مفاهيم اساسية فى الجبر

وحدات البناء الاساسية

1- الفئة Set : هى عبارة عن ثُلة collection من الاشياء التى ليس من الضروري ان يربط بينها رابط مشترك او تحقق اى خواص اضافية فمثلاً ثُلة من n شخص تمثل فئة من الاشخاص و كذلك ايضاً ثُلة من n نقطة تمثل فئة من النقاط. و عدد العتاصر n فى الفئة يمكن ان يكون منتهياً او لانهائياً.
................................... ................................... ................................... ......................
2-الزمرة Group :
نقول ان G تمثل زمرة اذا كان لدينا:
a- فئة من العناصر تنتمي للزمرة http://latex.codecogs.com/gif.latex?......,g_n\in%20G
b-عملية ثنائية http://latex.codecogs.com/gif.latex?\otimes تسمى بعملية الضرب على الزمرة
وتحققت الشروط :
A1- الاغلاق Closure
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...0g_j%20\in%20G
A2-العملية التجميعية Associativity
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...0\otimes%20g_k
A3-وجود عنصر محايد http://latex.codecogs.com/gif.latex?g_1
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...l%20g_i\in%20G
A4- وجود معكوس وحيد
لكل عنصر http://latex.codecogs.com/gif.latex?g_\ell%20\in%20G يوجد معكوس وحيد http://latex.codecogs.com/gif.latex?g_k%20\in%20G يرمز له بـ http://latex.codecogs.com/gif.latex?g_k=g_\ell^{-1} و بحيث
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...20g_{\ell}=g_1

مثال(1):
فئة كل التبديلات الممكنة للنقاط 1, 2 , 3 تشكل زمرة تسمى بزمرة التباديل http://latex.codecogs.com/gif.latex?P_3
لاحظ ان العنصر المحايد هو عملية عدم اجراء التبديل اى ان النقطة 1 تتحول لمكان النقطة 1 والنقطة 2 تتحول الى مكان النقطة 2 و اخيراً النقطة 3 تتحول الى مكان النقطة 3
اذن قبل اجراء التبديل كل لدينا الترتيب (123) وبعد التبديل اصبح لدينا الترتيب (123) و بالطبع فان هذا التأثير يمثل العنصر المحايد ونرمز له بـ
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...23)\to%20(123)
يمكن تبديل النقطتين 1 و 2 وترك النقطة 3 فى مكانها اى ان النقطة 1 تتحول الى النقطة 2 و النقطة 2 تتحول الى النقطة 1 و النقطة 3 تتحول الى النقطة 3
اذن قبل اجراء التبديل كان لدينا الترتيب (123) و بعد التبديل اصبح لدينا الترتيب (213) وهذا العنصر يرمز له بـ
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...23)\to%20(213)
يمكن تثبيت النقطة 2 و تبديل النقاط 1 و 3 و هذا العنصر يرمز له بـ
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...23)\to%20(321)
ويمكن ايضاً تثبيت النقطة 1 و تبديل النقاط 2و 3 و هذا العنصر يرمز له بـ
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...23)\to%20(132)
يمكن تبديل جميع النقاط بحيت تتحول اى نقطة الى مكان النقطة التالية فى الترتيب اى تتحول النقطة 1 الى النقطة 2 و تتحول النقطة 2 الى النقطة 3 و تتحول النقطة 3 الى النقطة 1
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...23)\to%20(312)
و اخيراً تبديل جميع النقاط بحيث ان اى نقطة تتحول الى مكان النقطة السابقة لها فى الترتيب فمثلاً النقطة 3 تتحول الى النقطة 2 و النقطة 2 تتحول الى النقطة 1 و النقطة 1 تتحول الى النقطة 3 اى ان
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...23)\to%20(231)

هل يمكن اضافة عنصر آخر؟
اوجد حاصل الضرب http://latex.codecogs.com/gif.latex?...times%20g_{12} . ما الذى يمكن استنتاجه؟
اوجد حاصل الضرب http://latex.codecogs.com/gif.latex?...imes%20g_{132} . ماذا تستنتج؟
ماذا تتوقع ان يكون عدد عناصر زمرة التبديل http://latex.codecogs.com/gif.latex?P_4

مثال(2):
فئة الاعداد الحقيقية تشكل زمرة تحت عملية الجمع الاعتيادي +
العنصر المحايد هو الـ0
لكل عدد حقيقي a يوجد عدد وحيد حقيقي a- يمثل معكوسه الجمعي

مثال(3) فئة الاعداد الحقيقة باسثناء الـ 0 تشكل زمرة تحت عملية الضرب الاعتيادي
العنصر المحايد هو الـ 1
لكل عنصر a يوجد عنصر وحيد http://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{1}{a} يمثل المعكوس الضربي

سؤال: لماذا تم استبعاد الـ 0 ؟

مثال(4):
فئة كل المصفوفات الحقيقية المربعة http://latex.codecogs.com/gif.latex?n%20\times%20n الغير شاذة http://latex.codecogs.com/gif.latex?Gl(n) تشكل زمرة تحت عملية ضرب المصفوفات
العنصر المحايد هو مصفوفة الوحدة
طالما ان هذه المصفوفات غير شاذة فان لكل مصفوفة يوجد معكوس


فى الزمر التى فى الامثلة 2 و 3 نجد ان الترتيب الذى نجري به العملية الثنائية غير مهم و لذلك نقول انها زمر ابدالية

A5- الخاصية التبادلية commutativity: اذا حققت الزمرة الخاصية http://latex.codecogs.com/gif.latex?...g_i,g_j\in%20G
فاننا نقول ان الزمرة G زمرة ابدالية Abelian
ومن الواضح ان الزمر فى الامثلة 1 و 4 هى زمر غير ابدالية (تأكد منها بنفسك)

3-الحقل Field

الحقل F هو
a- الفئة http://latex.codecogs.com/gif.latex?f_0,f_1,f_2,...
b- وعمليتين هما الجمع (+) والضرب (.)
التى تحقق الشروط التالية

A- الفئة F عبارة عن زمرة ابدالية تحت عملية الجمع + عنصرها المحايد هو http://latex.codecogs.com/gif.latex?f_0 اى انها تحققالشروط A1-5

B1- خاصية الاغلاق
http://latex.codecogs.com/gif.latex?f_if_j\in%20F

B2- الخاصية التجميعية
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...k)=(f_if_j)f_k

B3- العنصر المحايد
http://latex.codecogs.com/gif.latex?f_i1=1f_i=f_i

B4- لكل عنصر باستثناء http://latex.codecogs.com/gif.latex?f_0 يوجد معكوس
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...0f_i\neq%20f_0

B5- قانون التوزيع Distribution law
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...if_j%20+f_jf_k

مثال(5):
الاعداد الحقيقية تشكل حقل يسمى بحقل الاعداد الحقيقية
(تأكد من تحقق شروط الحقل )

مثال(6):
الاعداد المركبة يمكن كتابتها بالصورة http://latex.codecogs.com/gif.latex?...d%20a,b\in%20R بحيث ان
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...1=i\\%20i.i=-1
تشكل حقل يسمى بحقل الاعداد المركبة
(تأكد من تحقق شروط الحقل )


مثال (7):
الكوتيريونات Quaternions يمكن تمثيلها بالصورة http://latex.codecogs.com/gif.latex?...d%20q_i\in%20R
بحيث ان

http://latex.codecogs.com/gif.latex?..._3=\lambda_2\\

تمرين:
برهن ان الكواتيريونات تشكل حقلاً.

اذا حقق الحقل الخاصية التالية فاننا نقول عنه حقل ابدالي
B6-الخاصية التبادلية
http://latex.codecogs.com/gif.latex?f_if_j=f_jf_i

سؤال: هل يعتبر الحقل الكواتيريوني حقلاً ابدالية ؟


يتبع.....

احسنت اخى العزيز الصادق

بارك الله فيك اكمل والله معك


اخوكم / محمد ابوزيد

سؤال هل collection بمعنى

( تجمع - مجموعة - كل شىء كان ) ؟


وهل :

Associativity بمعنى دمج ؟

اخوكم / محمد ابوزيد

هل يمكن اضافة عنصر آخر؟

لا يمكن

ماذا تتوقع ان يكون عدد عناصر زمرة التبديل

عدد عناصرها 6 عناصر لانها تساوى عدد تباديل 3 عناصر يتم اختيار 3 عناصر منها

اى مضروب 3 وهو 3×2×1 = 6

ارجو تصويبى

اخوكم / محمد ابوزيد

بارك الله فيك اخي الكريم محمد ابوزيد

اقتباس:

---

سؤال هل collection بمعنى ( تجمع - مجموعة - كل شىء كان ) ؟

---

معناها المستخدم هنا هو اقرب الى تجمُع من الاشياء

اقتباس:

---

associativity بمعنى دمج ؟

---

نعم صحيح

اقتباس:

---

هل يمكن اضافة عنصر آخر؟

لا يمكن

ماذا تتوقع ان يكون عدد عناصر زمرة التبديل

عدد عناصرها 6 عناصر لانها تساوى عدد تباديل 3 عناصر يتم اختيار 3 عناصر منها

اى مضروب 3 وهو 3×2×1 = 6

ارجو تصويبى

---

احسنت اخي, اجابة صحيحة

سلمت يمينك أخي الكريم الصادق

هذا أكثر من رائع

فبارك الله فيك و جزيت كل الخير

أكمل أخي على بركة الله

تمرين "برهن ان الكواتيريونات تشكل حقلاً" تمرين جميل

فهل يمكن أن نرى مساهمات الاخوة فيه

أو نناقش ما يمكن ان يعترض محاولات الحل من مشاكل

أرجو ذلك .

اقتباس:

---

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة تغريد

سلمت يمينك أخي الكريم الصادق

هذا أكثر من رائع

فبارك الله فيك و جزيت كل الخير

أكمل أخي على بركة الله

تمرين "برهن ان الكواتيريونات تشكل حقلاً" تمرين جميل

فهل يمكن أن نرى مساهمات الاخوة فيه

أو نناقش ما يمكن ان يعترض محاولات الحل من مشاكل

أرجو ذلك .

---

اختي الكريمة تغريد
بارك الله فيك و جزاك كل خير
واني ايضاً مثلك اتوق لرؤية محاولات الاخوة فى حل هذا السؤال
ارجو ذلك

4- الفضاء الاتجاهي الخطي Linear Vector
Space

الفضاء الاتجاهي الخطي V يتكون من

a- فئة متجهات http://latex.codecogs.com/gif.latex?...v_2,...\in%20V
b- و حقل http://latex.codecogs.com/gif.latex?...f_2,...\in%20F

مع عمليتان ثنائيتان هما
c- عملية الجمع (+)
d- عملية الضرب القياسي

ويحقق الشروط A و B التالية:

الفرضيات A
A- http://latex.codecogs.com/gif.latex?(V,+) عبارة عن زمرة ابدالية تحت عملية الجمع

A1- الاغلاق
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...+v_i%20\in%20V

A2-خاصية الدمج
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...=(v_i+v_j)+v_k

A3- وجود محايد جمعي http://latex.codecogs.com/gif.latex?v_0
http://latex.codecogs.com/gif.latex?v_0+v_i=v_i+v_0=v_i

A4- وجود معكوس
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...(-v_i)+v_i=v_0

A5- الخاصية التبادلية:
http://latex.codecogs.com/gif.latex?v_i+v_j=v_j+v_i

الفرضيات B
B1-الاغلاق
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...0f_iv_j\in%20F

B2-خاصية الدمج
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...k)=(f_if_j)v_k

B3-وجود محايد ضربي 1
http://latex.codecogs.com/gif.latex?1v_i=v_i1=v_i

B4-الخاصية الثنائية-الخطية Bilinearity
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...=f_iv_k+f_jv_k

مثال (8)
ابسط مثال للمتجه هو "شئ يشير فى اتجاه محدد" مثل
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...20\mathbf{e}_3

مثال (9)
فئة كل الدوال http://latex.codecogs.com/gif.latex?f(\phi) المُعرفة على الدائرة http://latex.codecogs.com/gif.latex?...phi%3C%202\pi)

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...m%20e^{im\phi}

حيث m عدداً صحيحاً.
تشكل فضاءاً اتجاهياً

تمرين: برهن ذلك

مثال(10):
فئة كل المصفوفات من النظام mXn تشكل فضاءاً اتجاهياً تحت عملية جمع المصفوفات

سؤال: هل الحقول الحقيقية و المركبة و الكواتيريونية تشكل فضاءات اتجاهية ام لا؟

5-الجبر Algebra
الجبر الخطي يتكون من

a- فئة متجهات http://latex.codecogs.com/gif.latex?...v_2,...\in%20V

b- و حقل http://latex.codecogs.com/gif.latex?...f_2,...\in%20F

مع ثلاثة عمليات هي:
c- عملية الجمع (+)
d- عملية الضرب القياسي
e- الضرب المتجهي http://latex.codecogs.com/gif.latex?\boxed

وتحقق الشروط A و B و C التالية:

الشروط A:
تحقق الشروط A1 و A2 و A3 و A4 و A5 الخاصة بالفضاء الاتجاهي (راجع المشاركة السابقة)

الشروط B:
تحقق الشروط B1 و B2 و B3 و B4 الخاصة بالفضاء الاتجاهي (راجع المشاركة السابقة)

الشروط C:

C1- الاغلاق تحت عملية الضرب المتجهي:
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...0v_2%20\in%20V

C2- الخاصية الثنائية-الخطية Bilinearity
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...1\square%20v_3

من هنا نرى ان الجبر الخطي هو اضافة عملية ضرب متجهي على الفضاء الاتجاهي الخطي و عملية الضرب المتجهي ليس ضرورياً ان تحقق خواص الدمج و العنصر المحايد و المعكوس. و هناك انواع مختلفة من الجبرات (جمع جبر) التى يمكن الحصول عليها باضافة شروط اضافية

اذا حقق الجبر الخطي خاصية اضافية مثل خاصية الدمج
C3- خاصية الدمج
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...\square%20v_3)
فاننا نسمي الجبر حينها بالجبر الخطي الدمجي Associative linear algebra

اذا كان للجبر الخطي محايد تحت عملية الضرب المتجهي
C4- وجود محايد و هذا المحايد بشكل عام لا يساوي محايد عملية الجمع + او محايد عملية الضرب القياسى
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...\mathbf{1}=v_1
فنسمي الجبر بالجبر الخطي الذى له محايد Linear algebra with identity

يمكن ان تكون عملية الضرب المتجهي من ناحية ترتيب العناصر المضروبة عملية ابدالية او ضد ابدالية
C4- خاصية التماثل وضد التماثل Symmetric/Antisymmetric تحت التبديل
التماثل: http://latex.codecogs.com/gif.latex?...2\square%20v_1
ضد التماثل: http://latex.codecogs.com/gif.latex?...2\square%20v_1

و اخيراً يمكن ان يحقق الجبر الخطي خاصية الاشتقاق
C5- خاصية الاشتقاق Derivative property
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...\square%20v_3)

كم أنهذا رائع اخي الكريم الصادق

هل تعلم أخي أن هذا الطرح ربما أراه لأول مرة

كم كنت أود أن أتساءل لماذا يتم التعامل مع الضرب القياسي على نطاق واسع في كل المجالات
و يتم تجاهل
الضرب الاتجاهي

أكمل أخي الكريم و أعتقد أنه من الأفضل وضع محاولات الحلول للأسئلة
في موضوع مستقل ليحافظالموضوع على تكامله و اتصاله

حياك الله اختي الكريمة

لعل السبب هو ان الضرب القياسي (اى ضرب المتجه فى عنصر الحقل f) هو مضاعفة للمتجه اى ان ناتج الضرب القياسي يظل متجهاً مما لا يؤثر على خاصية الاغلاق
اما الضرب المتجهي (هو ضرب متجهين) قد يكون ناتجه ليس متجهاً بنفس الخواص مما يجعل الجبر غير منغلقاً لذلك يجب التعامل معه بحذر
والله اعلم

و انا ايضاً اتمنى ان تكون هناك محاولات لحل الاسئلة والتمارين و يتم فرد موضوع خاص بها
بارك الله فيك اختي الكريمة وجزاك كل خير

امثلة على الجبرات

مثال(11)
فئة كل المصفوفات الحقيقية من النوع nXn تشكل فضاءاً اتجاهياً تحت عملية جمع المصفوفات (+) و عملية الضرب القياسي فى الاعداد الحقيقية. والان اذا ارفقنا مع هذا الفضاء الاتجاهي عملية ثنائية اضافية تُعرف بعملية ضرب المصفوفات
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...n}A_{ik}B_{kj}
فان الفضاء الاتجاهي يصبح عبارة عن جبر خطي دمجي (طبعاُ نسبةً لان ضرب المصفوفات بطبيعة الحال يحقق خاصية الدمج)
و العنصر المحايد لعملية الجمع هو الـ0 (المصفوفة الصفرية)
والعنصر المحايد لعملية الضرب القياسي فى عدد حقيقي هو الـ1
والعنصر المحايد لعملية الضرب المتجهي (عملية ضرب المصفوفات) هو مصفوفة الوحدة I
وهذا المثال يحقق كل شروط الجبر الخطي كما انه يحقق ايضاً الشروط C3 و C4 و لذلك نقول ان فئة المصفوفات الحقيقية تحت عمليات الجمع و الضرب القياسي بعدد حقيقي والضرب المتجهي (ضرب المصفوفات) تشكل جبر خطي دمجي له محايد Linear Associative algebra with identity

مثال(12)
فئة كل المصفوفات الحقيقية المتماثلة Symmetric (المصفوفات المتماثلة هى تلك المصفوفة التى تساوى منقولها transpose) اى التى تحقق
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large%20A^t=A
هى عبارة عن عن فصاء خطي جزئي من الفضاء فى المثال السابق
دعنا الان نتأكد ماذا كانت المصفوفات المتماثلة تمثل جبر خطي تحت عملية ضرب المصفوفات ام لا
افترض ان A و B مصفوفات متماثلة اى ان http://latex.codecogs.com/gif.latex?...,\quad%20B^t=B مما يعني انهما تنتميان لفئة المصفوفات المتماثلة
الان ضرب المصفوفتين يعطي مصفوفة ليست بصورة عامة متماثلة
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...20A\square%20B
اى لا تحقق شرط الاغلاق C1 للجبر الخطي
ولكن معك ذلك توجد عملية ضرب متجهي اخرى تعرف بـ
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...A,B]_{+}=AB+BA
تحقق شرط الاغلاق C1 و شرط الثنائية-الخطية C2 مما يجعل فئة المصفوفات المتماثلة تشكل جبر خطي تحت عملية الضرب المصفوفي التماثلي المعرف بالقوس اعلاه
البرهان:
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...=B^tA^t+A^tB^t
ولما كانت المصفوفات Aو B الى فئة المصفوفات المتماثلة فانها تحقق http://latex.codecogs.com/gif.latex?...,\quad%20B^t=B
وعليه فان
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...}=A\square%20B
اذن فان ناتج الضرب التماثلي يمثل مصفوفة متماثلة و لذلك فانه ينتمي الى فئة المصفوفات المتماثلة مما يحقق شرط الاغلاق C1

تمرين: برهن ان عملية ضرب المصفوفات التماثُلي هذا يحقق الخاصية الثنائية- الخطية C2

مثال(13)
فئة كل المصفوفات ضد المتماثلة Antisymmetric اى التى تحقق
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large%20A^t=-A
غير مغلقة تحت عملية ضرب المصفوفات و لكن اذا عرفنا عملية ضرب مصفوفي ضد تماثلي على النحو التالىي
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...#91;A,B]=AB-BA

فانها شرط الاغلاق C1 و شرط الثنائية-الخطية C2 مما يجعل فئة المصفوفات الضد متماثلة تشكل جبر خطي تحت عملية الضرب المصفوفي ضد التماثلي المعرف بالقوس اعلاه والذي يسمى بقوس التبادلية

تمرين: برهن تحقق الشروط C1 و C2

ليس من العسير ان نبرهن ان هذا الجبر بصورة عامة ليس له عنصر محايد كما انه لا يحقق خاصية الدمج (اى لا يحقق الشروط C3 و C4)

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...0B)\square%20C

الان الجبر المُعرف بالضرب ضد التبادلي (علاقة التبادلية) يسمى بجبر ليي Lie Algebra و هذا الجبر يمثل حجر الاساس فى ميكانيكا الكم (حيث ان المؤثرات فى فضاء هيلبرت تحقق جبر ليي) و فى النظرية النسبية (حيث ان تحويلات لورنتز تمثل جبر جزئى من جبر بوينكاري Poincare’ Algebra والذي هو عبارة عن جبر لليي )

بالاضافة لخصائص الجبر فان جبر ليي يحقق خاصية الاشتقاق C6 (برهن) اى ان

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...(A\square%20C)
وهذه الخاصية تُعرف بخاصية الاشتقاق و تكتب بالصورة الشائعة التالية:
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...C,[A,B]]=0

التى تسمى بمتطابقة جاكوبي Jacobi’s Identity




تم بحمد الله و توفيقه
اللهم علمنا ما ينفعنا وانفعنا بما علمتنا ، وزدنا علماً

أشكرك أخي الكريم الصادق على هذا الطرح المتميز جدا

سلمت يداك أخي

الحقيقة كنت أرجو أن افهم يوما أكثر عن هذا النوع من الجبر

ربما الامر أيضا كان جديدا على لأن هناك مفاهيم اخري لها نفس الاسم algebra

سأحاول أن ارى ما إذا كان هذا مصادفة أم أنها بالفعل حالات خاصة من linear algebra

و ماذا تحقق من صفات اخرى


بارك الله فيك أخي الكريم الصادق و زادك من نوره و حكمته