التماثل و التماثل الفائق

**الصادق** · 08-18-2009 10:57 AM

الصياغة الهملتونية للميكانيكا الكلاسيكية
قلنا ان دالة لاجرانج هى دالة فى الاحداثيات المُعممة و السرعات المُعممة و الزمن. والان نريد ان نوجد تحويل لجندر لدالة لاجرانج لنحصل على دالة جديدة تعتمد على الاحداثيات المُعممة و كميات الحركة المُعممة و الزمن و هذه الدالة تسمى بدالة هملتون و تعطى ب

$H(q_i,p_i,t)=p_i\dot{q}_i-L(q_i,\dot{q}_i,t)\qquad (9)$

معادلة هملتون القانونية للحركة

دعنا نوجد التغير التام فى دالة هملتون. ومن اجل هذا الغرض سوف نستخدم قاعدة السلسلة فى علم الحسبان اى اننا سوف نكنب التفاضل التام على انه مجموع التفاضلات الجزيئة و هكذا طالما ان H تعتمد على q_i و p_i و t فان التغير التام يعطى ب

$dH=\frac{\partial H}{\partial q_i}dq_i+\frac{\partial H}{\partial p_i}dp_i + \frac{\partial H}{\partial t}dt\qquad (10)$

اما من الجانب الاخر اذا اوجدنا التغير التام ل H من المعادلة (9) فاننا سوف نحصل على

$\\dH=d(p_i\dot{q}_i)-dL\\ \\ dH=p_i d\dot{q}_i+\dot{q}_idp_i-\left( \frac{\partial L}{\partial q_i}dq_i+\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}d\dot{q}_i + \frac{\partial L}{\partial t}dt\right )$
ومن معادلة اويلر - لاجرانج يمكننا كتابة الحد الاول داخل القوس فى المعادلة الاخيرة على النحو التالى

$\frac{\partial L}{\partial q_i}=\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \right )$

فتصبح المعادلة
$dH=p_i d\dot{q}_i+\dot{q}_idp_i-\left( \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\right) dq_i+\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}d\dot{q}_i + \frac{\partial L}{\partial t}dt\right )$

ولكن فى المثال السابق قد راينا ان تفاضل دالة لاجرانج بالنسبة للسرعة المُعممة يمثل كمية الحركة المُعممة اى ان

$\\ dH=p_i d\dot{q}_i+\dot{q}_idp_i-\left( \dot{p}_i dq_i+p_id\dot{q}_i + \frac{\partial L}{\partial t}dt\right )\\ \\ dH=\dot{q}_i dp-\dot{p}_idq_i-\frac{\partial L}{\partial t}dt \qquad(11)$

حيث رمزنا لتفاضل كمية الحركة المُعممة بالنسبة للزمن ب p منقوطة. الان دعنا نقار المعادلة (11) بالمعادلة (10) ونلاحظ انه طالما ان q و p و t مستقلة عن بعضها البعض فان فان المعاملات المضروبة فى dq_i وفى dp_i و فى dt يجب ان تتساوى اى ان

$\\ \dot{q}_i=\frac{\partial H}{\partial p_i} \qquad \qquad \dot{p}_i=-\frac{\partial H}{\partial q_i} \qquad \qquad \frac{\partial L}{\partial t}=-\frac{\partial H}{\partial t}\qquad(12)$

وهذه هى معادلة هملتون القانونية للحركة وهى معادلة من الدرجة الاولى على خلافل معادلة اويلر لاجرانج و التى هى معادلة من الدرجة الثانية

مثال:
اوجد معادلة الحركة لجسيم يتحرك فى مجال دالة جهد تعتمد فقط على الاحداثى المُعمم q مستخدماً الصياغة الهملتونية.

الحل:
فى المثال السابق اوجدنا دالة لاجرانج و كانت تساوى
$L=\frac{1}{2}m\dot{q}^2-V(q)\qquad (9)$

الان دالة هملتون تُعطى ب

$\\H=p\dot{q}-L \\\\ H=p\dot{q}-\frac{m\dot{q}^2}{2}+V(q)$

ولكن طالما ان دالة هملتون هى دالة فى كمية الحركة وليس فى السرعة فاننا سوف نكتب السرعة بدلالة كمية الحركة لنحصل على

$H=\frac{p^2}{2m}+V(q)\qquad (13)$

الان بتطبيق معادلة هملتون القانونية نحصل على

$\\ \dot{q}=\frac{\partial H}{\partial p}=\frac{p}{m} \\ \\ -\dot{p}=\frac{\partial H}{\partial q}=\frac{\partial V}{\partial q} \\ \\ \rightarrow F=\dot{p}$

اى ان القوة تساوى معدل تغير كمية الحركة بالنسبة للزمن و هذا هو قانون نيوتن الثانى للحركة

وهكذا نلاحظ من هذا المثال و المثال السابق ان الصياغة اللاجرانجية و الصياغة الهملتونية تؤول الى الصياغة النيوتونية و لكن نجد ان الصياغة اللاجرانجية والهملتونية اكثر كفاءة من الصياغة النيوتونية فى التعامل مع الانظمة المعقدة

يتبع......ز

الموضوع: التماثل و التماثل الفائق

أدوات الموضوع

عرض

Hybrid View

مشاركة: التماثل و التماثل الفائق

معلومات الموضوع

الأعضاء الذين يشاهدون هذا الموضوع

المواضيع المتشابهه

هل قوانين نيوتن الثلاثه في الحركه كانت من اهم انجازاته ؟

قرأت لك: كشف النقاب عن التناظر الفائق

الوزراء الثلاثه

مواقع النشر (المفضلة)

مواقع النشر (المفضلة)

ضوابط المشاركة