اريد اثبات associated Legendre polynomial

**الصادق** · 06-05-2009 07:31 AM

بالرجوع للمعادلة (10)

$%20(1-x^2)\frac{d^2P_n(x)}{dx^2}-2x\frac{dP_n(x)}{dx}+n(n+1)P_n(x)=0 \qquad (10)$

دعينا نفاضل هذه المعادلة m مرة . لاحظى ان اول حد فى الطرف الايسر للمعادلة عبارة عن ضرب دالتين لذا سوف نستخدم قاعدة افاضل ليبنز

$\\ \frac{d^m}{dx^m}(1-x^2)\frac{d^2P_n(x)}{dx^2}=C^m_0\frac{d^0}{dx^0}(1-x^2)\frac{d^m}{dx^m}\Bigg(\frac{d^2P_n(x)}{dx^2}\Bigg)+C^m_1\frac{d^1}{dx^1}(1-x^2)\frac{d^{m-1}}{dx^{m-1}}\Bigg(\frac{d^2P_n(x)}{dx^2}\Bigg)+C^m_2\frac{d^2}{dx^2}(1-x^2)\frac{d^{m-2}}{dx^{m-2}}\Bigg(\frac{d^2P_n(x)}{dx^2}\Bigg)+C^m_3\frac{d^3}{dx^2}(1-x^2)\frac{d^{m-3}}{dx^{m-3}}\Bigg(\frac{d^2P_n(x)}{dx^2}\Bigg)+...$

بعد اجراء التفاضلات سوف تحصلين على الشكل التالى

$\\ \frac{d^m}{dx^m}(1-x^2)\frac{d^2P_n(x)}{dx^2}=(1-x^2)\frac{d^2}{dx^2}\Bigg(\frac{d^mP_n(x)}{dx^m}\Bigg)-2\frac{m!}{(m-1)!1!}x\frac{d}{dx}}\Bigg(\frac{d^mP_n(x)}{dx^m}\Bigg)-2\frac{m!}{(m-2)!2!}\Bigg(\frac{d^mP_n(x)}{dx^m}\Bigg)+0$

لاحظى ان جميع الحدود التى تحتوى على المشتقة الثاتلثة او التى اكبر منها فى الحد الاول تساوى صفرا, ومن اجل اختصار الكتابة سوف اسمى الحد داخل القوسين u . وبعد فك التوافيقيات سوف تحصلين على

$\\ \frac{d^m}{dx^m}(1-x^2)\frac{d^2P_n(x)}{dx^2}=(1-x^2)\frac{d^2u}{dx^2}-2mx\frac{du}{dx}}-2m(m-1)u$

حيث ان

$u=\frac{d^m}{dx^m}P_n(x)\qquad (14)$

بتكرار نفس الخطوات السابقة نجد ان المشتقة رقم m للحد الثانى فى الطرف الايمن من المعادلة (10) هى

$\frac{d^m}{dx^m}\Bigg(2x\frac{dP_n(x)}{dx}\Bigg)=2x\frac{du}{dx}+2mu$

اما المشتقة رقم m للحد الاخير فى المعادلة (10) فهى

$\frac{d^m}{dx^m}\Bigg(n(n+1)P_n(x)\Bigg)=n(n+1)u$

وهكذا تكون المشتقة رقم m للمعادلة (10) (فقط اجمعى الحدود الثلاث السابقة التى تمت مفاضلاتها

$(1-x^2)\frac{d^2u}{dx^2}-2x(m+1)\frac{du}{dx}+\Big(n(n+1)-2m\Big)\qquad (15)$

الان دعنا نعرف دالة اخرى v بالنحو التالى

$v(x)=(1-x^2)^{\frac{m}{2}}u(x)\qquad (16)$

وهكذا نجد ان المشتقة الاولى ل u بدلالة v هى

$\frac{du}{dx}=\Bigg[\frac{dv}{dx}-\frac{mxv}{(1-x^2)}\Bigg](1-x^2)^{\frac{-m}{2}}$

اما المشتقة الثانية ل u فتعطى ب

$\frac{d^2u}{dx^2}=\Bigg[\frac{d^2v}{dx^2}-\frac{2mx}{(1-x^2)}\frac{dv}{dx}+\frac{mv}{(1-x^2)}+\frac{m(m+1)x^2v}{(1-x^2)^2}\Bigg](1-x^2)^{\frac{-m}{2}}$

بتعويض هذه المشتقات فى المعادلة (15) سوف تحصلين على المعادلة التالية

$(1-x^2)\frac{d^2v}{dx^2}-2x\frac{dv}{dx}+\Bigg(n(n+1)-\frac{m^2}{(1-x^2)}\Bigg)v=0 \qquad$

وهذه هى بالضبط المعادلة لجندر المرتبطة (11) وهكذا تكون v هى حل معادلة لجندر المرتبطة اى انها تمثل كثيرة حدود لجندر المرتبطة (انظرى الى المعادلة (12)

$P_n^m(x)=v$

ولكن من المعادلة (16) نجد ان

$P_n^m(x)=v=(1-x^2)^{\frac{m}{2}}u(x)$

وهكذا لو رجعتى لتعريف u الموجود فى المعادلة (14)

$P_n^m(x)=(1-x^2)^{\frac{m}{2}}\frac{d^m}{dx^m}P_n(x)\qquad (17)$

ولو استخدمتى صيغة رودريقيس فى المعادلة (8) فسوف تحصلين على الشكل النهائى لكثيرات حدود لجندر المرتبطة , والذى هو

$P_n^m(x)=\frac{(1-x^2)^{\frac{m}{2}}}{2^n n!}\frac{d^{n+m}}{dx^{n+m}}(x^2-1)^n\qquad (18)$

يتبع.....

**زهرة بوك** · 06-05-2009 01:16 PM

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته...

حياك الله الاخ الصادق ..

اشكر لكم جهودكم وتفاعلكم الرائع ...

لكن اود توضيح ماصعب علي ايجاده في هذه العلاقة وارجو منكم توضيحها لي؟؟

بالنسبة لاثبات associated Legendre polynomial

لكني لم استطيع الوصول الى العلاقة
Pl-m(x)= (-1)m ( (L-m)!/(L+m)!) PLm(x)

والذي لم استطيع الوصول له هو التالي:
1. الـ Factor (-1)m؟؟؟
2. وتطبيق قاعدة لبينز على التفاضل dl-m/ dxl-m(x+1)l(x-1)l
3. وكيف اوجد ( (L-m)!/(L+m)!)?? بمبدأ التوافيق!!
4. اريد تفسيرا ببراهين على النقاط السابقة بارك الله فيكم ونفع بكم ...

وجزاكم الله خيرا

**زهرة بوك** · 06-05-2009 01:22 PM

وللتوضيح اكثر انا بدأت عند اثباتي للعلاقة

من اخرنقطة وصلت لها ياأخ الصادق في معادلة رقم 18 فلو توضحون لي كيف اصل الى الصورة النهائية

الله ييسر امركم ويبارك فيكم...

**الصادق** · 06-06-2009 01:22 AM

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة زهرة بوك

وللتوضيح اكثر انا بدأت عند اثباتي للعلاقة

من اخرنقطة وصلت لها ياأخ الصادق في معادلة رقم 18 فلو توضحون لي كيف اصل الى الصورة النهائية

الله ييسر امركم ويبارك فيكم...

لم اكن اعرف انك وصلتى الى تلك النقطة لذا بداءت الحل من نقطة الصفر معتمدا على صيغة السؤال اريد اثبات Associated Legendre Polynomials , كان ذلك سوف يوفر علينا الكثير من الوقت لو بداءنا من عند المعادلة (18) ولكن قدر الله ومشاء الله فعل.

**الصادق** · 06-06-2009 02:18 AM

نبدأ الان من عند المعادلة (18)

$%20P_n^m(x)=\frac{(1-x^2)^{\frac{m}{2}}}{2^n n!}\frac{d^{n+m}}{dx^{n+m}}(x^2-1)^n\qquad (18)$

قومى بتحليل فرق المربعين لكى نتخلص من تفاضل الدالة الضمنية (دالة الدالة) الذى يظهر حراء وجود التربيع فى x

$(x^2-1)^n=(x+1)^n(x-1)^n$

الان نوجد المشتقة رقم m+n مستخدمين قاعدة لايبنز للتفاضل التى تمت برهنتها سابقا

$\\ \frac{d^{n+m}}{dx^{n+m}}(x^2-1)^n=\frac{d^{n+m}}{dx^{n+m}}\Bigg[(x+1)^n(x-1)^n\Bigg] \\=\sum_{s=0}^{n+m}C^{n+m}_s \frac{d^{n+m-s}}{dx^{n+m-s}}(x+1)^n\frac{d^s}{dx^s}(x-1)^n\qquad (19)$

لحساب هذه التفاضلات دعينا نوجد علاقة عامة تسهل علينا ايجاد اى مشتقة

مثال (1): احسب المشتقة الثالثة للدالة
$(x\pm1)^5$
لعلك قد تستغربين سهولة هذا المثال ولكن سوف نستفيد منه جدا لاحقا

$\\ \frac{d^3}{dx^3}(x\pm1)^5=\frac{d^2}{dx^2}5(x\pm1)^4=\frac{d}{dx}5\times 4 (x\pm1)^3=5\times 4 \times 3 (x\pm1)^2\\ \frac{d^3}{dx^3}(x\pm1)^5=\frac{5\times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{ 2 \times 1}(x\pm1)^{5-3}=\frac{5!}{(5-3)!}(x\pm1)^{5-3}$

وهكذا يمكننا تعميم هذه العلاقة لاى مشتقة

$\frac{d^r}{dx^r}(x\pm1)^n=\frac{n!}{(n-r)!}(x\pm1)^{n-r} \qquad (20)$

الان نقوم بتطبيق العلاقة (20) على التفاضلات فى المعادلة (19) ولاحظى ان r فى التفاضل الاول تساوى m+n-s اما r فى التفاضل الثانى فهى تساوى s

$\\ \frac{d^{n+m}}{dx^{n+m}}(x^2-1)^n \\=\sum_{s=0}^{n+m}C^{n+m}_s \frac{n!}{(n-(n+m-s))!}(x+1)^{n-(n+m-s)}\frac{n!}{(n-s)!}(x-1)^{n-s}\\=\sum_{s=0}^{n+m}C^{n+m}_s \frac{n!}{(s-m)!}(x+1)^{s-m}\frac{n!}{(n-s)!}(x-1)^{n-s} \qquad (21)$

لاحظى ان التوفيقة عموما تعطى من العلاقة التالية

$C^p_s=\frac{p!}{(p-s)!s!}$

اما فى المعادلة اعلاه فان p تقابل n+m وهكذا نجد ان

$C^{n+m}_s=\frac{(n+m)!}{(n+m-s)!s!}$

الان بتعويض قيمة التوفيقة فى المعادلة (21) نحصل على

$\\ \frac{d^{n+m}}{dx^{n+m}}(x^2-1)^n =\sum_{s=0}^{n+m}\frac{(n+m)!(n!)^2(x+1)^{s-m}(x-1)^{n-s}}{(n+m-s)!s!(s-m)!(n-s)!}\quad (22)$

يتبع....

**الصادق** · 06-06-2009 02:49 AM

لقد توصلنا الى العلاقة التى تعطى المشتقة رقم n+m فى المعادلة (22)

$%20\\ \frac{d^{n+m}}{dx^{n+m}}(x^2-1)^n =\sum_{s=0}^{n+m}\frac{(n+m)!(n!)^2(x+1)^{s-m}(x-1)^{n-s}}{(n+m-s)!s!(s-m)!(n-s)!}\quad (22)$

الان دعنا نرجع مرة اخرى الى المثال (1) ونستفيد منهه قدر الامكان, الان اذا ضلبنا ايجاد المشتقة الخامسة ماذا تكون النتيجة بالطبعط سوف نفاضل خمسة مرة لنصل الى

$\frac{d^5}{dx^5}(x\pm1)^5=5 \times 4\times 3\times2 \times 1 (x\pm1)^{5-5}=5!$

وهكذا تلاحظين ان النتيجة تمثل ثابتا والسبب هو ان رقم المشتقة يساوى القوى الاسية. الان نععلم ان المشتقة السلدسة والسابعة ..زالخ تساوى صفرا . وهكذا يجب ان يكون رقم المشتقة اقل او يساوى الاس حتى نحصل على نتيجة لا تساوى الصفر وعليه فان المشتقات فى المعادلة (22) تصبح غير صفرية فى حال ان الاسس بعد التفاضل تكون صفر او اكبر من الصفر (تكزكرى ان الاس بعد التفاضل فى حالة المشتقة الخامسة كان 5-5 اما فى المشتقة السادسة فسكون يكون سالبا ولكن توقفى او ليس انها تساوى صفرا لانها تمثل تفاضل ثابت5! )

وهكذا نستنتج ان

$s-m\geq 0 \qquad n-s \geq 0$

اى ان s اكبر او تساوى m وعليه تكون اقل قيمة ل s هى m مما يعنى ان التجميع يبدأ من قيمة s=m وليس s=0

ونلاحظ ان s اقل او تساوى n وهكذا تكون اكبر قيمة لs هى n مما يعنى ان التجميع ينتهى عند s=n وليس s=m+n

,وهكذا يتغير التجميع فى المعادلة (22) ليصبح

$\\ \frac{d^{n+m}}{dx^{n+m}}(x^2-1)^n =\sum_{s=0}^{n+m}\frac{(n+m)!(n!)^2(x+1)^{s-m}(x-1)^{n-s}}{(n+m-s)!s!(s-m)!(n-s)!}\quad (23)$
لاحظى طبعا اننا حتى الان نتعامل مع قيمة موجبة ل m

يتبع .....

**الصادق** · 06-06-2009 02:50 AM

لقد توصلنا الى العلاقة التى تعطى المشتقة رقم n+m فى المعادلة (22)

$%20\\ \frac{d^{n+m}}{dx^{n+m}}(x^2-1)^n =\sum_{s=0}^{n+m}\frac{(n+m)!(n!)^2(x+1)^{s-m}(x-1)^{n-s}}{(n+m-s)!s!(s-m)!(n-s)!}\quad (22)$

الان دعنا نرجع مرة اخرى الى المثال (1) ونستفيد منهه قدر الامكان, الان اذا ضلبنا ايجاد المشتقة الخامسة ماذا تكون النتيجة بالطبعط سوف نفاضل خمسة مرة لنصل الى

$\frac{d^5}{dx^5}(x\pm1)^5=5 \times 4\times 3\times2 \times 1 (x\pm1)^{5-5}=5!$

وهكذا تلاحظين ان النتيجة تمثل ثابتا والسبب هو ان رقم المشتقة يساوى القوى الاسية. الان نععلم ان المشتقة السلدسة والسابعة ..زالخ تساوى صفرا . وهكذا يجب ان يكون رقم المشتقة اقل او يساوى الاس حتى نحصل على نتيجة لا تساوى الصفر وعليه فان المشتقات فى المعادلة (22) تصبح غير صفرية فى حال ان الاسس بعد التفاضل تكون صفر او اكبر من الصفر (تكزكرى ان الاس بعد التفاضل فى حالة المشتقة الخامسة كان 5-5 اما فى المشتقة السادسة فسكون يكون سالبا ولكن توقفى او ليس انها تساوى صفرا لانها تمثل تفاضل ثابت5! )

وهكذا نستنتج ان

$s-m\geq 0 \qquad n-s \geq 0$

اى ان s اكبر او تساوى m وعليه تكون اقل قيمة ل s هى m مما يعنى ان التجميع يبدأ من قيمة s=m وليس s=0

ونلاحظ ان s اقل او تساوى n وهكذا تكون اكبر قيمة لs هى n مما يعنى ان التجميع ينتهى عند s=n وليس s=n+m

,وهكذا يتغير التجميع فى المعادلة (22) ليصبح

$\\ \frac{d^{n+m}}{dx^{n+m}}(x^2-1)^n =\sum_{s=m}^{n}\frac{(n+m)!(n!)^2(x+1)^{s-m}(x-1)^{n-s}}{(n+m-s)!s!(s-m)!(n-s)!}\quad (23)$
لاحظى طبعا اننا حتى الان نتعامل مع قيمة موجبة ل m

يتبع .....

الموضوع: اريد اثبات associated Legendre polynomial

أدوات الموضوع

عرض

مشاركة: اريد اثبات associated Legendre polynomial

مشاركة: اريد اثبات associated Legendre polynomial

مشاركة: اريد اثبات associated Legendre polynomial

مشاركة: اريد اثبات associated Legendre polynomial

مشاركة: اريد اثبات associated Legendre polynomial

مشاركة: اريد اثبات associated Legendre polynomial

مشاركة: اريد اثبات associated Legendre polynomial

معلومات الموضوع

الأعضاء الذين يشاهدون هذا الموضوع

المواضيع المتشابهه

اثبات

طلب اثبات في الشغل

bessel and legendre functions???

اثبات فى الكهربية

مواقع النشر (المفضلة)

مواقع النشر (المفضلة)

ضوابط المشاركة