكن.

أي أن هذا الجسيم لا يستطيع اللحاق بموجته المصاحبة له، لذلك افترض أن الموجات المادية المصاحبة للجسيم تكون عبارة عن مجموعة من الموجات group of waves وكل موجة في هذه المجموعة تختلف عن الأخرى في التردد والطول الموجي بمقدار صغير، ولذلك ستختلف سرعة إنتشار "المجموعة" التي تتكون من مجموع الموجات المختلفة عن سرعة كل موجة على حدة وستظهر على شكل "حزمة أو نبضة wave packet" تنطلق بنفس سرعة الجسيم.

(يتبع) ******

[رجب مصطفى]

هذا، وتختلف سرعة موجات "دي برولي" عن الموجات الكهرومغناطيسية (الضوء) في أمر هام جداً وهو أن سرعة موجة "دي برولي" دالة في الطول الموجي حتى في الفراغ (الخالي من المادة). ويمكن إثبات ذلك ما يلي:
حيث:



ولكن من النسبية يمكن أن تعطى الطاقة الكلية من العلاقة:



وعليه:



إذاً:



ومنها نجد أنه لجسيم كتلته السكونية "m(node) > 0" تكون سرعة موجته المصاحبة له أكبر من سرعة الضوء، وأيضاً نجد أن سرعة موجة "دي برولي" دالة في الطول الموجي، وللفوتونات (حيث "m(node) = 0") تكون سرعة الموجة هي نفسها سرعة الضوء.

(يتبع) ******

[رجب مصطفى]

*** ( سرعة الموجة وسرعة المجموعة ) ***

في أي وسط مبدد للطاقة، والذي فيه تعتمد سرعة الموجة w على طول موجتها (لمدا) l ، تنتشر الموجات ذات الأطوال الموجية المختلفة خلال هذا الوسط كمجموعة group بسرعة u والتي تختلف عن السرعة w .
ولإيجاد العلاقة بين هاتين السرعتين نعتبر موجتين مختلفتين قليلاً في الطول الموجي تنتشران خلال الوسط المذكور كما هو مبين بالشكل التالي:



والذي فيه الموجة العليا ABC ذات الطول الموجي (لمدا) l تتحرك بسرعة w، في حين تنتشر الموجة السفلية A`B`C` ذات الطول الموجي (لمدا + d (لمدا)) l + dl بسرعة w + dw في نفس إتجاه الموجه الأولى.

فاعتبار اللحظة التي تتوافق فيها قمتان، ولتكن القمتان B,B`، هي اللحظة t = 0 فإن سعة الموجة المحصلة ستكون نهاية عظمى عند هذا الموضع.
وبعد زمن t ستسبق القمة B` القمة B بمسافة قدرها (d (لمدا)) dl، الأمر الذي يجعل القمة A تتوافق مع A` وعليه فإن أقصى سعة ستكون عند هذا الموضع الجديد.
والأن بفرض أن المسافة المقطوعة خلال الزمن t هي s فإن سرعة المجموعة u ستعطى من العلاقة:



ولكن:



وعليه:



ولكننا نجد أيضاً أن:



بالتعويض في (6) نحصل على:



وهي المعادلة التي تبين العلاقة بين سرعة المجموعة u وسرعة الموجة w (للموجات المنفردة في المجموعة).
وإذ لم يكن هناك أي تبديد للطاقة، على سبيل المثال انتشار الضوء في الفراغ، فإن "dw / dl = 0" وعليه فإن:



أي أن سرعة المجموعة هي نفسها سرعة الموجة.

(يتبع) ******

[رجب مصطفى]

*** ( سرعة المجموعة وسرعة الجسيم ) ***

يمكن بسهولة إثبات أن سرعة المجموعة u من أمواج "دي برولي" هي نفسها سرعة الجسيم v، وذلك على النحو التالي:



بالتعويض في (7):



لكن:



بالتعويض مرة أخرى في (8):



لنحصل على:



ولكن من المعادلة (4) نجد أن:



وعليه فإن:



أي أن سرعة مجموعة موجات "دي برولي" المصاحبة لحركة الجسيم هي نفسها سرعة الجسيم، وبمعنى آخر تتحرك موجات "دي برولي" متزامنةً مع الجسيم.

ملحوظة هامة: سرعة الموجة هي w وسرعة المجموعة هي u وسرعة الجسيم هي v.

********

دمتم برعاية الله

[phy cool]

شكرا جزيلا لك اخي رجب.............