-
التماثل و التماثل الفائق
التماثُل و التماثُل الفائق
مدخل:
ماذا نعنى بمفهوم التماثل او التناظر؟
التماثل او التناظر بوجه عام هو احد الخصائص الجمالية للاشكال الهندسية و النظريات الفيزيائية, وتفادياً للمسألة الذوقية فاننا نعنى بالجمال هنا البساطة. فعندما يصف الفيزيائى نظرية ما بانها جميلة فهو حتماً يعنى انها نظرية بسيطة متماثلة فى بنيتها الداخلية و قادرة على وصف الطبيعة.كمثال لذلك نجد ان النظرية النسبية الخاصة مبنية على مفهوم التماثل وكون المبداء الاول من مبادئ النظرية النسبية يقول ان جميع مناطات الاسناد القصورية متكافئة (اى متماثلة ومتناظرة) فى وصف الطبيعة فهو يدل على هذا البعد التماثلى الجمالى للنظرية. ثم جاء المبداء الثانى ليشد من عضد المبداء الاول فى هذه السمفونية الجمالية
مثال(1) :
افترض معادلة القطع المكافئ التالية
http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge%20y(x)=x^2
الان دعنا نقوم بتحويل المتغير المستقل من x الى سالب x
وهكذا سوف تكون معادلة القطع المكافئ بعد التحويل هى
http://www.codecogs.com/eq.latex?\hu...-x)=(-x)^2=x^2
والان طالما ان التحويل لم يغير المعادلة فاننا نقول ان معادلة القطع المكافئ متماثلة نتيجة للتحويل http://www.codecogs.com/eq.latex?\la...ightarrow%20-x
http://students.umf.maine.edu/~nieuw...rabola%201.gif
نلاحظ من الرسم ان النصفين الايمن والايسر متماثلين.
-
مشاركة: التماثل و التماثل الفائق
مثال(2):
هب انه لدينا جهاز قياس حرارة (ثيرمومتر) وقمنا بقياس درجة الحرارة عند نقطة x داخل الغرفة ووجدنا ان درجة الحرارة عند تلك النقطة تساوى 20 درجة مئوية ثم بعد ذلك قمنا بقياس درجة الحرارة عند نقطة اخرى x+a داخل الغرفة (اى قمنا بانتقال مكانى (تحويل) من نقطة الى اخرى ) ووجدنا ان درجة الحرارة عند النقطة الجديدة تساوى ايضاً 20 درجة مئوية. وهكذا كانت درجة الحرارة عند جميع نقاط الغرفة تساوى 20 درجة. الان ماهو الاستقراء الفيزيائى الذى سوف نخلص اليه؟
بالطبع سوف نقول ان درجة الحرارة موزعة بانتظام داخل الغرفة اى ان درجة الحرارة لا تتغير نتيجة للانتقال المكانى داخل الغرفة بمعنى اخر ان درجة الحرارة متماثلة عند جميع النقاط
التماثل يقود الى الثبات
وجدنا ان درجة الحرارة عند x تساوى 20 درجة مئوية اى ان
http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge%20T(x)=20^o
وعند النقطة x+a كانت درجو الحرارة ايضاً تساوى 20 درجة مئوية اى ان
http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge%20T(x+a)=20^o
وهكذا فان
http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge%20T(x+a)=T(x)
وبأخذ مفكوك تايلور للدالة فى الطرف الايسر من المعادلة الاخيرة نجد ان
http://www.codecogs.com/eq.latex?\hu...dx^2}+...=T(x)
وهكذا نجد ان
http://www.codecogs.com/eq.latex?\hu...T}{dx^2}+...=0
ولما كانت a قيمة اختيارية (اعتباطية) فانه يكفى ان تساوى المشتقة الاولى صفراً للتحقق المعادلة الاخيرة اى
http://www.codecogs.com/eq.latex?\hu...w%20T=constant
اى انه نتيجة لتماثل تحت تحويل الانتقال المكانى فان درجة الحرارة تظل ثابته عند جميع النقاط داخل الغرفة
يتبع .....
-
مشاركة: التماثل و التماثل الفائق
السلام عليكم ..
أخي الغالي "الصادق" ..
والله لساني لعاجز .. ولا يحضرني شيء استطيع به أن أشكرك على طرح هذا الموضوع المتميز ، من باقة مواضيعك التي تتحفنا بها دائما ..
أنتظر البقية على أحر من الجمر :) ..
بارك الله فيك وبك.
-
مشاركة: التماثل و التماثل الفائق
بارك الله فيك أستاذ الصادق
وجزاك الله خير ونفع بك
بصراحة أستاذ الصادق..لك قدرة على توصيل المادة العلمية في صورة سهلة وواضحة
ولك أسلوب مميز في الشرح لا يضاهيه أسلوب
ولذلك فأنا كمان أنتظر البقية على أحر من الجمر :) :)
-
مشاركة: التماثل و التماثل الفائق
السلام عليكم
أستاذنا الصادق في كل مرة أقرأ أحد مواضيعك أزداد اعجابا بأسلوبك (خاصة موضوع #معادلة انشتاين فى النسبية العامة#).
بارك الله فيك أخي وزادك علما وايمانا.
عندي استفسار صغير:
لتكن الدالة التالية:
في غالب الأحيان نقول ان http://www.codecogs.com/eq.latex?\150dpi%20\[\tau\] هو دور الدالة
سؤالي هو:
هل للدوال الدورية أي علاقة بهذا الموضوع حيث أنها حالة خاصة من العلاقة:
حيث في الدوال الدورية http://www.codecogs.com/eq.latex?\150dpi%20\[\tau\] هو عدد ثابت وليس اعتباطي كما هو الحال في مثالك السابق.
أظن في هذه الحال أن هناك عددا لانهائي من التحويلات المكانية ستحافظ على ثبات درجة الحرارة (في المثال المذكور أعلاه)، حيث بحسب تعريف الدوال الدورية:
(n عدد صحيح)
شكرا.
-
مشاركة: التماثل و التماثل الفائق
السلام عليكم
بارك الله فيك أستاد و بي اسلوبك المميز كالعادة وزادك علما وجزاك الله خير
بدرسك هاد أرجعتني إلى الوراء دروس الثانوية العامة ..........بتع التحويلات الهندسية
و إدا كان تعريفك للتماثل فما الفرق بينه و بين التماثُل الفائق???
و ما هو الهدف من درس هده التماثُلآت??
تحياتي
الاخت فريدة
-
مشاركة: التماثل و التماثل الفائق
السلام عليكم
اخى العزيز NEWTON
بارك الله فيك على الكلمات الطيبات و لك الشكر والتقدير و اتمنى ان تجد فى الموضوع ما يرضيك
اختى الكريمة مروة إبراهيم
لك الشكر على كلماتك الطيبات و بارك الله فيك وجزاك خيراً وذادك من فضله. وسوف اوصل فى الموضوع انشاءالله
اخى Tyns19
شكر اً على السؤال الذكى جداً وانت لا تحتاج اجابتى لان اجابتك صحيحة
دور الدالة الدورية هو خاصية لتلك الدالة وهو مقدار ثابت للدالة المعينة و دور دالة الجيب مثلاً هو 360 درجة و انت لا تستطيع ان تميز بين جيب الزاوية x و جيب الزاوية x+360 ولكنك حتماً تستطيع ان التميز جيب الزاوية x عن جيب الزاوية x+359
اما التحويل المكانى فهو اعتباطى فمثلاً اذا كانت x لا متغيرة تحت عملية التحويل الانتقالى فانت لا تستطيع ان تميز بين x و x+1 و x-0.765 و x+1000 بمعنى انه لاتوجد قيمة ثابته لمقدار التغير
الاخت فريدة
بارك الله فيك و جزاك كل خير
معك حق فى انها رياضيات الثانوية العامة و لكنى لم اتحدث عن التماثل فى الفيزياء بعد والمثال (1) هو كان فقط من اجل تعريف كلمة تماثل و كنت اريد ان اعطى القارئ احساس ان التماثل يتتطلب و جود تحويل ما. و اجابة السؤاليين اعلاه سوف تفصح عنهما المشاركات القادمات انشاء الله و اتمنى ان تتابعى معنا الموضوع حتى النهاية
-
مشاركة: التماثل و التماثل الفائق
تماثلات الاحداثيات
دعنا اولاً نُعرف نظام الاحداثيات ومن اجل هذا الغرض دعنا نعتبر المثال التالى:
مثال (3): افترض انه لدينا ذرات غاز موزعة فى الفضاء ومن اجل التبسيط افترض ان هذه الذرات تعيش فى فضاء به بعد واحد هو x وليكن احداثى الذرة رقم 1 هو http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large%20x_1 و احداثى الذرة رقم 2 هو http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large%20x_2 و هكذا فان احداثى الذرة رقم i هو http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large%20x_i. و الان اذا اخذنا فى الاعتبار التحويل الانتقالى فاننا نجد ان
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...x_i+\delta%20x
حيث ان http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large%20\delta%20x تمثل قيمة اعتباطية وهى بالطبع لا تعتمد على الذرة المعينة لذلك لا يظهرفيها المعامل i , ولذلك فاننا لا نستطيع ان نقيس الموضع http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large%20x_i لاننا لا نستطيع ان نميز بين http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large%20x_i و http://latex.codecogs.com/gif.latex?...20x_i+\delta x
الدرس الاول : لا يمكن قياس موقع نقطة فى الفضاء...............
الان دعنا نتحدث عن الذرة رقم i عند الموضع http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large%20x_i والذرة رقم j التى عند الموضع http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large%20x_j
نُعرف البعد بين الذرة رقم i والذرة رقم j ب
http://latex.codecogs.com/gif.latex?..._j%20\qquad(1)
باجراء التحويل الانتقالى نجد ان
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...0x%20\qquad(3)
الان بطرح المعادلة (3) من المعادلة (2)
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...a%20x)=x_i-x_j
وهكذا فان البعد بين النقطتين لا يتغير نتيجة للتحويل الانتقالى
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...{ij}%27=x_{ij}
وهكذا طالما ان البعد بين الذرتين i و j لا يتغير نتيجة للتحويل الانتقالى فاننا نستطيع قياس البعد بينهما
الدرس الثانى: لا نستطيع قياس موقع نقطة فى الفضاء و لكنا نستطيع قياس البعد بين نقطتين.....
دائماً تضع التماثلات شروط يجب تحقيقها. وفى حالتنا هذه فانه و اضح من العلاقة (3) ان الازحة من النقطة i النقطة j تساوى سالب الازاحة من j الى i
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...j}%20\qquad(4)
اما العلاقة الثانية فهى ان الازاحة من النقطة i الى النقطة j ومن النقطة j الى النقطة k ومن k الى النقطة i مرة اخرى تساوى صفراُ اى ان
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...=0%20\qquad(5)
سوف نسمى الشرط فى المعادلة (4) بعلاقة ضد التماثلية اما الشرط فى المعادلة (5) بعلاقة التدوير
حيلة قديمة:
يمكن ان نحدد نقطة محددة و تكن تلك النقطة هى موقع الذرة رقم 1 و لنسمى هذه النقطة بنقطة الاصل
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\huge%20x_1=0
وهكذا فان البعد بين النقطة i و النقطة 1 هو
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...-x_1=x_i-0=x_i
الدرس الثالث: عند تعريف نقطة ما على انها نقطة الاصل فان http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large%20x_i اصبح يمثل بعد النقطة i من نقطة الاصل
وعند اجراء تحويل الانتقال فاننا نحصل على
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...delta%20x)=x_i
اى انه بعد تعريف نقطة الاصل فان http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large%20x_i لا تتغير نتيجة للتحويل الانتقالى بعكس ماهو الحال قبل تعريف نقطة الاصل.
تمرين:
1-برهن العلاقات (4) و (5) مستخدماً العلاقة (3)
2- فى الفيزياء عادة ما نقوم باختيار نفطة اصل الاحداثيات و نريح انفسنا تماماً من قضية التماثل نتيجة تحويل الانتقالى. هل تستطيع ان تزكر حالة فضاء فى الفيزياء لا نقوم فيه بتعريف نقطة الاصل
3- عمم المثال السابق الى حالة غاز من الذرات فى فضاء ثلاثى الابعاد
يتبع.............
-
مشاركة: التماثل و التماثل الفائق
السلام عليكم
الشكر لك الأخ الصادق لقد كفيت و وفيت
هذا هو حل التمرين ان شاء الله:
1-برهن العلاقات (4) و (5) مستخدماً العلاقة (3):
باستخدام العلاقة (3) نجد:
2- فى الفيزياء عادة ما نقوم باختيار نفطة اصل الاحداثيات و نريح انفسنا تماماً من قضية التماثل نتيجة تحويل الانتقالى. هل تستطيع ان تزكر حالة فضاء فى الفيزياء لا نقوم فيه بتعريف نقطة الاصل
بالي مشغول بعض الشيء هذه الأيام لكن كأول تخمين خطر في بالي الفضاء الكهروستاتيكي حيث يكتب قانون كولوم مثلا وبالنسبة إلى شحنتين كالتالي:
أما في حالة N شحنة فان القوة الكلية التي تؤثر بها كل الشحنات على الشحنة رقم i هي:
3- عمم المثال السابق الى حالة غاز من الذرات فى فضاء ثلاثى الابعاد
لاحظ أن العلاقة (4) هي حالة خاصة من العلاقة (5). بقي فقط أن أشير أن التحويل سيكون صالح تحت جميع نظم الاحداثيات وهذا ما تعودناه طبعا في قوانين الفيزياء حيث مثلا في الاحداثيات الكرتيزية:
شكرا أتمنى أن أكون قد وفقت ولو قليلا.
ملاحظة:
إذا كان الموضوع لا يحتمل حل التمارين في نفس الصفحة فإن ليس لدي أي مانع في حذف هذه المشاركة أو نقلها.
في انتظار باقي الموضوع انشاء الله.......
-
مشاركة: التماثل و التماثل الفائق
اخى Tyns19
اشكرك فقد اسعدتنى جداً بحلك للتمرين
و اجابتك للسؤاليين الاول و الثالث صحيحة تماماً
ولكن هناك مشكلة فى حل السؤال الثانى لان الحالة التى طرحتها هى حالة شحنات موضوعة فى نقاط غير نقطة الاصل و لكن هذا لا يمنع من وجود نقطة الاصل فهى معرفة ب http://latex.codecogs.com/gif.latex?\huge%20\vec{r}=0
كنت اقصد بسؤالى فضاء (وليس نظام احداثيات) و ليس بالضرورة ان يكون فضاء مكانى او زمنكانى
اشكرك اخى Tyns19 على الحلول الرائعة هذه وانتظر منك محاولة اخرى للسؤال الثانى
-
مشاركة: التماثل و التماثل الفائق
اقتباس:
اخى tyns19
اشكرك فقد اسعدتنى جداً بحلك للتمرين
الشكر لك أستاذي على طرحك لمواضيع متميزة، أما نحن فأقل ما يمكن أن نفعله هو تشجيعك على المواصلة وأنا أؤمن أن التشجيع يكون عن طريق التفاعل والمشاركات البناءة(والكلام طويل في هذا السياق...).
اقتباس:
كنت اقصد بسؤالى فضاء (وليس نظام احداثيات) و ليس بالضرورة ان يكون فضاء مكانى او زمنكانى
اشكرك اخى tyns19 على الحلول الرائعة هذه وانتظر منك محاولة اخرى للسؤال الثانى
سبق و أن أشرت في مشاركة سابقة أنني أعاني حالة تشتت، و كلامك هذا أدخلني في أمور فلسفية وفيزيائية عديدة ومع هذا فلم أخرج بنتيجة تذكر أتمنى أن تعطينا الحل حتى نستطيع مواصلة الموضوع كما أرجو من الإخوة أعضاء المنتدى المشاركة البناءة التي تمثل الشكر الحقيقي، فأنا أعرف في قرارة نفسي أني لن أستطيع مجارات أستاذي الصادق خاصة في ظل ظروفي الحالية، لكني لن أدخر ان شاء الله أي جهد في المحاولة الا اذا تعدت المناقشة مستواي المتواضع وهذا ما أتوقعه من باقي الأعضاء أيضا.
استفسار:
سبق وأن بينت لنا أخي الصادق كيف أن التماثل يؤدي الى الثبات لكن سؤالي هو :
-هل يؤدي الثبات الى التماثل؟؟؟؟
فمثلا نقول أن قوانين الفيزياء اليوم هي نفسها البارحة ويعتقد علماء الفيزياء أنها نفسها عند بداية الكون، ومن جهة أخرى نقول أن قوانين الفيزياء على الأرض هي نفسها على القمر وهي نفسها في أي مكان من الكون
اذن نقول أن قوانين الفيزياء ثابتة في كل مكان وزمان (ملاحظة: أنا لم أعين حالة الراصد في ما مضى ومعنى كلامي السابق أن الراصد المتسارع على القمر مثلا يطبق نفس قوانين الراصد المتسارع على الشمس مثلا وهكذا دواليك...).
-هل يمكن أن نقول أن قوانين الفيزياء تماثلية؟؟؟؟
أخي الصادق أنا أعطيك الحق في تعديل أي مشاركة من مشاركاتي في حال شعرت أنها تخرجنا عن المسار الذي حددته للموضوع او تشكل أي تشويش على المفاهيم التى تريد الوصول اليها.
و السلام عليكم، في انتظار البقية.
-
مشاركة: التماثل و التماثل الفائق
حياك الله اخى Tyns19
بالفعل ان التفاعل والمشاركات البناءة تلعب دور كبير فى اثراء الموضوع كما انها تشجع الكاتب وتعطيه فكرة عن الخلفية العلمية للقارئ مما يساعد فى اختيار الامثلة المناسبة لتوصيل الفكرة
اخىTyns19 اذهب الله عنك التشتت وجعل ذهنك صافياً متقداً ببصيرة فيزيايئة فذة
لقد لمستُ فى مشاركاتك نضج الفكرة و سلاسة السياق الرياضى و العمق فى طرح الاسئلة.
سبق وأن بينت لنا أخي الصادق كيف أن التماثل يؤدي الى الثبات لكن سؤالي هو :
-هل يؤدي الثبات الى التماثل؟؟؟؟
نعم ان الثبات مؤشر يدل على وجود تماثل و الامثلة التى صيغتها تدل على ذلك و التماثل نتيجة للانقال الزمانى(قوانين الفيزياء اليوم هي نفسها البارحة ) يدل على انحفاظ الطاقة و التماثل نتيجة للانتقال المكانى (أن قوانين الفيزياء على الأرض هي نفسها على القمر وهي نفسها في أي مكان من الكون) يدل على انحفاظ كمية الحركة الخطية. والحالة العامة تعرف بنظرية نوزر و سوف نناقشها انشاء الله فى هذا الموضوع
هل يمكن أن نقول أن قوانين الفيزياء تماثلية؟؟؟؟
نعم هى كذلك و لكم مع وجود حالة واحدة حسب وجهة نظرى المتواضعة جداً لا تحقق هذا التماثل و هى قانون الثيرمودينمك الثانى لاننا لو عكسنا اتجاه الزمن فان الرصد سوف يلاحظ نقصان الانتروبى (شظايا كوب الشاى المتبعثرة على الارض سوف تتجمع و تستقيم كوباً من الشاى الحار على المنضدة ) و سوف يصرخ حينها ان هناك امر مريب وسوف يكتشف ان اتجاه الزمن قد عُكس (عندما ترجع شريط الفديو)
ولذلك سوف اجيب على سؤالك بحزر و اقول ان جميع القوانين الديناميكية تحترم (اى تحقق) قوانين التماثل
بالنسبة للفضاء الذى لا نعرف فيه نقطة اصل هو الفضاء الطورى فى الميكانيكا الاحصائية و ايضاً فضاء الهيئة فى الصياغة الهملتونية للميكانيكا التحليلية واى نقطة فى هذه الفضاءت تمثل حالة فيزيائية محددة للمنظومة
و الله اعلم
-
مشاركة: التماثل و التماثل الفائق
السلام عليكم
اقتباس:
اخىtyns19 اذهب الله عنك التشتت وجعل ذهنك صافياً متقداً ببصيرة فيزيايئة فذة
امين ان شاء الله، عنا وعنكم وعن كل المؤمنين.
اقتباس:
لقد لمستُ فى مشاركاتك نضج الفكرة و سلاسة السياق الرياضى و العمق فى طرح الاسئلة.
ومنكم نستفيد أستاذي الكريم.
لقد غاب عن ذهني فضاء الهيئة وهذا لأني سرحت بأفكاري بعيدا، أما بالنسبة للجواب على السؤالين أعلاه فما زال عندي بعض الاستفسارات لكني لن أستبق الأحداث وسأناقش أفكاري في الوقت المناسب ان شاء الله وذلك بعد تقدم الموضوع بضع خطوات.
عندما وضعت التمرين السابق أدركت أن الموضوع سيرتبط بقوانين الانحفاظ ولو سطحيا، لكن من خلال اجابتك على سؤالي السابق أكاد أكون متأكد أن قوانين الانحفاظ هي محور الموضوع الرئيسي.(مجرد حدس).
الساعة الان هي الساعة الخامسة صباحا، والمشتقة الأولى لطاقتي الداخلية معدومة كما أن المشتقة الثانية تحمل اشارة موجبة ما يعني أنه وقت اعادة الشحن.................:rolleyes: :rolleyes: :rolleyes:
وفي الختام سلام، مع انتظار بقية الموضوع ...........
-
مشاركة: التماثل و التماثل الفائق
الصياغة الاجرانجية للميكانيكا الكلاسيكية
فضاء الهئية
افترض انه لدينا منظومة فيزيائية تتكون من N جسيم وهكذا لو اردنا ان نعرف مواقع هذه الجسيمات فى الفضاء x,y,x فاننا نحناج ان نعرف N متجهاً و مع مرور الزمن فان الجسيمات تغير مواقعها بالنسبة لنقطة ثابتة (نقطة الاصل) و بالتالى فان هذه المتجهات سوف تتغير مع الزمن. و لكن جميعاً ان التعامل مع المتجهات هو امر مرهق بعض الشئ خاصة فى حالتنا هذه اى حالة فضاء ثلالثى الابعاد به N متجه, لذا قام الفيزيائيون بايجاد فضاء قياسى يسمى فضاء الهئية و فى هذا الفضاء يحدد موقع اى جسيم بثلاثة احداثيات وبالتالى فان عدد الابعاد الكلى يساوى 3N و هذه الاحداثيات و التى يرمز لها ب http://latex.codecogs.com/gif.latex?...,%20...,q_{3N} نسمى بالاحداثيات المُعممة. ولكن ايضاً نعلم ان هذه الجسيمات تغير مواقعها مع مرور الزمن و لذلك طالما انه لدينا موقع الجسيم الان فاننا نحتاج فقط لسرعته حتى نحدد موقعه بعد مرور زمن t و هكذا نحتاج ان نُعرف لاى جسيم ثلاثة سرعات اى ان عدد السرعات الكلى للمنظومة هو 3N وهذه السرعات تسمى بالسرعات المُعممة ماهى الا تفاضل الاحداثيات المُعممة بالنسبة للزمن لذا نرمز لها ب http://latex.codecogs.com/gif.latex?....,\dot{q}_{3N} حيث النقطة اعلى الحرف تعنى التفاضل بالنسبة للزمن t. و هكذا فان المنظومة تحدد تماماً عن طريق الاحداثيات المُعممة والسرعات المُعممة فى فضاء الهئية
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...dot{q}_{3N};t)
فضاء الطور
نعلم ان السرعة ترتبط بكمية الحركة و لذا فاننا احياناً نُعرف كميات حركة مُعممة بدلاً عن سرعات مُعممة (لاحظ ان السرعات المُعممة تعتمد على الاحداثيات المُعممة فلو اعطيتنى الاحداثيات المُعممة للمنظومة فاننى سوف اقاضلها بالنسبة للزمن و اعطيك السرعات المُعممة) وكميات الحركة المُعممة هذه يرمز لها بالرمز http://latex.codecogs.com/gif.latex?...0...,%20p_{3N} ويمكن اعتبارها مستقلة عن الاحداثيات المُعممة و بالتالى فان المنظومة تحدد عن طريق 6N بعد فى فضاء يسمى بفضاء الطور
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...20p_{3N}%20;t)
واى نقطة فى هذا الفضاء http://latex.codecogs.com/gif.latex?...20(q_i,%20p_i) تمثل موقع و كمية تحرك الجسيم و بالتالى فان النقاطة فى الفضاء الطورى هى عبارة حالة الجسيم عند لحظة زمنية معينة.
يتبع.......
-
مشاركة: التماثل و التماثل الفائق
دالة لاجرانج:
دالة لاجرانج هى دالة تعتمد على الاحداثيات المُعممة والسرعات المُعممة وهى على انها الفرق بين طاقة الحركة و طاقة الجهد
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...20\qquad%20(6)
مبدأ الفعل الاقل
عندما تتطور المنظومة مع مرور الزمن فان حركتها تشكل مساراً فى فضاء الهيئة وذلك لان الجسيم يكون له موقع وسرعة محددة فى فضاء الهيئة ومع مرور الزمن يتغير موقعه و سرعته وبالتالى ينتقل من نفطة الى اخرى فى فضاء الهيئة. الان افترض ان المنظومة عند لحظة معينة t_i كانت عند النقطة http://latex.codecogs.com/gif.latex?...,%20\dot{q}_i) فى فضاء الهيئة ولاحقاً عند لحظة زمنية t_f وصلت المنظومة الى نقطة اخرى فى فضاء الهيئة و هى http://latex.codecogs.com/gif.latex?...,%20\dot{q}_f). الان هناك عدد لانهائى من المسارات التى تربط بين هاتين النقطتين و السؤال هو ماهو المسار الذى انتقلت خلاله المنظومة؟ للاجابة على هذا السؤال دعنا نُعرف عدداً S يسمى بالفعل و هذا الفعل يُعرف على انه التكامل الزمنى لدالة لاجرانج من لحظة بداية الحركة t_i الى لحظة نهاية الحركة t_f اى انه يُعرف بالتكامل التالى:
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...t)\qquad%20(7)
الان ينص مبدأ الفعل الاقل على ان المسار الحقيقى الذى تتحرك خلاله المنظومة هو المسار الذى يجعل للفعل S اقل قيمة ممكنة.
معادلات اويلر- لاجرانج:
نعلم انه عند النهاية الصغرى ان المشتقة الاولى تساوى صفراً و هكذا طالما ان لدالة الفعل نهاية صغرى عند المسار الحقيقى للمنظومة فى فضاء الهيئة فان التغير فيها يجب ان يساوى الصفر اى ان
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...\delta%20q_i=0
وهكذا طالما ان التغير فى الاحداتى المُعمم q هو تغير اعتباطى فان الحد بين القوسين فى المعادلة الاخيرة يجب ان يساوى صفراً, اى ان
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...20\qquad%20(8)
وهذه المعادلة تمثل معادلة حركة المنظومة و تسمى بمعادلات اويلر لاجرانج
مثال:
اوجد معادلة الحركة لجسيم كتلته m يتحرك فى حقل جهد http://latex.codecogs.com/gif.latex?\huge%20V(q)؟
الحل :
اولاً نوجد دالة لاجرانج
ثانياُ نطبق معادلة اويلر لاجرانج
دالة لاجرانج هى عبارة عن الفرق بين طاقة الحركة و طاقة الجهد
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...q)\qquad%20(9)
حيث عوضنا طاقة الحركة تساوى نصف الكتلة مضروبة فى مربع السرعة. الان نوجد تفاضل دالة لاجرانج بالنسبة للسرعة المُعممة
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...t{q}}=m\dot{q}
وهكذا نرى ان تفاضل دالة لاجرانج بالسبة للسرعة المعممة يعطى كمية الحركة المُعممة (الكتلة مضروبة فى السرعة)
دعنا نحسب تفاضل النتيجة الاخيرة بالنسبة للزمن
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...%20)=m\ddot{q}
حيث تفاضل السرعة بالنسبة للزمن هو عبارة عن التسارع و قد رمزنا له بq عليها نقطتان اى انه عبارة عن التفاضل الثانى للحداثى q
اخيراً نحسب تفاضل دالة لاجرانج بالنسبة للاحداثى q وطالما ان طاقة الحركة لاتعتمد على q فان التفاضل سوف يؤثر على دالة الجهد فقط اى ان
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...partial%20q}=F
حيث اننا عوضنا تفاضل دالة الجهد بالنسبة للاحداثى تمثل القوة المؤثرة على الجسيم نتيجة لوجوده فى ذلك الجهد
الان بالتعويض فى معادلة اويلر لاجرانج (8) نجد ان
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...%20F=m\ddot{q}
اى ان القوة تساوى الكتلة فى التسارع و هذه المعادلة هى عبارة عن قانون نيوتن الثانى للحركة
يتبع.......
-
مشاركة: التماثل و التماثل الفائق
الصياغة الهملتونية للميكانيكا الكلاسيكية
قلنا ان دالة لاجرانج هى دالة فى الاحداثيات المُعممة و السرعات المُعممة و الزمن. والان نريد ان نوجد تحويل لجندر لدالة لاجرانج لنحصل على دالة جديدة تعتمد على الاحداثيات المُعممة و كميات الحركة المُعممة و الزمن و هذه الدالة تسمى بدالة هملتون و تعطى ب
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...t)\qquad%20(9)
معادلة هملتون القانونية للحركة
دعنا نوجد التغير التام فى دالة هملتون. ومن اجل هذا الغرض سوف نستخدم قاعدة السلسلة فى علم الحسبان اى اننا سوف نكنب التفاضل التام على انه مجموع التفاضلات الجزيئة و هكذا طالما ان H تعتمد على q_i و p_i و t فان التغير التام يعطى ب
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...t\qquad%20(10)
اما من الجانب الاخر اذا اوجدنا التغير التام ل H من المعادلة (9) فاننا سوف نحصل على
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...t}dt\right%20)
ومن معادلة اويلر - لاجرانج يمكننا كتابة الحد الاول داخل القوس فى المعادلة الاخيرة على النحو التالى
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...}%20\right%20)
فتصبح المعادلة
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...t}dt\right%20)
ولكن فى المثال السابق قد راينا ان تفاضل دالة لاجرانج بالنسبة للسرعة المُعممة يمثل كمية الحركة المُعممة اى ان
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...t%20\qquad(11)
حيث رمزنا لتفاضل كمية الحركة المُعممة بالنسبة للزمن ب p منقوطة. الان دعنا نقار المعادلة (11) بالمعادلة (10) ونلاحظ انه طالما ان q و p و t مستقلة عن بعضها البعض فان فان المعاملات المضروبة فى dq_i وفى dp_i و فى dt يجب ان تتساوى اى ان
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...20t}\qquad(12)
وهذه هى معادلة هملتون القانونية للحركة وهى معادلة من الدرجة الاولى على خلافل معادلة اويلر لاجرانج و التى هى معادلة من الدرجة الثانية
مثال:
اوجد معادلة الحركة لجسيم يتحرك فى مجال دالة جهد تعتمد فقط على الاحداثى المُعمم q مستخدماً الصياغة الهملتونية.
الحل:
فى المثال السابق اوجدنا دالة لاجرانج و كانت تساوى
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...q)\qquad%20(9)
الان دالة هملتون تُعطى ب
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...{q}^2}{2}+V(q)
ولكن طالما ان دالة هملتون هى دالة فى كمية الحركة وليس فى السرعة فاننا سوف نكتب السرعة بدلالة كمية الحركة لنحصل على
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...)\qquad%20(13)
الان بتطبيق معادلة هملتون القانونية نحصل على
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...ow%20F=\dot{p}
اى ان القوة تساوى معدل تغير كمية الحركة بالنسبة للزمن و هذا هو قانون نيوتن الثانى للحركة
وهكذا نلاحظ من هذا المثال و المثال السابق ان الصياغة اللاجرانجية و الصياغة الهملتونية تؤول الى الصياغة النيوتونية و لكن نجد ان الصياغة اللاجرانجية والهملتونية اكثر كفاءة من الصياغة النيوتونية فى التعامل مع الانظمة المعقدة
يتبع......ز
-
مشاركة: التماثل و التماثل الفائق
شكرا أخي الصادق على المجهود، جعله الله في ميزان حسناتك
لقد زدتنا تشويقا لمتابعة باقي الموضوع
-
مشاركة: التماثل و التماثل الفائق
بارك الله أخي الكريم و زادك علما و حكمة
-
مشاركة: التماثل و التماثل الفائق
بارك الله فيك و في جهودك أخي الكريم الصادق
و يسر الله لك أمرك و وفقك فيما شغلت به
و نحن بانتظار إكتمال هذا الموضوع و الذي سبدو مشوقا و مفيدا
و كل عام و أنتم و جميع أعضاء المنتدى بألف خير بمناسبة حلول شهر رمضان المبارك
جعلنا الله واياكم و جميع أعضاء هذا المنتدى الكريم من صوامه وقوامه
وجعلنا ان شاء الله من العتقاء من النار
-
مشاركة: التماثل و التماثل الفائق
التماثل الزمنى (التماثل تحت تحويل الانتقال الزمنى) وانحفاظ الطاقة الكلية
افترض انه كان لدينا تماثل تحت تحويل الانتقال الزمنى (بمعنى ان المنظومة متماثلة عند جميع اللحظات الزمنية) وهكذا فان المنظومة لن تعتمد على الزمن بشكل صريح اى ان دالة الهملتونيان بدورها لن تعتمد على الزمن صراحةً
البرهان:
اذا كانت http://latex.codecogs.com/gif.latex?...H(t)=H(t+\tau)
حيث تاو انتقال زمنى اعتباطى (اختيارى)
بايجاد مفكوك تايلور حول اللحظة الزمنية t نحصل على
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...l%20t^2}+\dots
وكما قلنا سابقاً فان هذا يقود الى ان التفاضل الزمنى الجزئى لدالة هملتون يساوى صفراً
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...partial%20t}=0
الان دعنا نحسب التفاضل الزمنى الكلى (التام) لدالة هملتون مستخدمين قاعدة السلسلة
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...\qquad%20(14))
ولكن من معادلات هملتون القانونية نعلم ان تفاضل دالة هملتون بالنسبة لكمية الحركة يمثل السرعة بينما ان تفاضل دالة هملتون بالنسبة للاحداثى المكانى يمثل سالب القوة اى تفاضل التسارع بالنسبة للزمن (انظر المعادلات (12)
وبالتعويض فى المعادلة (14) مع ملاحظة ان التفاضل الجزئى لدالة هملتون يساوى صفر, سوف نحصل على
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...}_i\dot{p_i}=0
وهذا يعنى ان الطاقة الكلية (الهملتونيان) تظل ثابتة مع مرور الزمن
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\huge%20H=constant
اذن من هذا نخلص الى: اذا كانت المنظومة متماثلة تحت تحويل الانتقال الزمنى فان الطاقة تظل ثابتة (محفوظة). وهكذا نلاحظ ان قانون انحفاظ الطاقة ماهو الا انعكاس للتماثل الزمنى
التماثل المكانى (التماثل تحت الانتقال المكانى) و انحفاظ كمية الحركة الخطية
لو كانت المنظومة متماثلة تحت تحويل الانتقال المكانى فان هذا يعنى ان دالة هملتون لا تعتمد على الاحداثى المكانى اعتماداً صريحاً (برهن!!!) الان من معادلات هملتون القانونية نجد ان
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...ac{dp_i}{dt}=0
وهكذا فان كمية الحركة تظل ثابتة مع مرور الزمن
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...20p_i=constant
ولذلك نقول انه لو كانت المنظومة متماثلة مكانياً فان كمية الحركة الخطية تظل ثابتة (محفوظة) مما يعنى ان قانون انحفاظ كمية الحركة هو انعكاس للتماثل المكانى
يتبع......
-
مشاركة: التماثل و التماثل الفائق
اخى Tyns19 شكر الله لك وبارك فيك وضاعف لك الثواب والاجر
اخى المتأمل وبارك الله فيك وذادك حكمةً وعلماً اضعاف مضاعفة
اختى الكريمة تغريد بارك الله فيك و يسر امرك وتقبل الله منا ومنكم صالح الاعمال
ورمضان كريم و مبارك على الجميع
-
مشاركة: التماثل و التماثل الفائق
اقواس بوايسون
تعتبر اقواس بوايسون عبارة عن وصف جبرى للميكانيكا الكلاسيكية (هى نفسها تكاد تنطبق على اقواس التبادلية فى ميكانيكا الكم)
التعريف:
افترض ان http://latex.codecogs.com/gif.latex?...20,\;%20B(q,p) هما عبارة عن دوال فى فضاء الطور (فى ميكانيكا الكم نعتبرهما مؤاثرات فى فضاء هيلبيرت ونستبدل اقواس بوايسون باقواس التبادلية) الان نُعرف قوسا بوايسون http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large%20\{A,B\}_p بالعلاقة التالية
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...]\qquad%20(15)
خواص اقواس بوايسون:
1- خاصية ضد التماثلية
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...0\qquad%20(16)
2-الخاصية الخطية
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...0\qquad%20(17)
3-خاصية لايبنز
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...0\qquad%20(18)
4-متطابقة جاكوبى
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...0\qquad%20(19)
تمرين: مستخدماً التعريف (15) برهن خواص اقواس بوايسون (16) و (17) و (18) و (19)
الان تلاحظ ان خواص اقواس بوايسون هى نفسها خواص جبر المصفوفات بالنسبة لتبادلية المصفوفات http://latex.codecogs.com/gif.latex?...#91;A,B]=AB-BA وايضاً هى نفسها خواص التفاضل d (ولهذا السبب نجد ان فى ميكانيكا الكم هناك وصفين مستقلين وهما الوصف المصفوفى وهو وصف هايزنبيرج (ميكانيكا المصفوفات) و الوصف التفاضلى (الموجى) وهو وصف شرودنجر (ميكانيكا الموجات)
مثال: احسب قوسا بوايسون للموقع وكمية الحركة http://latex.codecogs.com/gif.latex?...0\{q_i,p_j\}_p
الحل: بتعويض http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large%20A=q_i و http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large%20B=p_j فى تعريف قوسا بوايسون فى المعادلة (15) نحصل على
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...}%20\right%20)
طالما ان الاحداثيات المكانية مستقلة خطياً عن كميات الحركة فان تفاضل q بالنسبة ل p يساوى صفر و ايضاً تفاضل p بالنسبة لq يساوى الصفر, وهكذا فان الحد الثانى فى الطرف الايمن من المعادلة الاخيرة يساوى صفراً
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...}%20\right%20)
الان تفاضل http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large%20q_i بالنسبة ل http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large%20q_k يساوى و احد فى حالة كانت i=k وعندها نكون قد فاضلنا دالة بالنسبة لنفسها اما اذا كانت i لا تساوى k فان التفاضل سوف يساوى صفراً لاننا حينها نكون فاضلنا بعد احداثى بالنسبة لاحداثى اخر مستقل عنه. وهكذا فان
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...matrix}\right.
هناك دالة تُعرف بدلتا كرونكر و يرمز لها بالرمز بالحرف دلتا http://latex.codecogs.com/gif.latex?\huge%20\delta_{ik} وهى تساوى وحد فى حال كانت i=k وتساوى صفراً عند i لا تساوى k اى ان
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...matrix}\right.
وهكذا فان التفاضل اعلاه يساوى دالة كرونكر
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...k}=\delta_{ik}
وبنفس المنطلق نجد ان تفاضل http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large%20p_j بالنسبة ل http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large%20p_k يساوى الواحد فى حال تساوى المعاملات ويساوى صفراً فى ما عدا ذلك و هكذا فاننا سوف نحصل على دالتا كرونكر مرة اخرى
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...k}=\delta_{ik}
الان بالتعويض فى قوسا بوايسون اعلاه نحصل على
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...}%20\right%20)
طالما اننا سوف نجمع جميع القيم الممكنة ل k فان دلتا كرونكر الثانية سوف تساوى 1 فقط عند قيمة k التى تساوى j وهكذا سوف نعوض k ب j فى جميع اجزاء العلاقة الاخيرة مما يجعل دلتا كرونكر الثانية مساوية لواحد و يصيح لدينا دالتا بين i و j اى ان
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...{ij}\qquad(20)
ونلاحظ ان هذه العلاقة تشبة اقواس التبادلية بين مؤثر الموقع و كمية الحركة فى ميكانيكا الكم
يتبع............
-
مشاركة: التماثل و التماثل الفائق
السلام عليكم
سأحاول برهنة الخواص 16،17،18،19 وذلك باستخدام التعريف 15:
ملاحظة: من أجل التبسيط سأبرهن الخواص السابقة من أجل درجة حرية وحيدة وهذا لا ينقص من البرهان أي شيء بل سيبقى البرهان شامل للحالة العامة التي تبرهن بنفس الطريقة لهذا فأنا أستعمل التعريف 15 في الصورة التالية:
استعملت درجة حرية وحيدة حتى لا نكتب في كل مرة عبارة المجموع و الأندكس k وما الى غير ذلك، وطريقة البرهان في الحالة العامة هي نفسها.
1- خاصية ضد التماثلية:
حسب التعريف يمكن أن نكتب:
وبهذا نكون قد برهنا الخاصية الأولى#.
2-الخاصية الخطية:
حيث:
بالتعويض واعادة الترتيب نجد:
اذن:
وهو برهان الخاصية الثانية#.
3-خاصية لايبنز :
نعلم أن:
اذن:
وبعد اعادة الترتيب نجد:
وهذا معناه أن:
وهكذا نكون قد برهنا الخاصية الثالثة#.
4-متطابقة جاكوبى:
بتطبيق التعريف 15 على أي ثلاثية كالتالي http://latex.codecogs.com/gif.latex?\{L,\{M,N\}_p\}_p نجد العلاقة التالية التي سأسميها مؤقتا العلاقة الثلاثية:
يمكن الان الحصول على أي ثلاثية من متطابقة جاكوبي، مثلا كي نحصل على الثلاثية http://latex.codecogs.com/gif.latex?\{B,\{C,A\}_p\}_p نضع في المعادلة السابقة L=B، M=C، N=A إذن يمكننا الان ايجاد الثلاثيات الثلاث الموجودة في متطابقة جاكوبي، وبعد التعويض سنجد أن متطابقة جاكوبي محققة.(لن أعوض أنا هنا لكبر العلاقة التي ستنتج، لكني أنصح الجميع بالتجربة على الورق).
وبهذا نكون قد برهنا على صحة متطابقة جاكوبي#.
ملاحظة: أرجو من الجميع التأكد من أن العلاقة الثلاثية صحيحة (أنا أخشى الأخطاء الكتابية لقد عملت كل جهدي لنقلها كما هي من الورق لكن مع كل هذه المشتقات من يدري) لأني قد أكون نسيت حرف أو حرفين أثناء الطباعة، المهم طريقة البرهان صحيحة وأنا قد قمت بها على الورق بدقة تامة والنتيجة مضمونة.
ملاحظة 2: في البرهان على الخاصية الخطية alpha و beta ثابتان لا يتعلقان بالمتغيرات الديناميكية وهو ما أنتظر تأكيده من أستاذي الصادق (وان كنت على أتم الثقة على أنه هذا هو الحال).
اذا كان لدى أحدكم برهان على الخاصة الأخيرة غير هذا سأكون سعيد جدا برؤيته.
والله أعلم.
و الشكر لك كل الشكر يا أستاذنا الصادق.
في انتظار باقي الموضوع ان شاء الله..........
-
مشاركة: التماثل و التماثل الفائق
سؤال بسيط:
برهن أن:
السؤال ليس موجه لك أخي الصادق، بل هو موجه لبقية الأعضاء.
-
مشاركة: التماثل و التماثل الفائق
هذا عظيم جداً
حلول صحيحة و منسقة ومتكاملة شكراً لك اخى Tyns19 على هذا المجهود والمتابعة
واضم صوتى لصوتك واتمنى ان يجد سؤالك فى المشاركة السابقة من يجيب عليه من اعضاء المنتدى الكرام
بالنسبة لالفا وبيتا فهما ثوابت حقيقية لا تعتمد على المتغيرات الديناميكية و حدثك سليم اخى وانا اؤكد عليه
شكر الله لك وجزاك خيراً
-
مشاركة: التماثل و التماثل الفائق
جهد تشكر عليه أخي Tyns19 وفقك الله
من الواضح أن كلاهما صفر لأننا في الحالة الأولى سنفاضل q بالنسبة ل p في كل حد من الحدود و هذا طبعا يعطي صفرا أيا كانت محاور الاحداثيات و العكس بالعكس
و اسمحوا لي بأن أتساءل
حول قول أخي الكريم الصادق
(طالما ان الاحداثيات المكانية مستقلة خطياً عن كميات الحركة )
أعتقد أن هذا دوما يعتبر هذا صحيحا في الميكانيكا الكلاسيكية
و أعتقد أن هذا غير صحيح في ميكانيكا الكم
و لكن هل يدل هذا على عدم استقلال الاحداثيات المكانية عن كميات الحركة
نعلم أن مبدأ عدم اليقين متعلق بمتجه الموضع و العزم و لكن
لكن الحديث هنا يتعلق بمحاور الإحداثيات لأن هذا يدل على الإحداثيات هي غير مستقلة
ما دلالات ذلك؟؟؟؟؟؟؟
يبدو ان الأمور اختلطت على
؟؟؟؟؟
-
مشاركة: التماثل و التماثل الفائق
اقتباس:
المشاركة الأصلية كتبت بواسطة تغريد
جهد تشكر عليه أخي Tyns19 وفقك الله
من الواضح أن كلاهما صفر لأننا في الحالة الأولى سنفاضل q بالنسبة ل p في كل حد من الحدود و هذا طبعا يعطي صفرا أيا كانت محاور الاحداثيات و العكس بالعكس
و اسمحوا لي بأن أتساءل
حول قول أخي الكريم الصادق
(طالما ان الاحداثيات المكانية مستقلة خطياً عن كميات الحركة )
أعتقد أن هذا دوما يعتبر هذا صحيحا في الميكانيكا الكلاسيكية
و أعتقد أن هذا غير صحيح في ميكانيكا الكم
و لكن هل يدل هذا على عدم استقلال الاحداثيات المكانية عن كميات الحركة
نعلم أن مبدأ عدم اليقين متعلق بمتجه الموضع و العزم و لكن
لكن الحديث هنا يتعلق بمحاور الإحداثيات لأن هذا يدل على الإحداثيات هي غير مستقلة
ما دلالات ذلك؟؟؟؟؟؟؟
يبدو ان الأمور اختلطت على
؟؟؟؟؟
نعم هذا دائماً صحيح فى فضاء الطور فى الميكانيكا الكلاسيكية و لكن فى ميكانيكا الكم لا تعتبر كمية الحركة كاحد الابعاد لاننا فى ميكانيكا الكم نتحدث عن فضاء اقليدى به ثلاثة ابعاد x و y و z اما مؤثر كمية الحركة ومؤثر الموقع (يتطابق مع الموقع فى حال التمثيل المكانى ) فهما عبارة عن مؤثرات تؤثر على متجهات الحالة فى فضاء هيلبيرت
اذن اما ان نعتبر الاحداثيات المكانية عبارة عن ابعاد وهكذا فان كمية الحركة (ليست بعداً) عبارة عن مؤثر يتناسب مع المؤثر التفاضلى المكانى او ان نعتبر كميات الحركة عبارة عن ابعاد و ان الموقع (ليس بعداً ) عبارة عن مؤثر يتناسب مع المؤثر تفاضلى بالنسبة لكمية الحركة
مبدأ هايزنبيرج فى ميكانيكا الكم ينجم عن التبادلية بين المؤثرات المترافقة ( المؤثرات ليست دوال وانما هى تؤثر على الدوال) ولكن تعريف التبادلية لا يستوجب ان تكون المؤثرات دوال فى الفضاء الطورى وتعريف التبادلية هو AB-BA
الفرق بين احداثيات الموقع كاسس للفضاء و كميات الحركة هو نفسه الفرق بين الفضاء المماسى tangent space (الاسس هى التفاضلات الاتجاهيةبالنسبة للاحداثيات ) والفضاء المماسى المشارك cotangent space (الاسس هى الاحداثيات نفسها )
والله اعلم
-
مشاركة: التماثل و التماثل الفائق
شكرا لك أخي الكريم لأن جئت لأعتذر عن السؤال فوجدت ردك البليغ جدا
فبارك الله فيك و زادك علما و حكمة
-
مشاركة: التماثل و التماثل الفائق
مثال:
اذا كانت f دالة فى الاحداثيات المُعممة و كميات الحركة المُعممة والزمن http://latex.codecogs.com/gif.latex?\huge%20f(q,p,t)
برهن ان
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...}\qquad%20(21)
الحل:
دعنا نحسب تفاضل الدالة f بالنسبة للزمن, ومن اجل هذا الغرض سوف نستخدم قاعدة السلسة (انظر الشرح فى المشاركات السابقة)
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...{\partial%20t}
حيث كتبنا رمز التجميع للدلالة على اننا نجمع جميع القيم الممكنة ل i ولكن يجب على القارئ ان يدرك باننا عندما نكتب حرف مكرر فاننا نعنى التجميع ضمنياً و هذا النوع من الترميز يعرف بقاعدة جمع انشتاين و قد استخدمناه لنوفر على انفسنا مشقة كتابة رمز التجميع مراراً وتكراراً.
الان من معادلات هملتون القانونية نعلم ان
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...partial%20q_i}
بالتعويض فى العلاقة السابقة نحصل على
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...{\partial%20t}
ولكن من المعادلة (15) نجد ان الحد الذى عليه التجميع ما هو الا تعريف قوسا بوايسون و هكذا نصل الى العلاقة المطلوب برهانها
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...}\qquad%20(21)
الان اذا كانت http://latex.codecogs.com/gif.latex?\huge%20f(q,p) اى ليست دالة صريحة فى الزمن
فاننا نجد ان
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...0\qquad%20(22)
بمعنى انه اذا كانت f تتبادل مع الهملتونيان فان f هى ثابت من ثوابت الحركة اى انها كمية محفوظة
تمرين:
اذا كانت http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large%20f_1 و http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large%20f_1 ثوابت حركية برهن ان قوس بوايسون لهما http://latex.codecogs.com/gif.latex?...0\{f_1,f_2\}_p ايضاً ثابتاً حركياً
تلميح: استخدم خواص اقواس بوايسون
يتبع........
-
مشاركة: التماثل و التماثل الفائق
السلام عليكم:
حتى نبرهن أن http://latex.codecogs.com/gif.latex?...0\{f_1,f_2\}_p ثابت للحركة يكفي أن نبرهن أن http://www.codecogs.com/eq.latex?\15...2\}_p, H\}_p=0 وبما أنه حسب خاصية ضد التماثلية:
يكفينا إذن أن برهن أن:
نبدأ الان من متطابقة جاكوبي:
لكن f1 و f2 هما ثوابت للحركة ما يعني أن:
تصبح متطابقة جاكوبي السابقة كالتالي:
لكن بحسب التعريف:
وبالتعويض في المتطابقة السابقة نجد:
وهو ما يعني أن http://www.codecogs.com/eq.latex?\15...0\{f_1,f_2\}_p هي أيضا ثابت حركي. وهو المطلوب#.
أتمنى أن أكون قد وفقت.
في انتظار باقي الموضوع.
-
مشاركة: التماثل و التماثل الفائق
حفظك الله اخى Tyns19 وذادك علماً و حكمة انه حل صحيح وموفق تماماً
-
مشاركة: التماثل و التماثل الفائق
-
مشاركة: التماثل و التماثل الفائق
رائع اختى الكريمة تغريد حل صحيح تماماً
ذادك الله علماً وحكمة
-
مشاركة: التماثل و التماثل الفائق
لا بأس سبقتني عكاشة
بل و حلك أكثر دقة و تفصيلا
أخي Tyns19
شكرا لك
-
مشاركة: التماثل و التماثل الفائق
ما شاء الله عدد كبير من الردود في وقت قياسي، نشاط ملحوظ
كما أن انضمام الأخت تغريد زاد الموضوع رونقا و جمالا
شكرا لك أخت تغريد على الحلول، وان شاء الله سنتابع هذا الموضوع خطوة بخطوة تحت راية أستاذنا الصادق.
-
مشاركة: التماثل و التماثل الفائق
التحويلات القانونية
التعريف
قلنا ان الاحداثيات فى الفضاء الطورى هى الاحداثيات المُعممة http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large%20q_i وكميات الحركة المُعممة http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large%20p_i الان نريد ان نوجد تحويلاً من هذه الاحداثيات الى احداثيات جديدة http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large%20Q_i و http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large%20P_i اى نريد تحويل من النظام القديم الى النظام الجديد http://latex.codecogs.com/gif.latex?...ow%20(Q_i,P_i) بحيث ان الاحداثيات الجديد تعتمد على الاحداثيات القديمة
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...20P_i=P_i(q,p)
الان طالما ان الهملتونيان فى نظام الاحداثيات القديم يعتمد على الاحداثيات القديمة والزمن http://latex.codecogs.com/gif.latex?...20H(q_i,p_i,t) , فان الهملتونيان فى نظام الاحداثيات الجديد يعتمد على الاحداثيات الجديدة و الزمن http://latex.codecogs.com/gif.latex?...20K(Q_i,P_i,t) وهكذا فان معادلات هملتون القانونية فى نظام الاحداثيات القديم
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...partial%20q_i}
تقابلها معادلة هملتون القانونية التالية فى نظام الاحداثيات الجديد
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...partial%20Q_i}
هذا النوع من التحويلات يسمى بالتحويلات القانونية, والفرق بينه وبين التحويلات الاحداثية العامة هو ان التحويلات القانونية تحافظ على شكل معادلة الحركة القانونية
يتبع......
-
مشاركة: التماثل و التماثل الفائق
اقتباس:
المشاركة الأصلية كتبت بواسطة tyns19
ما شاء الله عدد كبير من الردود في وقت قياسي، نشاط ملحوظ
كما أن انضمام الأخت تغريد زاد الموضوع رونقا و جمالا
شكرا لك أخت تغريد على الحلول، وان شاء الله سنتابع هذا الموضوع خطوة بخطوة تحت راية أستاذنا الصادق.
بإذن الله أخي الكريم
كل الشكر لك
أخي الكريم الصادق
آسفة ربما لأن هذه المشاركة لن تساعد في المحافظة على ترتيب الموضوع
و لكن لي بعض الأسئلة قبل الانتقال للتحويلات القانونية
فنحن قد تحدثنا مسبقا عن تجانس الزمان و المكان
و كما هو واضح فإن هذا التجانس كما فهمت يكون بالنسبة للطاقة
و كاننا نتحدث عن مبدأ حفظ الطاقة
و هو مبدأ أستطيع تخيله طالما أن الطاقة تنقسم إلى طاقة الوضع وطاقة الحركة و أن النقص في الأولى تعوضه الزيادة في الثانية
و لكن من أين أتى قانون حفظ كمية الحركة
و آسفة مقدما إذا كان السؤال خارج نطاق الموضوع أو تافها
-
مشاركة: التماثل و التماثل الفائق
اختى الكريمة تغريد
و لكن من أين أتى قانون حفظ كمية الحركة؟
لو كان الجسم حرأً اى لاتوجد قوى مؤثرة عليه فان كمية الحركة تكون ثابتة http://latex.codecogs.com/gif.latex?...0\vec{p}=const وبالتالى فهى كمية محفوظة
والله اعلم
-
مشاركة: التماثل و التماثل الفائق
كل الشكر لكم
شرح رائع جدأ، ومداخلات تُثري الموضوع
حبذا لو تذكرون لنا اسم كتاب بنفس سهولة وسلاسة شرحكم، لكن باللغة الانجليزية
موفقين إن شاء الله
-
مشاركة: التماثل و التماثل الفائق
شكرا لك أخي الكريم الصادق بارك الله فيك