التماثل و التماثل الفائق

**Tyns19** · 09-15-2009 03:50 AM

السلام عليكم

و ارجو ان يرجع إلينا أخانا tyns19 ما استطاع و لو كان لديه مشاغل فقد عودنا على نشاطه و حيويته

شكرا لك أخت تغريد، لقد تذكرتني تذكرك الله بكل ما هو جيد.
أنا أعتذر لكم بشدة على هذا الغياب غير المبرمج، لكنها ظروف خاصة حيث خلال أسبوع كامل لم أجلس أمام جهاز كمبيوتر الا لبضع دقائق.
لاحظت بعد هذه العودة تطورا كبيرا في الموضوع، والشكر للأخ الصادق والأخت تغريد.

**Tyns19** · 09-15-2009 03:52 AM

سأحاول حل التمارين المذكورة:
السؤال الأول أجابة عليه الأخت تغريد اجابة كاملة.

2-برهن ان التحويل

$\\Q_1=\frac{1}{\sqrt{2}}(q_1+\frac{p_1}{m\omega}); \qquad P_1=\frac{1}{\sqrt{2}}(p_1-m\omega q_2) \\ \\ \\Q_2=\frac{1}{\sqrt{2}}(q_1-\frac{p_1}{m\omega}); \qquad P_1=\frac{1}{\sqrt{2}}(p_1+m\omega q_2)$

(حيث m اوميقا هى ثوابت) يمثل تحويلاً قانونياً

أعتقد أن المعادلات المقصودة هي:

$\150dpi \\Q_1=\frac{1}{\sqrt{2}}(q_1+\frac{p_1}{m\omega}); \qquad P_1=\frac{1}{\sqrt{2}}(p_1-m\omega q_2) \\ \\ \\Q_2=\frac{1}{\sqrt{2}}(q_1-\frac{p_1}{m\omega}); \qquad P{\color{red} _2}=\frac{1}{\sqrt{2}}(p_1+m\omega q_2)$

الان حسب الأستاذ الصادق فان التحويل القانوني يجب أن يحافظ على صيغة أقواس بواسون، وقد بين الأستاذ الصادق أن هذا مكافيء الى تحقق العلاقة التالية:

$\150dpi \{Q_i,P_j\}_{q,p}=\delta_{ij}$

بتطبيق العلاقة السابقة في حالتنا هذه نجد:

$\150dpi \{Q_1,P_1\}_{q,p}=\frac 12\neq\delta_{11}$

اذن التحويل ليس تحويل قانوني لأنه لا يحافظ على صيغة أقواس بواسون.

3- برهن ان

$H(q+\epsilon \frac{\partial G}{\partial p},p-\epsilon \frac{\partial G}{\partial q},t)=H(q,p,t)+\epsilon \frac{\partial G}{\partial t}$

أجابت الأخت تغريد على هذا السؤال أيضا، لكن لي بعض الملاحظات أنا أتفق معكم حتى النقطة:

$\150dpi \delta H =\epsilon\{H,G\}\q=\epsilon\left(\frac{\partial G}{\partial t}-\frac{\mathrm{d}G}{\mathrm{d}t}\right)$

و نظرا لأن

$\delta t=0$

مما يعني أن

$\.{G}=0$

هذه العبارة محيرة جدا، أتمنى أن تعطونا تفسيرا مقنعا. كيف يمكن هذا؟؟؟

لدي تعليق اخر حول الجملة التالية:

مما يعني أنه إذا كانت الدالة المولدة للتحويل G لاتعتمد على الزمن اعتماداً صريحاً فإن الهماملتونيان تكون محفوظة

حتى اذا كان $\120dpi \delta H=0$ فهذا لا يعطينا الحق في القول أن الهملتونيان سيكون محفوظا وهذا لأن التغير في الهملتونيان ليس تغير كلي هذا أولا أما ثانيا فإن التغير في p و q ليس اعتباطي بل هو تغير من نوع خاص (تغير قانوني).
أضن أن الصحيح أن نقول إذا كان $\120dpi \delta H=0$ فان الهملتونيان يكون متماثل(ثابت) تحت التحويل القانوني.

والله أعلم.

**Tyns19** · 09-15-2009 03:55 AM

تمرين: اذا كانت المنظومة متماثلة تحت التحويل الدورانى, برهن ان كمية الحركة الزاوية تكون محفوظة

حسب نظرية نويثر (ان اى تماثل للمنظومة الفيزيائية تحت تحويل تولده دالة G فان هناك كمية محفوظة وهى G نفسها) وهذا هو جواب السؤال في التمرين حيث أن كمية الحركة تولد التحويل الدوراني فإن التماثل تحت هذا التحويل سيؤدي الى انحفاظ كمية الحركة الزاوية.
لكن سأجرب أن أبين هذا باستعمال النتائج التي توصل اليها الأخ الصادق.
لدينا الدالة التي تولد الدوران هي: $\150dpi \ G=q_1p_2-q_2p_1$
لنحسب التغير في G:

$\150dpi \delta G=q_1\; \delta p_2+p_2\; \delta q_1-q_2\; \delta p_1-p_1\; \delta q_2$

لكن:

$\150dpi \\ \delta q_1=\delta \theta \frac{\partial G}{\partial p_1}\qquad\qquad\delta q_2=\delta \theta \frac{\partial G}{\partial p_2} \\ \\ \delta p_1=-\delta \theta \frac{\partial G}{\partial q_1}\qquad\;\;\;\; \delta p_2=-\delta \theta \frac{\partial G}{\partial q_2}$

إذن:

$\150dpi \delta G=-\delta \theta \; q_1\frac{\partial G}{\partial q_2}+\delta \theta\; p_2\frac{\partial G}{\partial p_1}+\delta \theta\;q_2\frac{\partial G}{\partial q_1}-\delta \theta\;p_1 \frac{\partial G}{\partial p_2}$

اي:

$\150dpi \delta G=-\delta \theta \left(q_1\frac{\partial G}{\partial q_2}-p_2\frac{\partial G}{\partial p_1}-q_2\frac{\partial G}{\partial q_1}+p_1 \frac{\partial G}{\partial p_2}\right)$

لكن:

$\150dpi \\q_1 =\frac{\partial G}{\partial p_2}\qquad \qquad q_2=-\frac{\partial G}{\partial p_1}\\ \\ \\ p_1=-\frac{\partial G}{\partial q_2}\qquad\qquad p_2=\frac{\partial G}{\partial q_1}$

إذا:

$\150dpi \delta G=-\delta \theta \left(\frac{\partial G}{\partial p_2}\frac{\partial G}{\partial q_2}-\frac{\partial G}{\partial q_1} \frac{\partial G}{\partial p_1}+\frac{\partial G}{\partial p_1} \frac{\partial G}{\partial q_1}-\frac{\partial G}{\partial q_2} \frac{\partial G}{\partial p_2}\right)=0$

وهو المطلوب اثباته#.

**Tyns19** · 09-15-2009 03:59 AM

الان لدي تساؤلات حول الموضوع
سأتحدث قليلا عن المشاركة رقم 36 الموجودة في الرابط التالي : المشاركة رقم 36
كما سأتحدث عن المشاركة رقم 47 و الموجودة على الرابط التالي: المشاركة رقم 47

1-في المشاركة رقم 36 تم تعريف التحويلات القانونية بدقة، لكن الظاهر أن هناك علاقة وثيقة بين الدالة H (الهملتونيان في النظام القديم) والدالة K (الهملتونيان في النظام الجديد). وبما أن K هي دالة بالغة الأهمية فإني أحب أن نخصص لها وقت ولو صغير وهذا مجرد اقتراح والأمر بين يديكم.

2-كما قلت فقد تم تعريف التحويلات القانونية بدقة في المشاركة رقم 36 لكن استوقفني أمر يبدو لي ذو أهمية، وهو جملة موجودة في المشاركة رقم 47 والجملة هي التالية:

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة الصادق

التحويلات القانونية و مولدات التماثل

قلنا ان التحويلات القانونية فى ميكانيكا هملتون تُعرف بانها التحويلات من نظام الاحداثيات $(q,p)$ الى نظام احداثيات جديد $(Q,P)$ بحيث يحافظ التحويل على شكل معادلات هملتون. وطالما ان التحويلات القانونية تحافظ على شكل معادلات هماتون القانونية فانها ايضاً تحافظ على صيغة اقواس بوايسون

سؤالي هو هل يمكن أن نبرهن أن حفاظ التحويل على المعادلات القانونينة سيؤدي الى الحفاظ على صيغة أقواس بواسون، والسؤال بصيغة أخرى هو: هل يمكن أن نبرهن أن التحويل الذي يحافظ على شكل معادلات هاملتون (كما أتى تعريفه في المشاركة رقم 36) سيحافظ على صيغة أقواس بواسون؟؟؟ (طبعا البرهان يكون باستعمال التعريف الموجود في المشاركة 36 فقط). اذا كان هذا ممكن فأنا أتمنى أن تدرجوا البرهان لأنه كانت لي محاولات سريعة لكنها للأسف أتت عقيمة.

3-هل الحفاظ على صيغة أقواس بواسون شرط لازم حتى يكون التحويل قانوني، أم أنه شرط كافي ولازم؟؟؟؟
بصيغة أخرى، حسب كل من النعريفين الرياضين التاليين:

$\150dpi \\\dot{Q}_i=\frac{\partial K}{\partial P_i}, \quad \dot{P}_i=-\frac{\partial K}{\partial Q_i} \qquad(a)\\\\\{A,B\}_{q,p}=\{A,B\}_{Q,P}\;\;\;\qquad(b)$

فالسؤال هو: هل الشرط (a) يستلزم الشرط (b)؟، أم أن الشرطان متكافئان؟؟.
هل $\110dpi \ (a)\Rightarrow (b)$ أم أن $\110dpi \ (a)\Leftrightarrow(b)$ ؟؟؟.

اسف على الاطالة، وشكرا لكم.

**Tyns19** · 09-15-2009 04:02 AM

مرة أخرى أعتذر لكم عن الغيبة، كما أني أعتذر عن السرعة في المشاركات الأخيرة وعدم الترتيب
وشكرا لكم على الجهود التي تبذلونها وجعلها الله في ميزان حسناتكم.

**الصادق** · 09-15-2009 04:05 AM

السلام عليكم اخى Tyns19
مرحباً بك لقد افتقدناك

بالنسبة لحلك للسؤال الثانى ارجو ان تنتبه لعلاقات اقواس بوايسون بين المتغيرات القديمة q و p وسوف تكتشف ان التحويل قانونى

**الصادق** · 09-15-2009 04:20 AM

بالنسبة لحل المسألة

$%20H(q+\epsilon \frac{\partial G}{\partial p},p-\epsilon \frac{\partial G}{\partial q},t)=H(q,p,t)+\epsilon \frac{\partial G}{\partial t}$

فان مفكوك تايلور للدالة سوف يعطى البرهان بصورة مباشرة

اما حل الاخت تغريد فهو صحيح و عندنا كتبت العبارة $\delta t=0$

كان واضحاً بالنسبة لى انها تتحدث عن مقارنة الهملتونين مع شكل التغاير التالى

$H(q+\delta q, p+\delta p, t+\delta t)$

والمقارنة تعطى

$\delta q=\epsilon \frac{\partial G}{\partial p}; \qquad \delta p=-\epsilon \frac{\partial G}{\partial q}; \qquad \delta t =0$

والله اعلم

الموضوع: التماثل و التماثل الفائق

أدوات الموضوع

عرض

مشاركة: التماثل و التماثل الفائق

مشاركة: التماثل و التماثل الفائق

مشاركة: التماثل و التماثل الفائق

مشاركة: التماثل و التماثل الفائق

مشاركة: التماثل و التماثل الفائق

مشاركة: التماثل و التماثل الفائق

مشاركة: التماثل و التماثل الفائق

معلومات الموضوع

الأعضاء الذين يشاهدون هذا الموضوع

المواضيع المتشابهه

هل قوانين نيوتن الثلاثه في الحركه كانت من اهم انجازاته ؟

قرأت لك: كشف النقاب عن التناظر الفائق

الوزراء الثلاثه

مواقع النشر (المفضلة)

مواقع النشر (المفضلة)

ضوابط المشاركة