اريد اثبات associated Legendre polynomial

**زهرة بوك** · 06-04-2009 09:13 PM

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته...

ارغب في اثبات معادلة لاجندر

تسلسلت في حل associated Legendre polynomial
ارغب منكم مساعدتي في اثبات هذه العلاقة؟؟؟

Pl-m(x)= (-1)m ( (L+m)!/(L-m)!) PLm(x)

وجزاكم الله خيرا

**الصادق** · 06-04-2009 11:51 PM

السلام عليكم زهرة بوك

كثيرة حدود Polynomial لجندر هى كثيرة حدود تحقق معادلة لجندر التفاضلية وتولدها دالة f تُعرف على ب

$%20f(x,v)=\frac{1}{\sqrt{1-2vx+v^2}}=\sum_{n=0}^{\infty}P_n(x)v^n \qquad (1)$

بحيث ان v قيمة مطلقة اصغر من الواحد الصحيح. و $P_n(x)$ هى عبارة عن كثيرة حدود لجندر

دعينا الان نحاول ان نستخلص بعض المعلومات عن كثيرة حدود لجندر من هذه الدالة المولدة f
ومن اجل هذا الغرض فلنفاضل الدالة f بالنسبة للمتغير v لنحصل على

$\frac{\partial}{\partial v}f(x,v)=\frac{x-v}{(1-2xv+v^2)^{\frac{3}{2}}}$

وايضا اذا فاضلنا طرف الايمن من المعادلة (1) سوف نحصل على

$\frac{\partial}{\partial v}f(x,v)=\sum_{n=0}^{\infty}nP_n(x)v^{n-1}$

وهكذا نجد من المعادلتين الاخيرتين ان

$\frac{x-v}{(1-2xv+v^2)^{\frac{3}{2}}}=\sum_{n=0}^{\infty}nP_n(x)v^{n-1}$

واذا استخدمنا المعادلة (1) يمكننا اعادة كتابة الحد على الطرف الايسر من هذه العلاقة بدلالة تعريف الدالة المولدة (لاحظى ان 1 مقسومة على الجزر التربيعى ما هى الا الدالة المولدة f )

$\frac{(x-v)}{(1-2xv+v^2)}}f(x,v)=\sum_{n=0}^{\infty}nP_n(x)v^{n-1}$

ولكن الدالة المولدة تُكتب بدلالة التجميع على كثيرة حدود لجندر (انظرى الى التعريف فى المعادلة (1))
اى ان

$\frac{(x-v)}{(1-2xv+v^2)}}\sum_{n=0}^{\infty}P_n(x)v^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}nP_n(x)v^{n-1}$

بعد ترتيب المعادلة الاخيرة سوف نحصل على الشكل التالى

$(1-2xv+v^2)\sum_{n=0}^{\infty}nP_n(x)v^{n-1}+(v-x)\sum_{n=0}^{\infty}P_n(x)v^{n}=0 \qquad (2)$

يتبع.....

**الصادق** · 06-05-2009 12:35 AM

الان قومى بتوزيع عملية الضرب فى المعادلة (2) لتحصلى على

$\sum_{n=0}^{\infty}nP_n(x)v^{n-1}-2x\sum_{n=0}^{\infty}nP_n(x)v^{n}+\sum_{n=0}^{\infty}nP_n(x)v^{n+1}\\+\sum_{n=0}^{\infty}P_n(x)v^{n+1}-x\sum_{n=0}^{\infty}P_n(x)v^{n}=0$

لكى نقارن المعاملات فى هذه المعادلة يجب علينا ان نوحد القوى الاسية فى اى حد من حدود المعادلة وهكذا تلاحظين ان v فى الحد الاول مرفوعة للقوى n-1 لذلك قومى باستبدال اى n ب n+1

الحد الاول

$\sum_{n=0}^{\infty}nP_n(x)v^{n-1}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)P_{n+1}(x)v^{n}$

لاتوجد مشكلة فى الحد الثانى والحد الخامس لان قوة الاسية لv هى n .اما فى الحد الثالث والحد الرابع نجد ان v مرفوعة للقوة n+1 ولذلك يجب ان تستبدلى اى n فى هذه الحدود ب n-1

الحد الثالث

$\sum_{n=0}^{\infty}nP_n(x)v^{n+1}=\sum_{n=0}^{\infty}(n-1)P_{n-1}(x)v^{n}$

الحد الرابع

$\sum_{n=0}^{\infty}P_n(x)v^{n+1}=\sum_{n=0}^{\infty}P_{n-1}(x)v^{n}$

وهكذا تصبح المعادلة فى الاعلى بعد استبدال التجميعات فى الحد الاول والثالث والرابع متخذة الشكل التالى

$\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)P_{n+1}(x)v^{n}-2x\sum_{n=0}^{\infty}nP_n(x)v^{n}+\sum_{n=0}^{\infty}(n-1)P_{n-1}(x)v^{n}\\+\sum_{n=0}^{\infty}P_{n-1}(x)v^{n}-x\sum_{n=0}^{\infty}P_n(x)v^{n}=0$

قم باستخراج عامل مشترك $v^n$ واكتبى المعادلة برمز تجميع واحد لتحصلى على

$\sum_{n=0}^{\infty}\Bigg((n+1)P_{n+1}(x)-2xnP_n(x)+(n-1)P_{n-1}(x)+P_{n-1}(x)-xP_n(x)\Bigg)v^{n}=\\0$

ولما كانت v صفرا فان جميج معاملات المضروبة فى v يجب ان تساوى الصفر اى ان

$%20(n+1)P_{n+1}(x)-(2n+1)xP_n(x)+nP_{n-1}(x)=0 \qquad (3)$

لاحظى اننا قمنا بجمع الحدين الثالث والرابع ,والحدين الثانى والخامس . وهذه المعادلة مهمة جدا وهى تعرف بالمعادلة التكرارية

يتبع....

**الصادق** · 06-05-2009 01:11 AM

لاحظى من المعادلة الاولى اننا لانستطيع ايجاد جميع حدود مفكوك الجزر الربيعى لان عملية ايجاد المفكوك تكون معقدة بعض الشئ ولكن من الواضح ان اول حد فى المفكوك هو 1 اى اننا بالنظر فقط للمعادلة (1) نستطيع ان نقول

$%20P_0(x)=1 \qquad (4)$

والان ياتى الدور الذى تلعبه المعادلة (3) , فاذا عوضنا n تساوى صفر فى المعادلة 3 نحصل على

$\\P_1(x)-xP_0(x)=0\rightarrow P_1(x)=xP_0(x)\\P_1(x)=x \qquad (5)$

حيث استخدمنا المعادلة (4).

الان قومى بتعويض n تساوى 1 فى المعادلة (3) لتحصلى على
$2P_2(x)-3xP_1(x)+P_0(x)=0$

وباستخدام المعادلات (4) و (5) نجد ان

$P_2(x)=\frac{3}{2}x^2-\frac{1}{2}\qquad (6)$

وهكذا اذا عوضتى n تساوى 2 فى المعادلة (3) فانك تستطيعين ايجاد $P_3(x)$

$P_3(x)=\frac{5}{2}x^3-\frac{3}{2}x\qquad (7)$
وبالاستمرار بهذه الطريقة فاننا نستطيع ايجاد اى رتبة من رتب كثيرة حدود لجندر وهذا هو مكمن قوة واهمية المعادلة (3)

يتبع.....

**الصادق** · 06-05-2009 01:50 AM

هناك علاقة مهمة تعرف بصيغة Rodrigues , حيث اذا قمنا بايجاد مفكوك المعادلة (1) وقارنا معاملات v للقوى الاسية المختلفة فاننا سوف نحصل على صيغة رودريقيس التالية

$%20P_n(x)=\frac{1}{2^n n!}\frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n\qquad (8)$

لاحظى عند n=0 فان التفاضل يختفى ونحصل على

$P_0(x)=\frac{1}{2^0 0!}\frac{d^0}{dx^0}(x^2-1)^0=1$
وهذه النتيجة تتفق تماما مع المعادلة (4)

وعند n=1 فاننا نحصل على

$P_1(x)=\frac{1}{2^1 1!}\frac{d}{dx}(x^2-1)^1=\frac{1}{2}(2x)=x$

وهى نفس النتيجة التى تحصلنا عليها فى المعادلة (5)

عند n=2 نحصل على

$\\P_2(x)=\frac{1}{2^2 2!}\frac{d^2}{dx^2}(x^2-1)^2=\frac{1}{8}\frac{d}{dx}(4x^3-4x))\\ \\P_2(x)=\frac{1}{2}(3x^2-1)=\frac{3}{2}x^2-\frac{1}{2}$

وهذه هى نفس النتيجة التى تحصلنا عليها فى المعادلة (6). وهكذا اذا باستخدم التفاضل فقط نستطيع ايجاد اى رتبة من رتب كثيرة حدود لجندر

يتبع.....

**الصادق** · 06-05-2009 05:10 AM

صيغة معادلة لجندر

معادلة لجندر هى عبارة عن معادلة تفاضلية من الدرجة الثانية وتعطى بالصورة التالية

$(1-x^2)\frac{d^2y}{dx^2}-2x\frac{dy}{dx}+n(n+1)y=0 \qquad (9)$

ولما كانت كثيرة حدود لجندر هى حل لمعادلة لجندر فانه يمكننا كتابة معادلة لجندر على النحو التالى

$(1-x^2)\frac{d^2P_n(x)}{dx^2}-2x\frac{dP_n(x)}{dx}+n(n+1)P_n(x)=0 \qquad (10)$

اما معادلة لجندر المرتبطة Associated فهى المعادلة التى تعرف بالشكل التالى

$(1-x^2)\frac{d^2y}{dx^2}-2x\frac{dy}{dx}+\Bigg(n(n+1)-\frac{m^2}{(1-x^2)}\Bigg)y=0 \qquad (11)$

لاحظى انه عند m=0 فان معادلة لجندر المرتبطة تؤول الى معادلة لجندر الاعتيادية و هكذا توجد كثيرات حدود لجندر مرتبطة تمثل حلا للمعادلة (11) بحيث ان كثيرات حدود لجندر التى تحدثنا عنها فى المشاركات السابقة تمثل حالة خاصة من كثيرات حدود لجندر المرتبطة وذلك عند m=0 اى انه توجد $P_n^m(x)$ وتسمى كثيرات حدود لجندر المرتبطة وهى تمثل حل لمعادلة لجندر المرتبطة (11) اى ان

$(1-x^2)\frac{d^2P^m_n(x)}{dx^2}-2x\frac{dP^m_n(x)}{dx}+\Big(n(n+1)-\frac{m^2}{(1-x^2)}\Big)P^m_n(x)=0 \qquad (12)$

يتبع....

**الصادق** · 06-05-2009 05:57 AM

الان نريد ايجاد الية رياضية تمكننا من تفاضل حاصل ضرب داللتين $F(x)$ و $G(x)$

نعلم ان تفاضل حاصل ضرب داللتين يُعطى من قاعدة لايبنز التالية

$%20\frac{d}{dx}F(x)G(x)=\frac{dF}{dx}G+F\frac{dG}{dx}$

الان دعينا نوجد التفاضل الثانى لحصل ضرب الدالتين اى نريد ايجاد تفاضل العلاقة الاخيرة

$\frac{d^2}{dx^2}F(x)G(x)=\frac{d^2F}{dx^2}G+2\frac{dF}{dx}\frac{dG}{dx}+F\frac{d^2G}{dx^2}$

اما التفاضل الثالث لحاصل ضرب الداللتين فهو عبارة عن تفاضل العلاقة الاخيرة اى ان

$\frac{d^3}{dx^3}F(x)G(x)=\frac{d^3F}{dx^3}G+3\frac{d^2F}{dx^2}\frac{dG}{dx}+3\frac{dF}{dx}\frac{d^2G}{dx^2}+\frac{d^3G}{dx^3}$

وهكذا يمكننا استخدام الاستقراء الرياضى لايجاد التفاضل النونى لحاصل ضرب الداللتين

لاحظى ان التفاضل الاول يمكن كتابته على النحو

$\\ \frac{d}{dx}F(x)G(x)=C^1_0\frac{d^1F(x)}{dx^1}\frac{d^0G(x)}{dx^0}+C^1_1\frac{d^0F(x)}{dx^0}\frac{d^1G(x)}{dx^1}\\\frac{d}{dx}F(x)G(x)=\sum_{s=0}^{1}C_s^1\frac{d^{1-s}}{dx^{1-s}}F(x)\frac{d^s}{dx^s}G(x)$

حيث C هى التوفيقة .

اما التفاضل الثانى فيمكن كتابته على النحو التالى

$\\ \frac{d^2}{dx^2}F(x)G(x)=C^2_0\frac{d^2F(x)}{dx^2}\frac{d^0G(x)}{dx^0}+C^2_1\frac{d^1F}{dx^1}\frac{d^1G}{dx^1} +C^2_2\frac{d^0F(x)}{dx^0}\frac{d^2G(x)}{dx^2}\\\frac{d^2}{dx^2}F(x)G(x)=\sum_{s=0}^{2}C_s^2\frac{d^{2-s}}{dx^{2-s}}F(x)\frac{d^s}{dx^s}G(x)$

اما المشتقة الثالثة فنستطيع كتابتها على بالصورة التالية

$\\ \frac{d^3}{dx^3}F(x)G(x)=C^3_0\frac{d^3F(x)}{dx^3}\frac{d^0G(x)}{dx^0}+C^3_1\frac{d^2F}{dx^2}\frac{d^1G}{dx^1}+C^3_2\frac{d^1F}{dx^1}\frac{d^2G}{dx^2} +C^3_3\frac{d^0F(x)}{dx^0}\frac{d^3G(x)}{dx^3}\\\frac{d^3}{dx^3}F(x)G(x)=\sum_{s=0}^{3}C_s^3\frac{d^{3-s}}{dx^{3-s}}F(x)\frac{d^s}{dx^s}G(x)$

وهكذا نستنتج ان المشتقة النونية تعطى ب

$\frac{d^n}{dx^n}F(x)G(x)=\sum_{s=0}^{n}C_s^n\frac{d^{n-s}}{dx^{n-s}}F(x)\frac{d^s}{dx^s}G(x)\qquad (13)$

اما المشتقة رقم n+1 فهى تفاضل المشتقة النونية والعلاقة صحيحة للمشتقة n+1 وهذا يبرهن صحة الاستقراء
تسمى العلاقة (13) بقاعدة تفاضل لايبنز

تعرف التوفيقة بانها عدد طرق اختيار s من n وتعطى ب

$C^n_s=\frac{n!}{(n-s)!s!}$
يتبع........

الموضوع: اريد اثبات associated Legendre polynomial

أدوات الموضوع

عرض

اريد اثبات associated Legendre polynomial

مشاركة: اريد اثبات associated Legendre polynomial

مشاركة: اريد اثبات associated Legendre polynomial

مشاركة: اريد اثبات associated Legendre polynomial

مشاركة: اريد اثبات associated Legendre polynomial

مشاركة: اريد اثبات associated Legendre polynomial

مشاركة: اريد اثبات associated Legendre polynomial

معلومات الموضوع

الأعضاء الذين يشاهدون هذا الموضوع

المواضيع المتشابهه

اثبات

طلب اثبات في الشغل

bessel and legendre functions???

اثبات فى الكهربية

مواقع النشر (المفضلة)

مواقع النشر (المفضلة)

ضوابط المشاركة