معادلات ماكسويل ... Maxwell's Equations ...

بسم الله الرحمن الرحيم
والصلاة والسلام على رسول الله
"محمد بن عبد الله"
وعلى آله وصحبه أجمعين
السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
إخواني زوار وأعضاء ومشرفي المنتدى الكرام
تحية طيبة إليكم
*** *** ***

معادلات ماكسويل
Maxwell’s Equations

معادلات ماكسويل هي عبارة عن تجميع للقوانين الأربعة الأساسية في الكهرباء والمغناطيسية، وعلى الرغم من أن ماكسويل هو مؤسس لواحدة فقط من هذه المعادلات بتعديله واحدة موجودة أصلاً ... إلا أنه إشتقها كلها رياضياً كلٌ على حده. وقد بينها في الورقة (العلمية) التي قدمها عام 1861 تحت عنوان

On Physical Lines of Force

والتي يمكن تحمليها من الموضوع التالي:

On Physical Lines of Force

المهم، هذه المعادلات لها صورتان إحداهما نقطية (تفاضلية) والأخرى تكاملية، وأي صورةٌ منهما تربط المجالات الكهربية والمغناطيسية بمصادرها وهي كثافة الشحنة وكثافة التيار على الترتيب ... كما سنرى.

يمكن تمييز حالتين تستخدم فيهما هذه المعادلات ... الأولى هي حالة المجالات الكهربية الساكنة والمجالات المغناطيسية الثابتة، والثانية فهي حالة المجالات الكهربية والمغناطيسية المتغيرة مع الزمن.

ملحوظة: سأشتق المعادلات التكاملية من تلك التفاضلية مباشرةً ... على إعتبار أن القارئ ملم بأساسيات الكهرومغناطيسية.

إثنان من الأربع معادلات تبقى كما هي بدون أي تغير في كلا الحالتين السابقتين، هاتين المعادلتين هما:

1 – قانون جاوس في الكهربية الذي يبين كيف أن الشحنات الكهربية تولد مجالاً كهربياً، أي:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...pace;=&space;Q

وباستخدام نظرية التباعد Divergence نجد أن:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...ace;)&space;dv

ولكن:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...}\rho&space;dv

إذاً:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...}\rho&space;dv

وعليه نجد أن:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...e;=&space;\rho

... ... ... ... ...

2 – قانون جاوس في المغناطيسية والذي يثبت عدم وجود القطب المغناطيسي المنفرد مناظراً للموجود في حالة الكهرباء، أو أن الفيض المغناطيسي دائماً ما يوجد في مسارات مغلقة ولا تنهي عند نقطة بعينها، أي:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...e;=&space;zero

وباستخدام نظرية التباعد Divergence نجد أن:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...pace;=&space;0

أو:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...pace;=&space;0

ملحوظة:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...&space;\vec{E}

أو:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...&space;\vec{D}

http://upload.wikimedia.org/wikipedi...netism.svg.png

*** أما الإثنين الأخرين فيتعمدان على حالة المجالات المختلفة، على النحو التالي:
... يُتبع بعد صلاة العشاء ... في أمان الله ...

أما الإثنين الأخرين فيتعمدان على حالة المجالات المختلفة، على النحو التالي:

*** في حالة المجالات الكهربية الساكنة والمجالات المغناطيسية الثابتة:

3 – القوة الدافعة الكهربية خلال مسار مغلق تساوي صفراً، ويمكن إثبات ذلك كما يلي، من المعروف أن شدة المجال الكهربي عبارة عن سالب تدرج (دالة) الجهد، أي:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...ledown&space;V

بأخذ curl الطرفين:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...ledown&space;V

ولكن curl grad يساوى صفر، إذاً:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...pace;=&space;0

والتي يمكن كتابتها على الصورة

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...pace;=&space;0

مع ملاحظة أن لم يحدث أي تغيير لأن أي شيء مضروب بالصفر يساوي صفرأيضاً.

باستخدام نظرية ستوكس Stocks نجد أن:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...space;d\vec{L}

وعليه فإن:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...pace;=&space;0

... ... ... ...

4 – قانون أمبير الدائري والذي ينص على أن التكامل الخطي للشدة المجال المغناطيسي حول أي مسار مغلق يساوي بالضبط التيار المستمر المُحاط بهذا المسار، أي:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...pace;=&space;I

باستخدام نظرية ستوكس Stocks نجد أن:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...\vec{S}&space;

ولكن شدة التيار هي:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...\vec{S}&space;

إذاً:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...\vec{S}&space;

وعليه نجد أن:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...&space;\vec{J}

... ... ... ...

*** حالة المجالات الكهربية والمغناطيسية المتغيرة مع الزمن:

3* - قانون فاراداي والذي ينص على أن المجالات المغناطيسية المتغيرة مع الزمن تولد مجالات كهربية، وبالتالي فإن القود الدافعة الكهربية الناتجة ستكون عبارة المعدل الزمني للتغير في الفيض المغناطيسي، أي:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...rac{d\Phi}{dt}

ولكن الفيض المغناطيسي خلال سطحٍ ما هو:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...space;d\vec{S}

وأيضاً القوة الدافعة الكهربية هي:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...\vec{L}&space;

إذاً:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...space;d\vec{S}

حيث أدخلنا معدل التغير الزمني تحت التكامل في صورة تفاضل جزئي للزمن، لأن المجال المغناطيسي هو الكمية الوحيدة في الطرف الأيمن الذي يتغير بالزمن خاصةً، وبالزمن والمساحة عموماً.

باستخدام نظرية ستوكس Stocks للطرف الأيسر، نجد أن:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...\vec{S}&space;

وعليه نجد:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...\vec{S}&space;

أو:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...rtial&space;t}

... ... ...

شكرا لك عل هذا الموضوع وكما عودتنا طرح مميز ورائع

4* - قانون أمبير الدائري مع تعديل أو تصحيح ماكسويل (وهذه هي المعادلة الوحيدة (الجديدة) لماكسويل):
من قانون أمبير الدائري في الحالة الأولي (الغير معتمدة على الزمن) وجدنا أن:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...&space;\vec{J}

ولدراسة التغير الناشيء في حالة الإعتماد على الزمن، نضرب الطرفين في http://latex.codecogs.com/gif.latex?...wn&space;\cdot ، فنحصل على:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...&space;\vec{J}

ولكن div curl يساوي صفراً، مما يستوجب أن يكون:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...pace;=&space;0

وهذا غير صحيح، لأنه من معادلة الإستمرارية نجد أن:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...rtial&space;t}

لذا قام ماكسويل بإفتراض أن:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...}+\vec{G}

حيث http://latex.codecogs.com/gif.latex?\vec{G} متجه له نفس أبعاد كثافة التيار، وعليه نضرب الطرفين مجدداً في http://latex.codecogs.com/gif.latex?...wn&space;\cdot ، فنحصل على:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...pace;\vec{G}=0

أو:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...rtial&space;t}

ولكن:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...&space;\vec{D}

إذاً:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...rtial&space;t}

أو:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...rtial&space;t}

والآن بالتعويض نجد:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...us;\vec{J_{d}}

حيث http://latex.codecogs.com/gif.latex?\vec{J_{d}} هو كثافة تيار الإزاحة كما أطلق عليه ماكسويل.

والآن بأخذ التكامل السطحي لطرفي المعادلة السابق، نحصل على:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...space;d\vec{S}

أو:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...s;&space;I_{d}

حيث:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...space;d\vec{S}

*** *** ***

هذه في عُجالة ... معادلات ماكسويل ...

أتمنى أن تنال رضاكم ...

دمتم في رعاية الله وحفظه ...

نسألكم الدعاء ...

*** ملحق (1) ... إشتقاق صورة "الجهد المغناطيسي المتجه" ...

هذا الإشتقاق غير موجود في أغلب كتب الكهرومغناطيسية التي أطلعت عليها ... ولكن المهم ...

يُفرض الجهد المغناطيسي المتجه http://latex.codecogs.com/gif.latex?\vec{A} بحيث يحقق المعادلة:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...pace;=&space;0

وبالتناظر ... مع الكهربية، تم الإتفاق على أن يُعطى بالصورة:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...&space;\vec{A}

وعليه فإن:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...pace;=&space;0

ومن قانون "بيووت – سفارت"، نجد أن:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...i&space;R^{2}}

والتي يمكن كتابتها على الصورة:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...}_{R}}{R^{2}}}

ولكن:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...\right&space;)

إذاً:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...pace;d\vec{L}}

ولكن http://latex.codecogs.com/gif.latex?d\vec{L} لا يتعمد على http://latex.codecogs.com/gif.latex?R ، لذلك يمكن أن نكتب:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...pace;)&space;}

وحيث أن:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...space;d\vec{H}

إذاً:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...pace;)&space;}

وأيضاً:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...space;d\vec{A}

وبالمقارنة نجد أن:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...pace;)&space;}

أو:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...space;&space;}

... ... ...

دمتم في رعاية الله وحفظه

*** ملحق (2) ... معادلة الإستمرارية ...

معادلة الإستمرارية هي معادلة تفاضلية تصف إنتقال أن نوع من الكميات الفيزيائية التي تطبق عليها قوانين الحفظ ... وحيث أن الكتلة، الطاقة، كمية الحركة، والشحنة الكهربية وباقي الكميات الطبيعية محفوظة ... فإن هذه المعادلة يمكن تطبيقها أو ملاحظتها في فروع الفيزياء المختلفة ...

تنص هذه المعادلة على أن "المقدار الكلي (للكمية المحفوظة) داخل أي منطقة ما معينة يمكن فقط أن يتغير بالمقدار الذي يدخل إلى (أو يخرج من) هذه المنطقة خلال الحدود" ...

فالكمية المحفوظة لا يمكن أن تزيد أو تنقص ... لكن يمكن أن تنتقل من مكان لآخر ...

وفي الكهرومغناطيسية ... يمكن أن تشتق هذه المعادلة بعدة طرق مختلفة ... منها التالية ...

من المعروف أن التيار الناتج خلال أى سطح مغلق يعطى من العلاقة

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...space;d\vec{S}

وعلى فرض أن هذا التيار ناتج عن الشحنات الموجبة ... فإن الفيض الخارج من هذا السطح لابد وأن يُقابله نقص في كثافة الشحنة الموجبة (أو زيادة في كثافة الشحنة السالبة) خلال هذا السطح المغلق.

وبفرض أن مقدار الشحنة داخل هذا السطح هي http://latex.codecogs.com/gif.latex?Q ، فإن معدل النقص سيكون http://latex.codecogs.com/gif.latex?-dQ/dt ، وبناءً على مبدأ حفظ الشحنة يكون:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...-\frac{dQ}{dt}

وهذه هي الصورة التكاملية لمعادلة الإستمرارية ... والحصول على الصورة التفاضلية (النقطية) يكون على النحو التالي:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...ace;)&space;dv

ولكن:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...}\rho&space;dv

إذاً:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...ce;t}&space;dv

أو:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...rtial&space;t}

وهذه هي الصورة التفاضلية لمعادلة الإستمرارية ... فكثافة التيار هى عبارة عن حركة كثافة الشحنة ...

*** طريقة أخرى ... من قانون أمبير مع تعديل ماكسويل ...

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...rtial&space;t}

بأخذ http://latex.codecogs.com/gif.latex?...wn&space;\cdot الطرفين نجد أن:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...ial&space;t}=0

أو:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...rtial&space;t}

لكن من قانون جاوس نجد أن:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...&space;\vec{D}

إذاً:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...rtial&space;t}

وهو ما حصلنا عليه سابقاً ...

هذا كل شيء للآن لأني جداً مشغول هذا الأسبوع ...
أتمنى مرعاة ظروفي ...
لا تنسونا من صالح دعائكم ...

بارك الله فيك
واشكرك جدا علي هذا الطرح المميز

بارك الله فيك على هذا الموضوع المفيد

شرح رائع

لكن ممكن تذكر طريقه استنتاج معادلات ماكسويل باستخدام

bianchi identity

بصراحه ما اعرف كيف اكتب المعادله لكن هي موجوده في هذا الملف صفحه 24 معادله56

http://hazemsakeek.com/up/download.php?id=450


تتبع منهج ميكانيكا الكم النسبوي

و لعل الاستاذ الصادق يشاركنا هذا الموضوع

الاخت الكريمة سنوهيد

و اخي العزيز رجب مصطفى

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

Bianchi Identity تحتوي على معادلتين من معادلات ماكسويل

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...0%5Cnu%20%7D=0

حيث ان ممتد شدة المجال الكهرومغنطيسي The electromagnetic field tensor يُعطى بـ
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...quad%20%281%29
متجه الموقع الرباعي فى صورة الـ covariant يعطي بـ
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...8t,-x,-y,-z%29
وبالتالي فان التفاضل الرباعي هو

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...quad%20%282%29

نعوض قيم للمعاملات http://latex.codecogs.com/gif.latex?...20%5Cnu,%5Crho
مثلاً اذا اخترنا القيم التالية
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...2,%5C;%5Crho=3
و عوضنا فى متطابقة بيانكي فسوف نحصل على

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...F%5E%7B12%7D=0

لاحظ من المعادلة (1) ان mu=0 عبارة عن الصف الاول فى المصفوفة (1) و mu=1 تمثل الصف الثاني و mu=2 الصف الثالث و mu=3 الصف الرابع
وهكذا فان http://latex.codecogs.com/gif.latex?...20F%5E%7B23%7D عبارة عن عنصر المصفوفة فى الصف الثالث و العمود الرابع اى ان http://latex.codecogs.com/gif.latex?...E%7B23%7D=-B_1
اما
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...E%7B12%7D=-B_3

ومن المعادلة (2) نجد ان
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...partial%20z%7D
وهكذا بالتعويض المباشر نحصل على


http://latex.codecogs.com/gif.latex?...5Cvec%7BB%7D=0
بنفس الطريقة و باختيار بقية القيم المختلفة لـ http://latex.codecogs.com/gif.latex?...20%5Cnu,%5Crho
نحصل على ثلاثة معادلات تمثل مركبات المعادلة
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...partial%20t%7D
وهذه اتركها لكم كتمرين

ملاحظة: فى الحسابات السابقة من اجل التبسيط قمت باختيار c=1

فعلا هذا الشرح جزاك الله خير

نعوض بالاعداد صفر و واحد و اثنين على الترتيب

و ستظهر لنا المعادله الثالثه من معادلات ماكسويل

إقتباس:
المشاركة الأصلية بواسطة سنوهيد http://www.hazemsakeek.com/vb/images...s/viewpost.gif

اقتباس:

---

فعلا هذا الشرح جزاك الله خير

نعوض بالاعداد صفر و واحد و اثنين على الترتيب

و ستظهر لنا المعادله الثالثه من معادلات ماكسويل

---

الاخت الكريمة سنوهيد
حياك الله تعالى
كلامك سليم و صحيح

مرة نعوض بـ 023 فنحصل على مركبة المعادلة فى اتجاه محور x
و نعوض بـ 013 فنحصل على مركبة المعادلة فى اتجاه محور y
و نعوض بـ 012 فنحصل على مركبة المعادلة فى اتجاه محور z

بدمج المركبات الثلاث اعلاه نحصل على المعادلة

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...partial%20t%7D

شكرا لك .....................

بارك الله فيك على هدا التوضيح البسيط والملم للمعادلة

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

شكراً لك أخي رجب على الموضوع القيم

وبارك الله فيك وجزاك الله كل الخير

شكراً لك
وجزاك الله كل خير

السلآم عليكم
راجعة للتدقيق

شكرا جزيلا وجوزيت عن وعن كل من افدته خير الجزاء وكثر الله من امثالك

مرحبا شكرا كتير عالموضوع الشيق شكرا الك
مرح الياس

انا شوفت حل لمعادلات ماكسويل عن طريق انه يحسب قيمة التكامل فى المعادلة التالتة والرابعة من خلال فرض ان المجال بيتغير فى الاحداثى السينى بحيث ءس<<لامدا فى مرجع السيروى

ياريتنلاقى اوراق عربى ومشكوووووووووووووووووووورا

شكرا لسيادتكم على تقديم هذا ألعمل ألجيد

مشكورين والله على هذة المعلومات الجميله

جزاك الله خيرا على هذا التوضيح الرائع

معلومات قيمه عن المعادلات سلمت يمناك

السلام عليكم يارب ارزقني بمن يساعدني وبارك له علمه ارجوا المساعدة في الحل وضع جسم اسطواني دائرى قائم نصف قطره Rوارتفاعه Lبصورة موازية لمحور Zفاذاعلم انالجسم يحمل شحنة دات كتافة حجمية غير منتظمة معطاة وفق الدالة رو(Z) =رو0+BZ وان نقطة المرجع تقع عند المركز للجسم الاسطوانى اوجد القوة المثرة على شحنة نقطية q موضوعة عند مركز الاسطوانة ملاحظة انا فهمت ولكن صعب علي التكامل لان الشحنة الحجمية غير منتظمة يعني تقعد داخل التكامل كيف نحل ارجوكم

بارك الله فيكم وعلى انجازكم القيم . لما فيه من خير للصالح العام . واسأل الله ان يجعله في ميزان حسناتكم ....