مشاركة: التماثل و التماثل الفائق
دالة لاجرانج:
دالة لاجرانج هى دالة تعتمد على الاحداثيات المُعممة والسرعات المُعممة وهى على انها الفرق بين طاقة الحركة و طاقة الجهد
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...20\qquad%20(6)
مبدأ الفعل الاقل
عندما تتطور المنظومة مع مرور الزمن فان حركتها تشكل مساراً فى فضاء الهيئة وذلك لان الجسيم يكون له موقع وسرعة محددة فى فضاء الهيئة ومع مرور الزمن يتغير موقعه و سرعته وبالتالى ينتقل من نفطة الى اخرى فى فضاء الهيئة. الان افترض ان المنظومة عند لحظة معينة t_i كانت عند النقطة http://latex.codecogs.com/gif.latex?...,%20\dot{q}_i) فى فضاء الهيئة ولاحقاً عند لحظة زمنية t_f وصلت المنظومة الى نقطة اخرى فى فضاء الهيئة و هى http://latex.codecogs.com/gif.latex?...,%20\dot{q}_f). الان هناك عدد لانهائى من المسارات التى تربط بين هاتين النقطتين و السؤال هو ماهو المسار الذى انتقلت خلاله المنظومة؟ للاجابة على هذا السؤال دعنا نُعرف عدداً S يسمى بالفعل و هذا الفعل يُعرف على انه التكامل الزمنى لدالة لاجرانج من لحظة بداية الحركة t_i الى لحظة نهاية الحركة t_f اى انه يُعرف بالتكامل التالى:
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...t)\qquad%20(7)
الان ينص مبدأ الفعل الاقل على ان المسار الحقيقى الذى تتحرك خلاله المنظومة هو المسار الذى يجعل للفعل S اقل قيمة ممكنة.
معادلات اويلر- لاجرانج:
نعلم انه عند النهاية الصغرى ان المشتقة الاولى تساوى صفراً و هكذا طالما ان لدالة الفعل نهاية صغرى عند المسار الحقيقى للمنظومة فى فضاء الهيئة فان التغير فيها يجب ان يساوى الصفر اى ان
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...\delta%20q_i=0
وهكذا طالما ان التغير فى الاحداتى المُعمم q هو تغير اعتباطى فان الحد بين القوسين فى المعادلة الاخيرة يجب ان يساوى صفراً, اى ان
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...20\qquad%20(8)
وهذه المعادلة تمثل معادلة حركة المنظومة و تسمى بمعادلات اويلر لاجرانج
مثال:
اوجد معادلة الحركة لجسيم كتلته m يتحرك فى حقل جهد http://latex.codecogs.com/gif.latex?\huge%20V(q)؟
الحل :
اولاً نوجد دالة لاجرانج
ثانياُ نطبق معادلة اويلر لاجرانج
دالة لاجرانج هى عبارة عن الفرق بين طاقة الحركة و طاقة الجهد
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...q)\qquad%20(9)
حيث عوضنا طاقة الحركة تساوى نصف الكتلة مضروبة فى مربع السرعة. الان نوجد تفاضل دالة لاجرانج بالنسبة للسرعة المُعممة
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...t{q}}=m\dot{q}
وهكذا نرى ان تفاضل دالة لاجرانج بالسبة للسرعة المعممة يعطى كمية الحركة المُعممة (الكتلة مضروبة فى السرعة)
دعنا نحسب تفاضل النتيجة الاخيرة بالنسبة للزمن
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...%20)=m\ddot{q}
حيث تفاضل السرعة بالنسبة للزمن هو عبارة عن التسارع و قد رمزنا له بq عليها نقطتان اى انه عبارة عن التفاضل الثانى للحداثى q
اخيراً نحسب تفاضل دالة لاجرانج بالنسبة للاحداثى q وطالما ان طاقة الحركة لاتعتمد على q فان التفاضل سوف يؤثر على دالة الجهد فقط اى ان
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...partial%20q}=F
حيث اننا عوضنا تفاضل دالة الجهد بالنسبة للاحداثى تمثل القوة المؤثرة على الجسيم نتيجة لوجوده فى ذلك الجهد
الان بالتعويض فى معادلة اويلر لاجرانج (8) نجد ان
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...%20F=m\ddot{q}
اى ان القوة تساوى الكتلة فى التسارع و هذه المعادلة هى عبارة عن قانون نيوتن الثانى للحركة
يتبع.......
مشاركة: التماثل و التماثل الفائق
الصياغة الهملتونية للميكانيكا الكلاسيكية
قلنا ان دالة لاجرانج هى دالة فى الاحداثيات المُعممة و السرعات المُعممة و الزمن. والان نريد ان نوجد تحويل لجندر لدالة لاجرانج لنحصل على دالة جديدة تعتمد على الاحداثيات المُعممة و كميات الحركة المُعممة و الزمن و هذه الدالة تسمى بدالة هملتون و تعطى ب
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...t)\qquad%20(9)
معادلة هملتون القانونية للحركة
دعنا نوجد التغير التام فى دالة هملتون. ومن اجل هذا الغرض سوف نستخدم قاعدة السلسلة فى علم الحسبان اى اننا سوف نكنب التفاضل التام على انه مجموع التفاضلات الجزيئة و هكذا طالما ان H تعتمد على q_i و p_i و t فان التغير التام يعطى ب
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...t\qquad%20(10)
اما من الجانب الاخر اذا اوجدنا التغير التام ل H من المعادلة (9) فاننا سوف نحصل على
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...t}dt\right%20)
ومن معادلة اويلر - لاجرانج يمكننا كتابة الحد الاول داخل القوس فى المعادلة الاخيرة على النحو التالى
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...}%20\right%20)
فتصبح المعادلة
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...t}dt\right%20)
ولكن فى المثال السابق قد راينا ان تفاضل دالة لاجرانج بالنسبة للسرعة المُعممة يمثل كمية الحركة المُعممة اى ان
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...t%20\qquad(11)
حيث رمزنا لتفاضل كمية الحركة المُعممة بالنسبة للزمن ب p منقوطة. الان دعنا نقار المعادلة (11) بالمعادلة (10) ونلاحظ انه طالما ان q و p و t مستقلة عن بعضها البعض فان فان المعاملات المضروبة فى dq_i وفى dp_i و فى dt يجب ان تتساوى اى ان
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...20t}\qquad(12)
وهذه هى معادلة هملتون القانونية للحركة وهى معادلة من الدرجة الاولى على خلافل معادلة اويلر لاجرانج و التى هى معادلة من الدرجة الثانية
مثال:
اوجد معادلة الحركة لجسيم يتحرك فى مجال دالة جهد تعتمد فقط على الاحداثى المُعمم q مستخدماً الصياغة الهملتونية.
الحل:
فى المثال السابق اوجدنا دالة لاجرانج و كانت تساوى
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...q)\qquad%20(9)
الان دالة هملتون تُعطى ب
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...{q}^2}{2}+V(q)
ولكن طالما ان دالة هملتون هى دالة فى كمية الحركة وليس فى السرعة فاننا سوف نكتب السرعة بدلالة كمية الحركة لنحصل على
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...)\qquad%20(13)
الان بتطبيق معادلة هملتون القانونية نحصل على
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...ow%20F=\dot{p}
اى ان القوة تساوى معدل تغير كمية الحركة بالنسبة للزمن و هذا هو قانون نيوتن الثانى للحركة
وهكذا نلاحظ من هذا المثال و المثال السابق ان الصياغة اللاجرانجية و الصياغة الهملتونية تؤول الى الصياغة النيوتونية و لكن نجد ان الصياغة اللاجرانجية والهملتونية اكثر كفاءة من الصياغة النيوتونية فى التعامل مع الانظمة المعقدة
يتبع......ز
مشاركة: التماثل و التماثل الفائق
شكرا أخي الصادق على المجهود، جعله الله في ميزان حسناتك
لقد زدتنا تشويقا لمتابعة باقي الموضوع
مشاركة: التماثل و التماثل الفائق
بارك الله أخي الكريم و زادك علما و حكمة
مشاركة: التماثل و التماثل الفائق
بارك الله فيك و في جهودك أخي الكريم الصادق
و يسر الله لك أمرك و وفقك فيما شغلت به
و نحن بانتظار إكتمال هذا الموضوع و الذي سبدو مشوقا و مفيدا
و كل عام و أنتم و جميع أعضاء المنتدى بألف خير بمناسبة حلول شهر رمضان المبارك
جعلنا الله واياكم و جميع أعضاء هذا المنتدى الكريم من صوامه وقوامه
وجعلنا ان شاء الله من العتقاء من النار
مشاركة: التماثل و التماثل الفائق
التماثل الزمنى (التماثل تحت تحويل الانتقال الزمنى) وانحفاظ الطاقة الكلية
افترض انه كان لدينا تماثل تحت تحويل الانتقال الزمنى (بمعنى ان المنظومة متماثلة عند جميع اللحظات الزمنية) وهكذا فان المنظومة لن تعتمد على الزمن بشكل صريح اى ان دالة الهملتونيان بدورها لن تعتمد على الزمن صراحةً
البرهان:
اذا كانت http://latex.codecogs.com/gif.latex?...H(t)=H(t+\tau)
حيث تاو انتقال زمنى اعتباطى (اختيارى)
بايجاد مفكوك تايلور حول اللحظة الزمنية t نحصل على
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...l%20t^2}+\dots
وكما قلنا سابقاً فان هذا يقود الى ان التفاضل الزمنى الجزئى لدالة هملتون يساوى صفراً
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...partial%20t}=0
الان دعنا نحسب التفاضل الزمنى الكلى (التام) لدالة هملتون مستخدمين قاعدة السلسلة
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...\qquad%20(14))
ولكن من معادلات هملتون القانونية نعلم ان تفاضل دالة هملتون بالنسبة لكمية الحركة يمثل السرعة بينما ان تفاضل دالة هملتون بالنسبة للاحداثى المكانى يمثل سالب القوة اى تفاضل التسارع بالنسبة للزمن (انظر المعادلات (12)
وبالتعويض فى المعادلة (14) مع ملاحظة ان التفاضل الجزئى لدالة هملتون يساوى صفر, سوف نحصل على
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...}_i\dot{p_i}=0
وهذا يعنى ان الطاقة الكلية (الهملتونيان) تظل ثابتة مع مرور الزمن
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\huge%20H=constant
اذن من هذا نخلص الى: اذا كانت المنظومة متماثلة تحت تحويل الانتقال الزمنى فان الطاقة تظل ثابتة (محفوظة). وهكذا نلاحظ ان قانون انحفاظ الطاقة ماهو الا انعكاس للتماثل الزمنى
التماثل المكانى (التماثل تحت الانتقال المكانى) و انحفاظ كمية الحركة الخطية
لو كانت المنظومة متماثلة تحت تحويل الانتقال المكانى فان هذا يعنى ان دالة هملتون لا تعتمد على الاحداثى المكانى اعتماداً صريحاً (برهن!!!) الان من معادلات هملتون القانونية نجد ان
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...ac{dp_i}{dt}=0
وهكذا فان كمية الحركة تظل ثابتة مع مرور الزمن
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...20p_i=constant
ولذلك نقول انه لو كانت المنظومة متماثلة مكانياً فان كمية الحركة الخطية تظل ثابتة (محفوظة) مما يعنى ان قانون انحفاظ كمية الحركة هو انعكاس للتماثل المكانى
يتبع......
مشاركة: التماثل و التماثل الفائق
اخى Tyns19 شكر الله لك وبارك فيك وضاعف لك الثواب والاجر
اخى المتأمل وبارك الله فيك وذادك حكمةً وعلماً اضعاف مضاعفة
اختى الكريمة تغريد بارك الله فيك و يسر امرك وتقبل الله منا ومنكم صالح الاعمال
ورمضان كريم و مبارك على الجميع