قانون بلانك لإشعاع الجسم الأسود ... نظرة إحصائية !

بسم الله الرحمن الرحيم
والصلاة والسلام على رسول الله
"محمد بن عبد الله"
وعلى آله وصحبه أجمعين
السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
إخواني زوار وأعضاء ومشرفي المنتدى الكرام
تحية طيبة إليكم

قانون بلانك لإشعاع الجسم الأسود ... نظرة إحصائية !

لو فرضنا أن هناك مجموعة من الفوتونات محبوسة داخل صندوق حجمه http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large&space;L^{3} ، فإن الموجات الكهرومغناطيسية الموقوفة ستنشأ بشرط أن يكون:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...pace;=&space;L

أو:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...right&space;)n

ولأي فوتون له

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...\right&space;)

حيث http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large&space;k هو العدد الموجي wave number و:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...ega&space;}{c}

و:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...}{\lambda_{x}}

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...}{\lambda_{y}}

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...}{\lambda_{z}}

فإن:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...e;^{2}}{c^{2}}

أو:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...ega&space;}{c}

وعليه فإن:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...)^{2}n_{R}^{2}

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...t&space;)n_{R}

حيث:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...plus;n_{z}^{2}

و http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large&space;n_{R} هي نصف قطر الكرة المبينة بالشكل التالي:

http://hazemsakeek.com/up/download.php?img=138

حيث http://latex.codecogs.com/gif.latex?k تتناسب طردياً مع http://latex.codecogs.com/gif.latex?n_{R} .

وعليه فإن عدد الحالات من http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large&space;k=0 إلى http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large&space;k=k هو

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...\times&space;2

حيث ضربنا حجم الكرة في http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large&space;2 لأنه توجد حالتين أو إتجاهين للإستقطاب في حالة الفوتونات (حالتين للغزل في حالة الإلكترونات ومثيلاتها)، وضربنا في

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...ce;\frac{1}{8}

لأننا نأخذ فقط الثمن الموجب من الكرة الذي تكون فيه جميع http://latex.codecogs.com/gif.latex?...x},n_{y},n_{z} موجبة.

وعموماً فإن عدد الحالات الموجودة بين http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large&space;k و http://latex.codecogs.com/gif.latex?...pace;k+dk سيكون:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...s&space;dn_{R}

بالتعويض عن:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...ace;)^{2}k^{2}

و:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...ight&space;)dk

نجد أن عدد الحالات الموجودة بين http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large&space;k و http://latex.codecogs.com/gif.latex?...pace;k+dk هو:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...ight&space;)dk

أو:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...&space;k^{2}dk

حيث http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large&space;V هو حجم الصندوق.
وبدلالة التردد الزاوي http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large&space;\omega ، يكون:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...rac{\omega}{c}

و:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...&space;d\omega

*** يُتبع ...

وعليه فإن عدد حالات الفوتون في مدى التردد الزاوي بين http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large&space;\omega و http://latex.codecogs.com/gif.latex?...&space;d\omega هو:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...ce;^{2}d\omega

والآن، فإن عدد الفوتونات في مدى التردد الزاوي بين http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large&space;\omega و http://latex.codecogs.com/gif.latex?...&space;d\omega هو:

كثافة الحالات × دالة بوز – أينشتاين

أو:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...&space;/kT}-1}

ولذلك، فإن طاقة الفوتونات في هذا المدى ستكون:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...right&space;)}

وعليه فإن كثافة الطاقة (لوحدة الحجوم) في هذا المدى هي:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...right&space;)}

أو:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...right&space;)}

وهو قانون "بلانك" لإشعاع الجسم الأسود، حيث http://latex.codecogs.com/gif.latex?...right&space;T) هي "كثافة الطاقة الطيفية spectral energy density".

*** يُتبع ...

*** تمرين ...

أوجد العلاقة السابقة مرة بدلالة التردد http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large&space;\nu وأخرى بدلالة الطول الموجي http://latex.codecogs.com/gif.latex?...&space;\lambda ؟

بالتعويض من خلال هذه المعادلة:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...right&space;)}

*** حل الجزء الأول في المشاركة رقم 12 ...

*** ملحق (1) ... إشتقاق قانون "ستيفان – بولتزمان":

تُعطى شدة الإشعاع الكلية عند درجة حرارة معينة، http://latex.codecogs.com/gif.latex?...\right&space;) ، بتكامل قانون بلانك على جميع الترددات، أي:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...right&space;)}

بفرض أن:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...pace;=&space;x

فإن:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...3}&space;x^{3}

و:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...ace;)&space;dx

وبالتالي:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...right&space;)}

ومن جدول التكاملات، نجد أن:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...pace;^{4}}{15}

وعليه يكون:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...ma&space;T^{4}

والذي هو قانون "ستيفان – بولتزمان"، حيث:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...ce;c^{3}h^{3}}

هو ثابت ستيفان – بولتزمان.

*** ملحق (2) ... إشتقاق قانون الإزاحة لـ "فين":

يمكن كتابة قانون "بلانك" بدلالة التردد على النحو التالي:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...right&space;)}

وذلك على إعتبار أن القياس يتم عند درجة الحرارة معينة، ولكن عموماً طاقة الإشعاع دالة في التردد (أو الطول الموجي) ودرجة الحرارة.

وحيث أن الطاقة الكلية يمكن أن تُعطى على النحو التالي:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...pace;)d\lambda

حيث:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...\right&space;)

و:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...\right&space;)

وعليه يكون:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...pace;)d\lambda

أو:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...\right&space;|

أو:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...}{\lambda^{2}}

إذاً:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...a^{2}}d\lambda

وبالتالي:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...\right&space;|

و:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...\right&space;}

ولإيجاد قانون الإزاحة لفين في الصورة

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...space;constant

يجب أولاً إيجاد http://latex.codecogs.com/gif.latex?...a&space;_{max} وهي القيمة التي عندما يكون للكمية http://latex.codecogs.com/gif.latex?...\right&space;) نهاية عظمى، وعلى هذا الأساس يلزمنا حل المعادلة:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...pace;=&space;0

أي أن:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...\right&space;]

أو:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...\right&space;]

وعند http://latex.codecogs.com/gif.latex?...a&space;_{max} نجد أن:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...space;\right=0

والآن بوضع

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...ambda_{max}}=x

فإن:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...ce;=&space;{5}

بالقسمة على http://latex.codecogs.com/gif.latex?e^{x} وإعادة ترتيب المعادلة نحصل على العلاقة:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...\right&space;)

وباستخدام الطرق العددية لحل هذه المعادلة، نحصل على جذراً وحيداً قيمته http://latex.codecogs.com/gif.latex?...;=&space;4.965، وعليه فإن:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...}=&space;4.965

إذاً:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...space;constant

وهذا هو قانون الإزاحة لـ "فين".

*** ملحق (3) ... إشتقاق قانون "رايلي – جينز":

يتم اشتقاق قانون رايلي جينز من قانون بلانك عند الترددات الصغيرة جداً (http://latex.codecogs.com/gif.latex?...ce;\to&space;0) (أو الأطوال الموجية الكبيرة جداً (http://latex.codecogs.com/gif.latex?...o&space;\infty)) .

إذاً من قانون بلانك:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...&space;/kT}-1}

حيث:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...pace;<&space;1

وباستخدام مفكوك الدالة الأسية، نجد أن:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...lus;&space;...

وعليه:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...frac{h\nu}{kT}

بالتعويض في قانون بلانك:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...c{h\nu}{kT}-1}

أو:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...frac{kT}{h\nu}

وعليه:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...^{2}}{c^{3}}kT

والذي هو قانون "رايلي جينز" في الصورة الكلاسيكية.

*** ومن هنا يتضح أن تلك العلاقة هي حالة خاصة من علاقة بلانك التي يمكن إعتبارها علاقة عامة لجميع الترددات ودرجات الحرارة.

*** ملحق (4) ... الإشعاع المنبعث من الجسم الأسود:

إذا إعتبارنا فجوة بالغة الصغر، مساحة سطحها http://latex.codecogs.com/gif.latex?\Delta&space;A، وفوتونات قادمة من الإتجاه http://latex.codecogs.com/gif.latex?...ce;&plus;d\phi الذي يحصر أو يُقابل الزاوية المجسمة http://latex.codecogs.com/gif.latex?d\Omega ، حيث:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...ta&space;d\phi

وأن الزاوية المجسمة الكلية تساوى http://latex.codecogs.com/gif.latex?4\pi.
فإن الفوتونات القادمة في زمن http://latex.codecogs.com/gif.latex?\Delta&space;t ستقع في متوازي الأضلاع الذي طوله http://latex.codecogs.com/gif.latex?...\Delta&space;t .

حجم هذا المتوازي الأضلاع هو:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...s&space;\theta

http://hazemsakeek.com/up/download.php?img=139

وعليه عدد الفوتونات القادمة في وحدة الزمن من الإتجاه http://latex.codecogs.com/gif.latex?...ce;&plus;d\phi في مدى التردد الزاوي بين http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large&space;\omega و http://latex.codecogs.com/gif.latex?...&space;d\omega هو:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...uency.interval

أي:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...ce;d\omega}{V}

إذاً:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...ce;d\omega}{V}

وبالتالي فإن الطاقة الكلية (سنسميها مثلاُ http://latex.codecogs.com/gif.latex?...\right&space;) ) التي تُشع في وحدة الزمن في مدى التردد الزاوي بين http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large&space;\omegaو http://latex.codecogs.com/gif.latex?...&space;d\omega هي تكامل على الزاوية المجسمة فقط، مع ملاحظة أن حدود الزاوية http://latex.codecogs.com/gif.latex?\theta في حالتنا تلك http://latex.codecogs.com/gif.latex?...\pi&space;}{2} ، من الشكل، أي:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...ce;\phi&space;

حيث أن

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...ce;2&space;\pi

ولحل التكامل

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...&space;d\theta

سنفرض أن

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...pace;sin\theta

و

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...&space;d\theta

إذاً:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...ce;\frac{1}{2}

بالتعويض، نحصل على العلاقة:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...\right&space;)

ولكن الكمية الموجود بين القوسين هي عبارة عن كثافة الطاقة http://latex.codecogs.com/gif.latex?...)d\omega&space ; للحجم http://latex.codecogs.com/gif.latex?V ، أي أن:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...d&space;\omega

وعليه فإن القدرة Power خلال "وحدة المساحة" في نفس مدى التردد هي:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...d&space;\omega

ملحوظة: كثافة الطاقة هى طاقة لوحدة "الحجوم"، في حين أن الشدة هي القدرة لوحدة "المساحة" ... لذا حدد من البداية الرمز الذي سوف تتخذه لوصف الكمية التي تريد حتى لا يحدث لبس أو تداخل في الرموز.

ملحوظة ثانية: في المعادلات المعطاة ليست هناك مشكلة في الثوابت، فهي تتوقف على الحالة التي يتم دراستها إن كانت كرة أو مكعب أو أو ...، فقط إنتبه للمتغيرات !

ملحوظة ثالثة: أعتقد أن خطي هذه المرة أفضل !!! هههه ...

أتمنى أن ينال رضاكم ...

دمتم في رعاية الله وحفظه ...

نسألكم الدعاء ...