تحويلات جاليلو و ميكانيكا الكم

[تغريد]

إخوتي الكرام
أرجو ما أمكن مساعدتي في فهم بعض ما تعسر فهمه بالنسبة لي في مجال دراستي فيما يتعلق ببعص الجوانب الفيزيائية
تعرضت لي الفقرة التالية في تقديم مفهوم ”opservable“ في ميكانيكا الكم و للأسف لم أستطع تفسير معمياتها

Galilei group $\mathfrak{G}_{0}=\alpha_{g}=\alpha _{0,a,v,\mathbf{R}}:x\rightarrow x’=\mathbf{R}x+a$ The corresponding action
on the momentum or the velocity space $R^{3}$ is given by
$\alpha_{g}=\alpha_{0,a,v, \mathbf{R}}:u\rightarrow
u’=\mathbf{R}u+v$.

Let $U_{a},V_{v}, W_{R}$ denote the subrepresentations of
$\mathcal{U}_{g}$ corresponding to the groups of translations,
boosts and rotations, respectively> then the covariance requirement
for position and momentum observables $E, F$ are
$$U_{a}E(X)U_{a}^{-1}=E(X+a)$$
$$V_{v}E(X)V_{v}^{-1}=E(X)$$
$$W_{R}E(X)W_{R}^{-1}=E(RX)$$


و أنا آسف لأني كتبتها بلغة اللاتكس لضيق الوقت سأحاول وضعها بصيغة واضحة لأني حاولت و لا أدري لماذا لم أفلح

[تغريد]

أسف و لكن هذا ما حصلت عليه

يقول الكاتب أننا لكي نستطيع تحديد مواصفات الOBSERVABLE المقابل لمتجه الموضع و العزم يجب أن نعرف معني كل منهم في زمر جاليلو
و يصف ذلك بقوله
"The entity called "the position of object should be the same up to some shift and rotation irrespective of the ******** , orientation , and state of motion of the position measuring device. Thus position should be covariant under space translations and rotation and invariant under velocity boosts; formally this corresponds to the fact that the position value space is homogeneous space of the isochronous Galilei group G with respect to the action "


Then the corresponding action on the momentum or the velocity space is given by



Let denote the subrepresentations of corresponding to the groups of translations,
boosts and rotations, respectively, then the covariance requirement for position and momentum observables E, F are
















حيث X تمثل الموضع و Y تمثل العزم و E تمثل الobservable الممثل للموضع بينما F الممثل لمؤثر للعزم .

هذا و قد فضلت نقل الفقرة من المصدر بدون ترجمة لأن ترجمتي لها تجعل الأمور غير منطقية بالنسبة لي فخفت أن تكون تخل بالمعنى.
فأرجو إن أمكن إفادتي بأي معلومات في هذا الخصوص و بارك الله فيكم جميعا

[تغريد]

يقول الكاتب أننا لكي نستطيع تحديد مواصفات الOBSERVABLE المقابل لمتجه الموضع و العزم يجب أن نعرف معني كل منهم في زمر جاليلو
و يصف ذلك بقوله
"The entity called "the position of object should be the same up to some shift and rotation irrespective of the ******** , orientation , and state of motion of the position measuring device. Thus position should be covariant under space translations and rotation and invariant under velocity boosts; formally this corresponds to the fact that the position value space is homogeneous space of the isochronous Galilei group G with respect to the action "


Then the corresponding action on the momentum or the velocity space is given by



Let denote the subrepresentations of corresponding to the groups of translations,
boosts and rotations, respectively, then the covariance requirement for position and momentum observables E, F are
















حيث X تمثل الموضع و Y تمثل العزم و E تمثل الobservable الممثل للموضع بينما F الممثل لمؤثر للعزم .

هذا و قد فضلت نقل الفقرة من المصدر بدون ترجمة لأن ترجمتي لها تجعل الأمور غير منطقية بالنسبة لي فخفت أن تكون تخل بالمعنى.
فأرجو إن أمكن إفادتي بأي معلومات في هذا الخصوص و بارك الله فيكم جميعا

ما فهمته أن زمر جاليلو ما تعبير معقد عن شيء بسيط هو تحويلات جاليلو

و لكني لا استطيع استيعاب كيف تكون هذه العلاقة صحيحة

[IMG]http://www.codecogs.com/eq.latex?U_{a}E(X)U_{a}^{-1}=E(X+a)[/IMG

أليس ما في الطرف الأيسر يعني تأثير قياس الموضع في نظام احداثيات بدء من نقطةتبعد a في اتجاه محور x للتبسيط و يتحرك بسرعة v في اتجاه محور x أيضا ثم بعد ذلك التأثير العكسي له
أليس ما نعرفه أن التأثيرين خطيين و يلاشي أحدهما الآخر
أقصد ألا يفترض أن يكون الجواب E(X) تبقى كما هي

أم أنه يقصد أنما سبق صحيح بالإضافة إلى أن ( E(X)=E(X+a لأن الفضاء متماثل؟؟

[الصادق]

ما فهمته أن زمر جاليلو ما تعبير معقد عن شيء بسيط هو تحويلات جاليلو

و لكني لا استطيع استيعاب كيف تكون هذه العلاقة صحيحة


أليس ما في الطرف الأيسر يعني تأثير قياس الموضع في نظام احداثيات بدء من نقطةتبعد a في اتجاه محور x للتبسيط و يتحرك بسرعة v في اتجاه محور x أيضا ثم بعد ذلك التأثير العكسي له
أليس ما نعرفه أن التأثيرين خطيين و يلاشي أحدهما الآخر
أقصد ألا يفترض أن يكون الجواب E(X) تبقى كما هي

أم أنه يقصد أنما سبق صحيح بالإضافة إلى أن ( E(X)=E(X+a لأن الفضاء متماثل؟؟

السلام عليكم اختى الكريمة تغريد

أليس ما في الطرف الأيسر يعني تأثير قياس الموضع في نظام احداثيات بدء من نقطةتبعد a في اتجاه محور x للتبسيط و يتحرك بسرعة v في اتجاه محور x أيضا ثم بعد ذلك التأثير العكسي له
أليس ما نعرفه أن التأثيرين خطيين و يلاشي أحدهما الآخر
أقصد ألا يفترض أن يكون الجواب E(X) تبقى كما هي

بالفعل هى تمثل التأثير العكسى ل ولكن لاحظى لكى نحصل E(x)l فيجب ان تتبادل U مع E اى ان



ولكن من خواص الزمرة U انها لا تتبادل مع E وبالتالى لا تبقى E على حالها

[تغريد]

السلام عليكم اختى الكريمة تغريد

أليس ما في الطرف الأيسر يعني تأثير قياس الموضع في نظام احداثيات بدء من نقطةتبعد a في اتجاه محور x للتبسيط و يتحرك بسرعة v في اتجاه محور x أيضا ثم بعد ذلك التأثير العكسي له
أليس ما نعرفه أن التأثيرين خطيين و يلاشي أحدهما الآخر
أقصد ألا يفترض أن يكون الجواب E(X) تبقى كما هي

بالفعل هى تمثل التأثير العكسى ل ولكن لاحظى لكى نحصل E(x)l فيجب ان تتبادل U مع E اى ان



ولكن من خواص الزمرة U انها لا تتبادل مع E وبالتالى لا تبقى E على حالها

أشكرك كثيرا أخي الصادق بارك الله فيك
الحقيقة أني حاولت البحث و لكن لم أجد أي مصدر يتحدث عن الموضوع بالشكل المطلوب و خاصة التعامل مع
سأكون ممتنة كثيرا إن أمكن أن تمدني بمصدر يمكنني من التوسع في معرفة تلك الزمرة


مع خالص الاحترام و التقدير

[الصادق]

الحقيقة اننا خلال الدراسة لا نتعرض لزمرة جاليليو لان جل الاهتمام يكون حول النظريات التى تحقق مبدأ النسبية ولذلك ندرس فقط زمر لورنتز و بوينكارى. ولكن عموما هذه الزمرة هى امثلة لزمر لى Lie groups ومن اجل دراسة هذه الزمر يمكنك الاطلاع على كتب نظريات الزمر و الهندسة التفاضلية differential geometry
ايضا تجدين على الرابط التالى نبذة صغيرة حول الموضوع

http://en.wikipedia.org/wiki/Galilean_transformation
مع فرق ان الموضوع اعلاه يبحث تاثير تحولات جاليليو على الاحداثيات x بينما انت تبحثين عن تحويلات جاليليو ليس على x وانما على دول تعتمد على x لذا اظن من الصعب نوعا ما ان تجدى مرجع يناقش هذا الموضوع بالتفصيل

[الصادق]

بالنسبة للسؤال المطروح فى المشاركة الثانية

دعينا نبحث عن مصفوفة تحويل عامة تعمل على تحويل الدوال التى تعتمد على x ولتكن هذه المصفوفة هى O

معلوم ان تحويل جاليليو على المحاور يعطى ب


حيث X prime هى الاحداثيات فى الاطار الجديد اما X فهى احداثيات الاطار القديم و R هى مصفوفة الدوران اما a فهو متجه ثابت المقدار ؟. والمادلة (1) تتحدث عن دوران rotation فى الاحداثيات القديمة متبوعا بانتقال translation

طالما اننا نتحدث عن زمرة فيجب ان نتحدث عن خواص تحويل جاليليو

واضح ان هناك تحويل يمثل العنصر المحايد للزمرة وهو التحويل عندما لا يكون هناك دوران R=1 ولا انتقال a=0
وعندها يكون لدينا



يوجد تحويل هو عبارة عن انتقال فقط دون دوران اى عندما تكون R=1 بينما a لا تساوى الصفر, وعندها يكون



ويوجد تحويل هو عبارة عن دوران فقط من دون انتقال, اى عند a=0 و R لا تساوى مصفوفة الوحدة, وعندها يكون



اخيرا اذا تعاملنا مع فضاء السرعات فاننا نحصل على تحويل ال boost ولما كان هذا الاخير تحويل الانتقال فاننا سوف نتعامل معه كانه انتقال فى فضاء السرعات لذا لا حاجة للاستفاضة فيه.

يتبع......