التماثل و التماثل الفائق

**الصادق** · 08-18-2009 09:23 AM

دالة لاجرانج:

دالة لاجرانج هى دالة تعتمد على الاحداثيات المُعممة والسرعات المُعممة وهى على انها الفرق بين طاقة الحركة و طاقة الجهد

$L(q_i, \dot{q}_i)=T(\dot{q}_i)-V(q_i) \qquad (6)$

مبدأ الفعل الاقل

عندما تتطور المنظومة مع مرور الزمن فان حركتها تشكل مساراً فى فضاء الهيئة وذلك لان الجسيم يكون له موقع وسرعة محددة فى فضاء الهيئة ومع مرور الزمن يتغير موقعه و سرعته وبالتالى ينتقل من نفطة الى اخرى فى فضاء الهيئة. الان افترض ان المنظومة عند لحظة معينة t_i كانت عند النقطة $(q_i, \dot{q}_i)$ فى فضاء الهيئة ولاحقاً عند لحظة زمنية t_f وصلت المنظومة الى نقطة اخرى فى فضاء الهيئة و هى $(q_f, \dot{q}_f)$ . الان هناك عدد لانهائى من المسارات التى تربط بين هاتين النقطتين و السؤال هو ماهو المسار الذى انتقلت خلاله المنظومة؟ للاجابة على هذا السؤال دعنا نُعرف عدداً S يسمى بالفعل و هذا الفعل يُعرف على انه التكامل الزمنى لدالة لاجرانج من لحظة بداية الحركة t_i الى لحظة نهاية الحركة t_f اى انه يُعرف بالتكامل التالى:

$S[q]=\int_{t_i}^{t_f}dt L(q_i,\dot{q}_i,t)\qquad (7)$

الان ينص مبدأ الفعل الاقل على ان المسار الحقيقى الذى تتحرك خلاله المنظومة هو المسار الذى يجعل للفعل S اقل قيمة ممكنة.

معادلات اويلر- لاجرانج:

نعلم انه عند النهاية الصغرى ان المشتقة الاولى تساوى صفراً و هكذا طالما ان لدالة الفعل نهاية صغرى عند المسار الحقيقى للمنظومة فى فضاء الهيئة فان التغير فيها يجب ان يساوى الصفر اى ان

$\delta S[q]=\int_{t_i}^{t_f}dt \left(\frac{\partial L}{\partial q_i}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \right )\delta q_i=0$

وهكذا طالما ان التغير فى الاحداتى المُعمم q هو تغير اعتباطى فان الحد بين القوسين فى المعادلة الاخيرة يجب ان يساوى صفراً, اى ان

$\frac{\partial L}{\partial q_i}-\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\right ) =0 \qquad (8)$

وهذه المعادلة تمثل معادلة حركة المنظومة و تسمى بمعادلات اويلر لاجرانج

مثال:

اوجد معادلة الحركة لجسيم كتلته m يتحرك فى حقل جهد $V(q)$ ؟

الحل :

اولاً نوجد دالة لاجرانج
ثانياُ نطبق معادلة اويلر لاجرانج

دالة لاجرانج هى عبارة عن الفرق بين طاقة الحركة و طاقة الجهد

$L=\frac{1}{2}m\dot{q}^2-V(q)\qquad (9)$

حيث عوضنا طاقة الحركة تساوى نصف الكتلة مضروبة فى مربع السرعة. الان نوجد تفاضل دالة لاجرانج بالنسبة للسرعة المُعممة

$\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}=m\dot{q}$

وهكذا نرى ان تفاضل دالة لاجرانج بالسبة للسرعة المعممة يعطى كمية الحركة المُعممة (الكتلة مضروبة فى السرعة)

دعنا نحسب تفاضل النتيجة الاخيرة بالنسبة للزمن

$\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right )=m\ddot{q}$

حيث تفاضل السرعة بالنسبة للزمن هو عبارة عن التسارع و قد رمزنا له بq عليها نقطتان اى انه عبارة عن التفاضل الثانى للحداثى q
اخيراً نحسب تفاضل دالة لاجرانج بالنسبة للاحداثى q وطالما ان طاقة الحركة لاتعتمد على q فان التفاضل سوف يؤثر على دالة الجهد فقط اى ان

$\frac{\partial L}{\partial q}=-\frac{\partial V}{\partial q}=F$

حيث اننا عوضنا تفاضل دالة الجهد بالنسبة للاحداثى تمثل القوة المؤثرة على الجسيم نتيجة لوجوده فى ذلك الجهد

الان بالتعويض فى معادلة اويلر لاجرانج (8) نجد ان

$\\\frac{\partial L}{\partial q}-\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right ) =0 \\ \\ F-m\ddot{q}=0\\ \\ \rightarrow F=m\ddot{q}$

اى ان القوة تساوى الكتلة فى التسارع و هذه المعادلة هى عبارة عن قانون نيوتن الثانى للحركة

يتبع.......

الموضوع: التماثل و التماثل الفائق

أدوات الموضوع

عرض

Hybrid View

مشاركة: التماثل و التماثل الفائق

معلومات الموضوع

الأعضاء الذين يشاهدون هذا الموضوع

المواضيع المتشابهه

هل قوانين نيوتن الثلاثه في الحركه كانت من اهم انجازاته ؟

قرأت لك: كشف النقاب عن التناظر الفائق

الوزراء الثلاثه

مواقع النشر (المفضلة)

مواقع النشر (المفضلة)

ضوابط المشاركة