التماثل و التماثل الفائق

**الصادق** · 08-28-2009 04:44 AM

اقواس بوايسون

تعتبر اقواس بوايسون عبارة عن وصف جبرى للميكانيكا الكلاسيكية (هى نفسها تكاد تنطبق على اقواس التبادلية فى ميكانيكا الكم)

التعريف:

افترض ان $%20A(q,p)\; ,\; B(q,p)$ هما عبارة عن دوال فى فضاء الطور (فى ميكانيكا الكم نعتبرهما مؤاثرات فى فضاء هيلبيرت ونستبدل اقواس بوايسون باقواس التبادلية) الان نُعرف قوسا بوايسون $\{A,B\}_p$ بالعلاقة التالية

$\{A,B\}_p=\sum_{k=1}^{N}\left[ \frac{\partial A}{\partial q_k}\;\frac{\partial B}{\partial p_k}-\frac{\partial B}{\partial q_k}\;\frac{\partial A}{\partial p_k}\right ]\qquad (15)$

خواص اقواس بوايسون:

1- خاصية ضد التماثلية

$\{A,B\}_p=-\{B,A\}_P \qquad (16)$
2-الخاصية الخطية

$\{\alpha A+ \beta B,C\}_p=\alpha \{A,C\}_p+\beta \{B,C\}_p \qquad (17)$

3-خاصية لايبنز
$\{AB,C\}_p=A\{B,C\}_p+\{A,C\}_p B \qquad (18)$

4-متطابقة جاكوبى

$\{A,\{B,C\}_p\}_p+\{B,\{C,A\}_p\}_p+\{C,\{A,B\}_p\}_p=0 \qquad (19)$

تمرين: مستخدماً التعريف (15) برهن خواص اقواس بوايسون (16) و (17) و (18) و (19)

الان تلاحظ ان خواص اقواس بوايسون هى نفسها خواص جبر المصفوفات بالنسبة لتبادلية المصفوفات $[A,B]=AB-BA$ وايضاً هى نفسها خواص التفاضل d (ولهذا السبب نجد ان فى ميكانيكا الكم هناك وصفين مستقلين وهما الوصف المصفوفى وهو وصف هايزنبيرج (ميكانيكا المصفوفات) و الوصف التفاضلى (الموجى) وهو وصف شرودنجر (ميكانيكا الموجات)

مثال: احسب قوسا بوايسون للموقع وكمية الحركة $\{q_i,p_j\}_p$

الحل: بتعويض $A=q_i$ و $B=p_j$ فى تعريف قوسا بوايسون فى المعادلة (15) نحصل على

$\{q_i,p_j\}_p=\sum_{k=1}^{N}\left(\frac{\partial q_i}{\partial q_k}\;\frac{\partial p_j}{\partial p_k}-\frac{\partial p_j}{\partial q_k}\;\frac{\partial q_i}{\partial p_k } \right )$

طالما ان الاحداثيات المكانية مستقلة خطياً عن كميات الحركة فان تفاضل q بالنسبة ل p يساوى صفر و ايضاً تفاضل p بالنسبة لq يساوى الصفر, وهكذا فان الحد الثانى فى الطرف الايمن من المعادلة الاخيرة يساوى صفراً

$\{q_i,p_j\}_p=\sum_{k=1}^{N}\left(\frac{\partial q_i}{\partial q_k}\;\frac{\partial p_j}{\partial p_k} \right )$

الان تفاضل $q_i$ بالنسبة ل $q_k$ يساوى و احد فى حالة كانت i=k وعندها نكون قد فاضلنا دالة بالنسبة لنفسها اما اذا كانت i لا تساوى k فان التفاضل سوف يساوى صفراً لاننا حينها نكون فاضلنا بعد احداثى بالنسبة لاحداثى اخر مستقل عنه. وهكذا فان

$\frac{\partial q_i}{\partial q_k}=\left\{\begin{matrix} 1 & i=k\\ 0 & i\neq k \end{matrix}\right.$

هناك دالة تُعرف بدلتا كرونكر و يرمز لها بالرمز بالحرف دلتا $\delta_{ik}$ وهى تساوى وحد فى حال كانت i=k وتساوى صفراً عند i لا تساوى k اى ان

$\delta_{ik}=\left\{\begin{matrix} 1 & i=k\\ 0 & i\neq k \end{matrix}\right.$

وهكذا فان التفاضل اعلاه يساوى دالة كرونكر

$\frac{\partial q_i}{\partial q_k}=\delta_{ik}$

وبنفس المنطلق نجد ان تفاضل $p_j$ بالنسبة ل $p_k$ يساوى الواحد فى حال تساوى المعاملات ويساوى صفراً فى ما عدا ذلك و هكذا فاننا سوف نحصل على دالتا كرونكر مرة اخرى

$\frac{\partial p_j}{\partial p_k}=\delta_{ik}$

الان بالتعويض فى قوسا بوايسون اعلاه نحصل على

$\{q_i,p_j\}_p=\sum_{k=1}^{N}\left(\delta_{ik}\delta_{jk} \right )$

طالما اننا سوف نجمع جميع القيم الممكنة ل k فان دلتا كرونكر الثانية سوف تساوى 1 فقط عند قيمة k التى تساوى j وهكذا سوف نعوض k ب j فى جميع اجزاء العلاقة الاخيرة مما يجعل دلتا كرونكر الثانية مساوية لواحد و يصيح لدينا دالتا بين i و j اى ان

$\{q_i,p_j\}_p=\delta_{ij}\qquad(20)$

ونلاحظ ان هذه العلاقة تشبة اقواس التبادلية بين مؤثر الموقع و كمية الحركة فى ميكانيكا الكم

يتبع............

**Tyns19** · 08-28-2009 08:33 AM

السلام عليكم
سأحاول برهنة الخواص 16،17،18،19 وذلك باستخدام التعريف 15:
ملاحظة: من أجل التبسيط سأبرهن الخواص السابقة من أجل درجة حرية وحيدة وهذا لا ينقص من البرهان أي شيء بل سيبقى البرهان شامل للحالة العامة التي تبرهن بنفس الطريقة لهذا فأنا أستعمل التعريف 15 في الصورة التالية:

$\150dpi \{A,B\}_p=\frac{\partial A}{\partial q}\;\frac{\partial B}{\partial p}-\frac{\partial B}{\partial q}\;\frac{\partial A}{\partial p}$

استعملت درجة حرية وحيدة حتى لا نكتب في كل مرة عبارة المجموع و الأندكس k وما الى غير ذلك، وطريقة البرهان في الحالة العامة هي نفسها.

1- خاصية ضد التماثلية:
حسب التعريف يمكن أن نكتب:

$\150dpi \{B,A\}_p=\frac{\partial B}{\partial q}\;\frac{\partial A}{\partial p}-\frac{\partial A}{\partial q}\;\frac{\partial B}{\partial p}=-\left( \frac{\partial A}{\partial q}\;\frac{\partial B}{\partial p}-\frac{\partial B}{\partial q}\;\frac{\partial A}{\partial p} \right)=-\{A,B\}_p$

وبهذا نكون قد برهنا الخاصية الأولى#.

2-الخاصية الخطية:

$\150dpi \{\alpha A+ \beta B,C\}_p=\frac{\partial R}{\partial q}\frac{\partial C}{\partial p}-\frac{\partial R}{\partial p}\frac{\partial C}{\partial q}$

حيث:

$\150dpi \ R=\alpha A+ \beta B\Rightarrow\left\{\begin{matrix}\frac{\partial R}{\partial q}=\alpha \frac{\partial A}{\partial q}+\beta \frac{\partial B}{\partial q}\\\frac{\partial R}{\partial p}=\alpha \frac{\partial A}{\partial p}+\beta \frac{\partial B}{\partial p}\end{matrix}\right.$

بالتعويض واعادة الترتيب نجد:

$\120dpi \{\alpha A+ \beta B,C\}=\alpha\left(\frac{\partial A}{\partial q}\frac{\partial C}{\partial p}-\frac{\partial A}{\partial p}\frac{\partial C}{\partial q}\right)+\beta\left(\frac{\partial B}{\partial q}\frac{\partial C}{\partial p}-\frac{\partial B}{\partial p}\frac{\partial C}{\partial q}\right)\\$

اذن:

$\150dpi \{\alpha A+ \beta B,C\}_p=\alpha \{A,C\}_p+\beta \{B,C\}_p$

وهو برهان الخاصية الثانية#.

3-خاصية لايبنز :

$\150dpi \{AB,C\}_p= \frac{\partial }{\partial q}(AB)\;\frac{\partial C}{\partial p}-\frac{\partial }{\partial p}(AB)\;\frac{\partial C}{\partial q}$

نعلم أن:

$\150dpi \frac{\partial }{\partial x}(fg)=g\frac{\partial f}{\partial x}+f\frac{\partial g}{\partial x}$

اذن:

$\120dpi \{AB,C\}_p=\left(A\frac{\partial B}{\partial q}+B\frac{\partial A}{\partial q}\right)\;\frac{\partial C}{\partial p}-\left(A\frac{\partial B}{\partial p}+B\frac{\partial A}{\partial p}\right)\;\frac{\partial C}{\partial q}$

وبعد اعادة الترتيب نجد:

$\120dpi \{AB,C\}_p=A\left(\frac{\partial B}{\partial q}\;\frac{\partial C}{\partial p}-\frac{\partial B}{\partial p}\;\frac{\partial C}{\partial q}\right)+\left(\frac{\partial A}{\partial q}\;\frac{\partial C}{\partial p}-\frac{\partial A}{\partial p}\;\frac{\partial C}{\partial q}\right)B$

وهذا معناه أن:

$\120dpi \{AB,C\}_p=A\{B,C\}_p+\{A,C\}_p B$

وهكذا نكون قد برهنا الخاصية الثالثة#.

4-متطابقة جاكوبى:
بتطبيق التعريف 15 على أي ثلاثية كالتالي $\{L,\{M,N\}_p\}_p$ نجد العلاقة التالية التي سأسميها مؤقتا العلاقة الثلاثية:

$\120dpi \{L,\{M,N\}_p\}_p=\frac{\partial L}{\partial q}\;\left(\frac{\partial^2M }{\partial p\;\partial q}\;\frac{\partial N}{\partial p}+ \frac{\partial M}{\partial q}\; \frac{\partial^2N}{\partial p^2} -\frac{\partial^2M }{\partial p^2}\;\frac{\partial N}{\partial q}- \frac{\partial M}{\partial p}\; \frac{\partial^2N}{\partial q \;\partial p}\right)$
$\120dpi \ -\frac{\partial L}{\partial p}\;\left(\frac{\partial^2M }{\partial q^2}\;\frac{\partial N}{\partial p}+ \frac{\partial M}{\partial q}\; \frac{\partial^2N}{\partial q\;\partial p} -\frac{\partial^2M }{\partial q\partial p}\;\frac{\partial N}{\partial q}- \frac{\partial M}{\partial p}\; \frac{\partial^2N}{\partial q^2}\right)\\$

يمكن الان الحصول على أي ثلاثية من متطابقة جاكوبي، مثلا كي نحصل على الثلاثية $\{B,\{C,A\}_p\}_p$ نضع في المعادلة السابقة L=B، M=C، N=A إذن يمكننا الان ايجاد الثلاثيات الثلاث الموجودة في متطابقة جاكوبي، وبعد التعويض سنجد أن متطابقة جاكوبي محققة.(لن أعوض أنا هنا لكبر العلاقة التي ستنتج، لكني أنصح الجميع بالتجربة على الورق).
وبهذا نكون قد برهنا على صحة متطابقة جاكوبي#.

ملاحظة: أرجو من الجميع التأكد من أن العلاقة الثلاثية صحيحة (أنا أخشى الأخطاء الكتابية لقد عملت كل جهدي لنقلها كما هي من الورق لكن مع كل هذه المشتقات من يدري) لأني قد أكون نسيت حرف أو حرفين أثناء الطباعة، المهم طريقة البرهان صحيحة وأنا قد قمت بها على الورق بدقة تامة والنتيجة مضمونة.

ملاحظة 2: في البرهان على الخاصية الخطية alpha و beta ثابتان لا يتعلقان بالمتغيرات الديناميكية وهو ما أنتظر تأكيده من أستاذي الصادق (وان كنت على أتم الثقة على أنه هذا هو الحال).

اذا كان لدى أحدكم برهان على الخاصة الأخيرة غير هذا سأكون سعيد جدا برؤيته.

والله أعلم.
و الشكر لك كل الشكر يا أستاذنا الصادق.

في انتظار باقي الموضوع ان شاء الله..........

**Tyns19** · 08-28-2009 09:35 AM

سؤال بسيط:
برهن أن:

$\120dpi%20 \begin{matrix}\{q_i,q_j\}_p=0\\\{p_i,p_j\}_p=0\end{Bmatrix}\qquad\forall\;(i,j)$

السؤال ليس موجه لك أخي الصادق، بل هو موجه لبقية الأعضاء.

**الصادق** · 08-28-2009 07:51 PM

هذا عظيم جداً

حلول صحيحة و منسقة ومتكاملة شكراً لك اخى Tyns19 على هذا المجهود والمتابعة
واضم صوتى لصوتك واتمنى ان يجد سؤالك فى المشاركة السابقة من يجيب عليه من اعضاء المنتدى الكرام

بالنسبة لالفا وبيتا فهما ثوابت حقيقية لا تعتمد على المتغيرات الديناميكية و حدثك سليم اخى وانا اؤكد عليه

شكر الله لك وجزاك خيراً

**تغريد** · 08-28-2009 10:22 PM

جهد تشكر عليه أخي Tyns19 وفقك الله

من الواضح أن كلاهما صفر لأننا في الحالة الأولى سنفاضل q بالنسبة ل p في كل حد من الحدود و هذا طبعا يعطي صفرا أيا كانت محاور الاحداثيات و العكس بالعكس

و اسمحوا لي بأن أتساءل
حول قول أخي الكريم الصادق
(طالما ان الاحداثيات المكانية مستقلة خطياً عن كميات الحركة )
أعتقد أن هذا دوما يعتبر هذا صحيحا في الميكانيكا الكلاسيكية
و أعتقد أن هذا غير صحيح في ميكانيكا الكم
و لكن هل يدل هذا على عدم استقلال الاحداثيات المكانية عن كميات الحركة
نعلم أن مبدأ عدم اليقين متعلق بمتجه الموضع و العزم و لكن
لكن الحديث هنا يتعلق بمحاور الإحداثيات لأن هذا يدل على الإحداثيات هي غير مستقلة
ما دلالات ذلك؟؟؟؟؟؟؟
يبدو ان الأمور اختلطت على
؟؟؟؟؟

**الصادق** · 08-29-2009 06:50 AM

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة تغريد

جهد تشكر عليه أخي Tyns19 وفقك الله

من الواضح أن كلاهما صفر لأننا في الحالة الأولى سنفاضل q بالنسبة ل p في كل حد من الحدود و هذا طبعا يعطي صفرا أيا كانت محاور الاحداثيات و العكس بالعكس

و اسمحوا لي بأن أتساءل
حول قول أخي الكريم الصادق
(طالما ان الاحداثيات المكانية مستقلة خطياً عن كميات الحركة )
أعتقد أن هذا دوما يعتبر هذا صحيحا في الميكانيكا الكلاسيكية
و أعتقد أن هذا غير صحيح في ميكانيكا الكم
و لكن هل يدل هذا على عدم استقلال الاحداثيات المكانية عن كميات الحركة
نعلم أن مبدأ عدم اليقين متعلق بمتجه الموضع و العزم و لكن
لكن الحديث هنا يتعلق بمحاور الإحداثيات لأن هذا يدل على الإحداثيات هي غير مستقلة
ما دلالات ذلك؟؟؟؟؟؟؟
يبدو ان الأمور اختلطت على
؟؟؟؟؟

نعم هذا دائماً صحيح فى فضاء الطور فى الميكانيكا الكلاسيكية و لكن فى ميكانيكا الكم لا تعتبر كمية الحركة كاحد الابعاد لاننا فى ميكانيكا الكم نتحدث عن فضاء اقليدى به ثلاثة ابعاد x و y و z اما مؤثر كمية الحركة ومؤثر الموقع (يتطابق مع الموقع فى حال التمثيل المكانى ) فهما عبارة عن مؤثرات تؤثر على متجهات الحالة فى فضاء هيلبيرت

اذن اما ان نعتبر الاحداثيات المكانية عبارة عن ابعاد وهكذا فان كمية الحركة (ليست بعداً) عبارة عن مؤثر يتناسب مع المؤثر التفاضلى المكانى او ان نعتبر كميات الحركة عبارة عن ابعاد و ان الموقع (ليس بعداً ) عبارة عن مؤثر يتناسب مع المؤثر تفاضلى بالنسبة لكمية الحركة

مبدأ هايزنبيرج فى ميكانيكا الكم ينجم عن التبادلية بين المؤثرات المترافقة ( المؤثرات ليست دوال وانما هى تؤثر على الدوال) ولكن تعريف التبادلية لا يستوجب ان تكون المؤثرات دوال فى الفضاء الطورى وتعريف التبادلية هو AB-BA

الفرق بين احداثيات الموقع كاسس للفضاء و كميات الحركة هو نفسه الفرق بين الفضاء المماسى tangent space (الاسس هى التفاضلات الاتجاهيةبالنسبة للاحداثيات ) والفضاء المماسى المشارك cotangent space (الاسس هى الاحداثيات نفسها )

والله اعلم

**تغريد** · 08-29-2009 10:58 AM

شكرا لك أخي الكريم لأن جئت لأعتذر عن السؤال فوجدت ردك البليغ جدا

فبارك الله فيك و زادك علما و حكمة

الموضوع: التماثل و التماثل الفائق

أدوات الموضوع

عرض

مشاركة: التماثل و التماثل الفائق

مشاركة: التماثل و التماثل الفائق

مشاركة: التماثل و التماثل الفائق

مشاركة: التماثل و التماثل الفائق

مشاركة: التماثل و التماثل الفائق

مشاركة: التماثل و التماثل الفائق

مشاركة: التماثل و التماثل الفائق

معلومات الموضوع

الأعضاء الذين يشاهدون هذا الموضوع

المواضيع المتشابهه

هل قوانين نيوتن الثلاثه في الحركه كانت من اهم انجازاته ؟

قرأت لك: كشف النقاب عن التناظر الفائق

الوزراء الثلاثه

مواقع النشر (المفضلة)

مواقع النشر (المفضلة)

ضوابط المشاركة