التنسورات . Tensors

**truthSeeker** · 05-02-2009 09:02 PM

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته .
اخواني الكرام ، أرجو أن تقبلوني عضوا فى هذه العائلة العظيمة التى تعمل على نشر الوعي العلمي فى جميع المجالات فى المجتمع الذي أصبح يفتقر إلي مثل هذا الوعي ، وأسأل الله أن أفيدكم ولو بشئ صغير و أن أستفيد منكم ومن علمكم الغزير .
أما بعد ، فإني أرى فى المنتدى الكريم أن هناك اتجاها ً يقوده الأخان الكريمان : الصادق و tahaselim ، وهذا الاتجاه معنى بدراسة نظرية النسبية العامة لألبرت أينشتاين و استخدامها فى مجال الكوزمولوجيا ، فهذا هو الأخ الصادق فى موضوعه معادلة انشتاين فى النسبية العامة يناقش مفاهيم الهندسة التفاضلية و الأساسات النظرية للنسبية العامة وكيف يمكن استخدام الهندسة التفاضلية لوصف الزمكان المنحني الذي تستوجبه النسبية العامة . و ها هو الأخ tahaselim فى موضوعه بين المادة والاشعاع والثابت الكونى والنموذج القياسى للكون يناقش استخدام معادلات الحقل لأينشتاين لوصف امون وتمدده والنموذج المغلق و الكثافة الحرجة ......إلخ من مفاهيم الكوزمولوجيا .
ولكن ........نجد أن موضوع الأخ tahaselim مبنى و معتمد بشكل ما على موضوع الأخ الصادق ، و الأخ الصادق عندما بدأ شرحه بدأ بشرح مفهوم التنسور المتري دون ان يتطرق إلى ما هية التنسور ذاته .
لذا أود فى موضوعي الأول أن أتناول بشئ من التفصيل مفهوم التنسور .
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــــــــ
سيكون الموضوع عبارة عن مشاركات متفرقة نتسلسل فيها من الحالات الخاصة إلى التعريف العام للتنسورات .
(ملحوظة : سيتم استخدام قاعدة تجميع اينشتاين فى الصيغ الرياضية)
وبسم الله الرحمن الرحيم ، نبدأ ...........

**truthSeeker** · 05-02-2009 09:03 PM

1.التنسور المتري Metric Tensor
فى النظرية النسبية الخاصة ، توصف الكميات الفيزيائية المتجهة عن طريق ما يسمي بالمتجهات الرباعية ( متجهات لها أربع مركبات ) بدلا ً من المتجهات الثلاثية حيث أصبح الزمن نفسه بُعداً ، ويمكننا أن نصف حاصل الضرب العددي scalar product لمتجهين رباعيين بالصورة :

حيث أن $\eta _{\alpha \beta }$ هو مركبات التنسور المتري لزمكان مستوى ( فضاء منكوفسكي ).
من هذا نستطيع ان نفكر فى التنسور المتري المنكوفسكي على انه دالة فى متجهين رباعيين و مجالها المقابل هو عبارة عن قيم عددية scalars :
$g\left( {A,B} \right) = A.B$
و هذه الدالة خطية فى معاملاتها أي أن :
$g\left( {\alpha A + \beta B,C} \right) = \alpha g\left( {A,C} \right) + \beta g\left( {B,C} \right)$
ومن هذا نستنتج أن التنسور المتري(والذي هو من النوع 2/0) عبارة عن دالة خطية فى معاملاتها وهما متجهان رباعيان .
ومن هذا نستطيع أن نعرف عامة أن أي تنسور من النوع

عبارة عن دالة خطية فى N من المتجهات ، وهذه الدالة خطية فى جميع معاملاتها .

ملاحظة: المثال السابق هو مثال من اجل التوضيح والتبسيط
يتبع .........

**truthSeeker** · 05-02-2009 09:04 PM

2.الـ one-forms
فى الجبر الخطي ، تعرف الـ one-forms بأنها دوال خطية فى معاملها تأخذ متجه واحد وتخرج عدد حقيقي ويرمز لها بالرمز $\tilde p$ وتقرأ "p تيلدا" ، حيث أن $\tilde p\left( A \right) \mapsto \Re$ ، كما أن الـ one-forms عبارة عن عناصر لفضاء اتجاهي مرافق ، أي أنه لأي فضاء إتجاهي فيه متجه A فإنه يوجد فضاء اتجاهي مرافق لهذا الفضاء الاتجاهي تكون $\tilde p$ عنصرا ً فيه حيث $\tilde p\left( A \right) \mapsto \Re$
الآن بعد أن عرفنا تعريف مبسط للـ one-forms فكل ما يهمنا الآن هو العلاقات بينها وبين المتجهات ، والتي يمكن أن نلخصها فى الآتي :
1. مركبات الـ one-forms عبارة عن الـ one-form كدالة فى متجه الأساس basis vectors للفضاء الإتجاهي العادي .
$p_\alpha = \tilde p\left( {e_\alpha } \right)$
2. قيمة $\tilde p\left( A \right)$ تساوي حاصل ضرب مركبات المتجه A فى مركبات الـone-form .
$\tilde p\left( A \right) = \tilde p\left( {A^\alpha e_\alpha } \right) = A^\alpha \tilde p\left( {e_\alpha } \right) = A^\alpha e_\alpha = A^0 p_0 + A^1 p_1 + A^2 p_2 + .........$
3.كما أن للمتجهات العادية متجهات اساس ، فإن للـ one-form كذلك وتدعي basis one-form حيث :
$\tilde p = p_\alpha \tilde w^\alpha$
4. من 2 و 3 نلاحظ أن :
$\tilde p\left( A \right) = p_\alpha \tilde w^\alpha \left( {A^\alpha e_\alpha } \right) = A^\alpha p_\alpha \tilde w^\alpha \left( {e_\alpha } \right)$
$but:\tilde p\left( A \right) = A^\alpha p_\alpha$
$\tilde w^\alpha \left( {e_\beta } \right) = \tilde w^\alpha e_\beta = \delta _\beta ^\alpha$
حيث $\delta _\beta ^\alpha$ هو دلتا كرونكر
5. نستطيع أن نقول ان المتجه عبارة عن دالة خطية فى one-form واحدة حيث :
$\begin{array}{l} A\left( {\tilde p} \right) \mapsto \Re \\ A^\alpha = A\left( {\tilde w^\alpha } \right) \\ A\left( {\tilde p} \right) = A^\alpha e_\alpha \left( {p_\beta \tilde w^\beta } \right) = A^\alpha p_\beta e_\alpha \left( {\tilde w^\beta } \right) = A^\alpha p_\beta \delta _\alpha ^\beta = A^\alpha p_\alpha = \tilde p\left( A \right) \\ \end{array}$
يتبع ..............

**truthSeeker** · 05-02-2009 09:05 PM

3. التنسورات من النوع .
- حالة خاصة : التنسور من النوع 2/0 :
إذا أخذنا حاصل ضرب اثنان من الـ one-forms $\tilde p \otimes \tilde q$ سنجد أنه تعطينا دالة خطية تأخذ متجهين وتخرج أعدادا ً حقيقة :
$\tilde p \otimes \tilde q\left( {A,B} \right) = \tilde p\left( A \right)\tilde q\left( B \right)$
وبالرجوع إلي الجزء رقم 1 ، نقول ان حاصل ضرب اثنان من الـ one-forms عبارة عن تنسور من النوع 2/0.
الآن بعد أن عرفنا التنسور من النوع 2/0 على انه دالة خطية فى جميع معاملاتها تأخذ متجهين ، نجد أن أعم صورة للتنسور من النوع 2/0 تكون على الصورة :
$\ f\left( {A,B} \right) = f\left( {A^\alpha e_\alpha ,B^\beta e_\beta } \right) = f\left( {e_\alpha ,e_\beta } \right)A^\alpha B^\beta = f_{\alpha \beta } A^\alpha B^\beta \$
حيث $f_{\alpha \beta }$ هي مركبات التنسور tensor components ومن معلوماتنا من الجزء رقم 2 ، نجد أن :
$A^\alpha B^\beta = A\left( {\tilde w^\alpha } \right)B\left( {\tilde w^\beta } \right) = \tilde w^\alpha \left( A \right)\tilde w^\beta \left( B \right) = \tilde w^\alpha \otimes \tilde w^\beta \left( {A,B} \right)$
$f\left( {A,B} \right) = f_{\alpha \beta } \tilde w^\alpha \otimes \tilde w^\beta \left( {A,B} \right)$
$f = f_{\alpha \beta } \tilde w^\alpha \otimes \tilde w^\beta$
(لاحظ أن f هي التنسور نفسه ، ولكن f(A,B ليست إلا عدد حقيقي)
والمعادلة الأخيرة هى أعم صورة للتنسور من النوع 2/0 والتى يمكن ان نصل منها إلي :
- تعريف عام : التنسور من النوع :
هو دالة خطية فى جميع معاملاتها تأخذ N من المتجهات وتخرج أعداد حقيقية ، وصورتها العامة هي :
$T = T_{\alpha \beta \lambda ...} \tilde w^\alpha \otimes \tilde w^\beta \otimes \tilde w^\gamma \otimes ...$
يتبع .............

**truthSeeker** · 05-02-2009 09:06 PM

4. التنسورات من النوع
- حالة خاصة : التنسور من النوع 0/2 :
استرجع معي اعتبارنا ان المتجه عبارة عن دالة فى one-form ، فإذا اخذنا حاصل الضرب لمتجهين $A \otimes B$ فسنحصل على دالة خطية فى جميع معاملاتها تأخذ اثنان من الـ one-forms وتخرج أعدادا ً حقيقة :
$A \otimes B(\tilde p,\tilde q) = A\left( {\tilde p} \right)B\left( {\tilde q} \right)$
و هى تنسور من النوع 0/2 ، وعلى هذه الأساس (كما فعلنا فى الجزء السابق ) نستطيع أن نعرف أي تنسور من النوع 0/2 على انه دالة خطية فى جميع معاملاتها تأخذ اثنان من الـ one-forms و تعطى اعدادا ً حقيقية ، و يمكن ان نجد ان اعم صورة للتنسور من هذا النوع تكون :
$f\left( {\tilde p,\tilde q} \right) = f\left( {p_\alpha \tilde w^\alpha ,q_\beta \tilde w_\beta } \right) = f\left( {\tilde w^\alpha ,\tilde w_\beta } \right)p_\alpha q_\beta = f^{\alpha \beta } p_\alpha q_\beta$
وبارجوع الى الجزء رقم 2 ، يمكن ان نجد ان :
$p_\alpha q_\beta = \tilde p\left( {e_\alpha } \right)\tilde q\left( {e_\beta } \right) = e_\alpha \left( {\tilde p} \right)e_\beta \left( {\tilde q} \right) = e_\alpha \otimes e_\beta \left( {\tilde p,\tilde q} \right)$
$f\left( {\tilde p,\tilde q} \right) = f^{\alpha \beta } e_\alpha \otimes e_\beta \left( {\tilde p,\tilde q} \right)$
$f = f^{\alpha \beta } e_\alpha \otimes e_\beta$
(مرة أخرى ، لاحظ أن f هى التنسور نفسه ، ولكن f(p,q ليست إلا عدد حقيقي)
والمعادلة الأخيرة هى أعم صورة للتنسور من النوع 0/2 ، والتى منها يمكنم ان نصل الي :
- تعريف عام : التنسور من النوع :
هو دالة خطية فى جميع معاملاتها تأخذ M من الـ one-forms و تخرج أعداداً حقيقية ، والصورة العامة له :
$T = T^{\alpha \beta \gamma ...} e_\alpha \otimes e_\beta \otimes e_\gamma \otimes ...$
يتبع .........

**truthSeeker** · 05-02-2009 09:07 PM

5.التنسورات من النوع
- التعريف العام للتنسورات :
هو دالة خطية فى جميع معاملاتها تأخذ M من الـ one-forms و N من المتجهات و تخرج أعدادا ً حقيقية ، والصورة العامة لها هي :
$T = T_{\gamma \sigma ....}^{\alpha \beta ...} e_\alpha \otimes e_\beta \otimes ... \otimes \tilde w^\gamma \otimes \tilde w^\sigma \otimes ...$
ونجد انه علي حسب الفضاء المعرف فيه التنسور فإنه لرفع أو تنزيل الأدلة يجب أن يكون التنسور المتري المستخدم هو التنسور المتري المناظر لهذا الفضاء .

يتبع ........

**truthSeeker** · 05-02-2009 09:08 PM

6. رفع وتنزيل الأدلة raising and lowering indecise
- تنزيل الأدلة :
تنزيل الأدلة يعنى تحويل تنسور من النوع M/N إلى تنسور من النوع M-1/N+1 وهذا يتم عن طريق ضرب التنسور فى التسنور المتري ، فمثلا ً :
$T^\alpha _{\beta \gamma } = g_{\beta \mu } T^{\alpha \mu } _\gamma$
- رفع الأدلة :
رفع الأدلة بهنى تحويل تنسور من النوع M/N إلى تنسور من النوع M+1/N-1 وهذا يتم عن طريق ضرب التنسور فى معكوس التنسور المتري ، فمثلا ً :
$T^{\alpha \beta \gamma } = g^{\lambda \mu } T^{\alpha \beta } _\mu$
و هذه الصورة توضح ببساطة عملية تنزيل و رفع الأدلة :

يتبع .....

الموضوع: التنسورات . Tensors

أدوات الموضوع

عرض

التنسورات . Tensors

مشاركة: التنسورات . Tensors

مشاركة: التنسورات . Tensors

مشاركة: التنسورات . Tensors

مشاركة: التنسورات . Tensors

مشاركة: التنسورات . Tensors

مشاركة: التنسورات . Tensors

معلومات الموضوع

الأعضاء الذين يشاهدون هذا الموضوع

المواضيع المتشابهه

التنسورات و تطبيقاتها

الممتدات Tensors ... ما هي ؟!! وما أهميتها ؟!! ...

التنسورات وتطبيقاتها

Tensors and Relativity

مواقع النشر (المفضلة)

مواقع النشر (المفضلة)

ضوابط المشاركة