اريد اثبات associated Legendre polynomial

**الصادق** · 06-06-2009 04:19 AM

الان دعنا نستدعى المعادلة (22) مرة اخرى

$\\ \frac{d^{n+m}}{dx^{n+m}}(x^2-1)^n =\sum_{s=0}^{n+m}\frac{(n+m)!(n!)^2(x+1)^{s-m}(x-1)^{n-s}}{(n+m-s)!s!(s-m)!(n-s)!}\quad (22)$

ولنفترض فى هذه المرة ان m سالبة ولنبدل اى m بناقص m فى المعادلة لنحصل على

$\\ \frac{d^{n-m}}{dx^{n-m}}(x^2-1)^n =\sum_{s=0}^{n-m}\frac{(n-m)!(n!)^2(x+1)^{s+m}(x-1)^{n-s}}{(n-m-s)!s!(s+m)!(n-s)!}\quad (24)$

لاحظى ان اقل قيمة ل s فى المعادلة (24) هى صفر اما اكبر قيمة لs فهى m-n ولكى نقارن هذه المعادلة (24) مع المعادلة (22) فيجب ان نغير رمز التجميع بحيث يكوت للتجميع نفس المدى. ومن اجل هذا الغرض دعينا نستبدل اى s فى المعادلة (24) ب s’=s+m. وهكذا عند s=0 فان s’=m وعند s=n-m فان s’=n

$\\ \frac{d^{n-m}}{dx^{n-m}}(x^2-1)^n =\sum_{s’=m}^{n}\frac{(n-m)!(n!)^2(x+1)^{s’}(x-1)^{n+m-s’}}{(n-s’)!(s’-m)!(s’)!(n+m-s’)!}\quad$

والان طالما ان ’s هى رمز تجميع فقط لذا سوف نستبدلها بs فى المعادلة الاخيرة لنحصل على

$\\ \frac{d^{n-m}}{dx^{n-m}}(x^2-1)^n =\sum_{s=m}^{n}\frac{(n-m)!(n!)^2(x+1)^{s}(x-1)^{n+m-s}}{(n-s)!(s-m)!(s)!(n+m-s)!}\quad (25)$

وهكذا نكون قد حصلنا على المشتقة رقم n-m

يتبع......

**الصادق** · 06-06-2009 05:26 AM

الان اصبح لدينا المشتقة رقم n+m والمشتقة رقم n-m

$\\ \frac{d^{n+m}}{dx^{n+m}}(x^2-1)^n =\sum_{s=m}^{n}\frac{(n+m)!(n!)^2(x+1)^{s-m}(x-1)^{n-s}}{(n+m-s)!s!(s-m)!(n-s)!}\quad (23)$

$\\ \frac{d^{n-m}}{dx^{n-m}}(x^2-1)^n =\sum_{s=m}^{n}\frac{(n-m)!(n!)^2(x+1)^{s}(x-1)^{n+m-s}}{(n-s)!(s-m)!(s)!(n+m-s)!}\quad (25)$

الان طالما ان التجميع على s فانه يمكننا استخراج اى حد لا يعتمد على s خارج رمز التجميع وسوف نحصل من المعادلة (23) على

$\\ \frac{d^{n+m}}{dx^{n+m}}(x^2-1)^n =(n+m)!(n!)^2(x-1)^n(x+1)^{-m}\sum_{s=m}^{n}\frac{(x+1)^{s}(x-1)^{-s}}{(n+m-s)!s!(s-m)!(n-s)!}\quad (26)$

اما اذا استخرجنا الحدود التى لا تعتمد على s فى المعادلة (25) فسوف نحصل على

$\\ \frac{d^{n-m}}{dx^{n-m}}(x^2-1)^n =(n-m)!(n!)^2(x-1)^{n+m}\sum_{s=m}^{n}\frac{(x+1)^{s}(x-1)^{-s}}{(n-s)!(s-m)!(s)!(n+m-s)!}\quad (27)$

بقسمة المعادلة (27) على المعادلة (26) سوف يختفى التجميع فى البسط والمقام لنحصل على

$\\\frac{\frac{d^{n-m}}{dx^{n-m}}(x^2-1)^n}{\frac{d^{n+m}}{dx^{n+m}}(x^2-1)^n}=\frac{(n-m)!(n!)^2(x+1)^{n+m}}{(n+m)!(n!)^2(x+1)^{-m}(x-1)^n}\\ \\ \\ \therefore \frac{\frac{d^{n-m}}{dx^{n-m}}(x^2-1)^n}{\frac{d^{n+m}}{dx^{n+m}}(x^2-1)^n}=\frac{(n-m)!}{(n+m)!}(x^2-1)^m$

وهكذا نكون قد حصلنا على العلاقة بين المشتقة رقم n-m والمشتقة رقم n+m

$\frac{d^{n-m}}{dx^{n-m}}(x^2-1)^n=\frac{(n-m)!}{(n+m)!}(x^2-1)^m\frac{d^{n+m}}{dx^{n+m}}(x^2-1)^n \qquad (28)$

يتبع....

**الصادق** · 06-06-2009 06:17 AM

الان بالرجوع الى المعادلة (18) التى تعرف كثيرات حدود لجندر المرتبطة

$P_n^m(x)=\frac{(1-x^2)^{\frac{m}{2}}}{2^n n!}\frac{d^{n+m}}{dx^{n+m}}(x^2-1)^n\qquad (18)$

يمكننا استبدال m بناقص m لنحصل على معادلة تعطى تعرف كثيرات حدود لجندر المرتبطة والتى تقابل قيمة سالبة ل m

$P_n^{-m}(x)=\frac{(1-x^2)^{-\frac{m}{2}}}{2^n n!}\frac{d^{n-m}}{dx^{n-m}}(x^2-1)^n\qquad (29)$

المشتقة رقم m-n فى المعادلة (29) يمكن كتابتها بدلالة المشتقة رقم m+n وذلك باستخدام المعادلة (27) لنحصل على

$P_n^{-m}(x)=\frac{(1-x^2)^{-\frac{m}{2}}}{2^n n!}\frac{(n-m)!}{(n+m)!}(x^2-1)^m\frac{d^{n+m}}{dx^{n+m}}(x^2-1)^n\qquad (30)$

الان بقسمة المعادلة (30) على المعادلة (18) تجد ان

$\frac{P^{-m}_n(x)}{P^m_n(x)}=\frac{(n-m)!(x^2-1)^m (1-x^2)^{-\frac{m}{2}}}{(n+m)!(1-x^2)^{\frac{m}{2}}}=\frac{(n-m)!(x^2-1)^m }{(n+m)!(1-x^2)^m}$

الان نلاحظ ان تستطيع ان نكتب

$(x^2-1)^m=[-(1-x^2)]^m=(-1)^m(1-x^2)^m$

قومى بتعويض هذه العلاقة فى البسط فى الطرف الايمن فى المعادلة الاخيرة لتحصلى على

$\frac{P^{-m}_n(x)}{P^m_n(x)}=\frac{(n-m)!(-1)^m(1-x^2)^m}{(n+m)!(1-x^2)^m}=(-1)^m\frac{(n-m)!}{(n+m)!} \qquad (31)$

,وبضرب طرفى المعادلة (31) فى $P^m_n(x)$
سوف نحصل على

$P^{-m}_n(x)=(-1)^m\frac{(n-m)!}{(n+m)!} P^m_n(x)}\qquad (32)$

وهذا هو المطلوب برهانه. ولقد تعاملت منذ البداية مع n بدلا عن l لصعوبة كتابة هذا الرمز فى كود المعادلات الذى استخدمه ولكن الان يمكن ان نستبدل n ب l لنحصل على نفس شكل العلاقة التى طلبتى برهانها .

$P^{-m}_{\ell}(x)=(-1)^m\frac{(\ell-m)!}{(\ell+m)!} P^m_{\ell}(x)}\qquad (33)$

انتهى الحل.

**زهرة بوك** · 06-08-2009 11:04 PM

وفقك الله الى كل خير والله ييسر امرك

اشكرك على مجهودك وتعاونك معنا ياأخي صادق

نفع الله بصدقك واخلاصك الامة الاسلامية وجعلنا واياكم عزا لها ورفعة...

**احمدفتحى** · 06-10-2009 02:18 AM

مشكورين على الطرح والحل
ولن سؤالى عن الاستخدام
فى ماذا
واعذرونى

**الصادق** · 06-10-2009 04:13 AM

تستخدم كثيرات حدود لجندر فى حل معادلة لجندر التفاضلية ( والتى تستخدم فى مسألة ذرة الهيدروجين فى ميكانيكا الكم وتعطى العلاقة بين عدد الكم الرئيسى وعدد الكم المدارى وتتنبأ بتقطع مستويات الطاقة فى المدارات المختلفة) وهى تنتمى لفرع من الرياضيات التطبيقية يُعرف بالدوال الخاصة وهو يشمل طيف واسع من المعادلات التفاضلية والمعادلات التكاملية (تطبق فى ظواهر الانتشار فى الفيزياء الكهرومغنطيسية والالكترودينمكا وفى فيزياء المجال الكمى وفى حساب الدوال الذاتية والقيم الذاتية فى ميكانيكا الكم ) ودوال غرين والتحليل المركب ودوال بيسل (تطبق فى دراسة ال spherical harmonics فى ميكانيكا الكم ومعادلة شرودنجر ومعادلة هلمهولتز وفى الانتشار الحرارى...) ودوال هيرمت (تطبق فى دراسة المهتزات التوافقية فى ميكانيكا الكم) ودوال لاغوير (وتستخدم فى دراسة ذرة الهيدروجين فى ميكانيكا الكم) ودوال جاما ودوال بيتا ودوال الخطأ وهى دوال لا غنى للفيزيائى من دراستها لانها تساعد فى حساب التكاملات المعقدة كما ان لها تطبيقات فى الاحصاء والتوزيعات الطبيعية التى تدخل فى صميم الميكانيكا الاحصائية

والله اعلم

**احمدفتحى** · 06-10-2009 04:50 PM

حقيقه انى اعلم تطبيق واحد لها وهو فى ذرة الهدروجين
ولقد بحث عنه ولم اجده
واعلم استاذى ان بلادى تزعم انى خريج جامعه الان عرفت وتيقنت انى خريج عزبه
وهذا لانه هناك اهم من العلم فى بلادى
فعفوا على التطفل
لو امكن بعض الشرح للمساعده كما ترى استاذى اكون شاكر

الموضوع: اريد اثبات associated Legendre polynomial

أدوات الموضوع

عرض

مشاركة: اريد اثبات associated Legendre polynomial

مشاركة: اريد اثبات associated Legendre polynomial

مشاركة: اريد اثبات associated Legendre polynomial

مشاركة: اريد اثبات associated Legendre polynomial

مشاركة: اريد اثبات associated Legendre polynomial

مشاركة: اريد اثبات associated Legendre polynomial

مشاركة: اريد اثبات associated Legendre polynomial

معلومات الموضوع

الأعضاء الذين يشاهدون هذا الموضوع

المواضيع المتشابهه

اثبات

طلب اثبات في الشغل

bessel and legendre functions???

اثبات فى الكهربية

مواقع النشر (المفضلة)

مواقع النشر (المفضلة)

ضوابط المشاركة