مشاركة: اريد اثبات associated Legendre polynomial
الان دعنا نستدعى المعادلة (22) مرة اخرى
http://www.codecogs.com/eq.latex?\la...!}\quad%20(22)
ولنفترض فى هذه المرة ان m سالبة ولنبدل اى m بناقص m فى المعادلة لنحصل على
http://www.codecogs.com/eq.latex?\la...!}\quad%20(24)
لاحظى ان اقل قيمة ل s فى المعادلة (24) هى صفر اما اكبر قيمة لs فهى m-n ولكى نقارن هذه المعادلة (24) مع المعادلة (22) فيجب ان نغير رمز التجميع بحيث يكوت للتجميع نفس المدى. ومن اجل هذا الغرض دعينا نستبدل اى s فى المعادلة (24) ب s’=s+m. وهكذا عند s=0 فان s’=m وعند s=n-m فان s’=n
http://www.codecogs.com/eq.latex?\la...-s’)!}\quad%20
والان طالما ان ’s هى رمز تجميع فقط لذا سوف نستبدلها بs فى المعادلة الاخيرة لنحصل على
http://www.codecogs.com/eq.latex?\la...!}\quad%20(25)
وهكذا نكون قد حصلنا على المشتقة رقم n-m
يتبع......
مشاركة: اريد اثبات associated Legendre polynomial
الان اصبح لدينا المشتقة رقم n+m والمشتقة رقم n-m
http://www.codecogs.com/eq.latex?\la...!}\quad%20(23)
http://www.codecogs.com/eq.latex?\la...!}\quad%20(25)
الان طالما ان التجميع على s فانه يمكننا استخراج اى حد لا يعتمد على s خارج رمز التجميع وسوف نحصل من المعادلة (23) على
http://www.codecogs.com/eq.latex?\la...!}\quad%20(26)
اما اذا استخرجنا الحدود التى لا تعتمد على s فى المعادلة (25) فسوف نحصل على
http://www.codecogs.com/eq.latex?\la...!}\quad%20(27)
بقسمة المعادلة (27) على المعادلة (26) سوف يختفى التجميع فى البسط والمقام لنحصل على
http://www.codecogs.com/eq.latex?\hu...+m)!}(x^2-1)^m
وهكذا نكون قد حصلنا على العلاقة بين المشتقة رقم n-m والمشتقة رقم n+m
http://www.codecogs.com/eq.latex?\la...0\qquad%20(28)
يتبع....
مشاركة: اريد اثبات associated Legendre polynomial
الان بالرجوع الى المعادلة (18) التى تعرف كثيرات حدود لجندر المرتبطة
http://www.codecogs.com/eq.latex?\hu...n\qquad%20(18)
يمكننا استبدال m بناقص m لنحصل على معادلة تعطى تعرف كثيرات حدود لجندر المرتبطة والتى تقابل قيمة سالبة ل m
http://www.codecogs.com/eq.latex?\hu...n\qquad%20(29)
المشتقة رقم m-n فى المعادلة (29) يمكن كتابتها بدلالة المشتقة رقم m+n وذلك باستخدام المعادلة (27) لنحصل على
http://www.codecogs.com/eq.latex?\hu...n\qquad%20(30)
الان بقسمة المعادلة (30) على المعادلة (18) تجد ان
http://www.codecogs.com/eq.latex?\la...+m)!(1-x^2)^m}
الان نلاحظ ان تستطيع ان نكتب
http://www.codecogs.com/eq.latex?\hu...-1)^m(1-x^2)^m
قومى بتعويض هذه العلاقة فى البسط فى الطرف الايمن فى المعادلة الاخيرة لتحصلى على
http://www.codecogs.com/eq.latex?\hu...0\qquad%20(31)
,وبضرب طرفى المعادلة (31) فى http://www.codecogs.com/eq.latex?P^m_n(x)
سوف نحصل على
http://www.codecogs.com/eq.latex?\hu...}\qquad%20(32)
وهذا هو المطلوب برهانه. ولقد تعاملت منذ البداية مع n بدلا عن l لصعوبة كتابة هذا الرمز فى كود المعادلات الذى استخدمه ولكن الان يمكن ان نستبدل n ب l لنحصل على نفس شكل العلاقة التى طلبتى برهانها .
http://www.codecogs.com/eq.latex?\hu...}\qquad%20(33)
انتهى الحل.
مشاركة: اريد اثبات associated Legendre polynomial
وفقك الله الى كل خير والله ييسر امرك
اشكرك على مجهودك وتعاونك معنا ياأخي صادق
نفع الله بصدقك واخلاصك الامة الاسلامية وجعلنا واياكم عزا لها ورفعة...
مشاركة: اريد اثبات associated Legendre polynomial
مشكورين على الطرح والحل
ولن سؤالى عن الاستخدام
فى ماذا
واعذرونى
مشاركة: اريد اثبات associated Legendre polynomial
تستخدم كثيرات حدود لجندر فى حل معادلة لجندر التفاضلية ( والتى تستخدم فى مسألة ذرة الهيدروجين فى ميكانيكا الكم وتعطى العلاقة بين عدد الكم الرئيسى وعدد الكم المدارى وتتنبأ بتقطع مستويات الطاقة فى المدارات المختلفة) وهى تنتمى لفرع من الرياضيات التطبيقية يُعرف بالدوال الخاصة وهو يشمل طيف واسع من المعادلات التفاضلية والمعادلات التكاملية (تطبق فى ظواهر الانتشار فى الفيزياء الكهرومغنطيسية والالكترودينمكا وفى فيزياء المجال الكمى وفى حساب الدوال الذاتية والقيم الذاتية فى ميكانيكا الكم ) ودوال غرين والتحليل المركب ودوال بيسل (تطبق فى دراسة ال spherical harmonics فى ميكانيكا الكم ومعادلة شرودنجر ومعادلة هلمهولتز وفى الانتشار الحرارى...) ودوال هيرمت (تطبق فى دراسة المهتزات التوافقية فى ميكانيكا الكم) ودوال لاغوير (وتستخدم فى دراسة ذرة الهيدروجين فى ميكانيكا الكم) ودوال جاما ودوال بيتا ودوال الخطأ وهى دوال لا غنى للفيزيائى من دراستها لانها تساعد فى حساب التكاملات المعقدة كما ان لها تطبيقات فى الاحصاء والتوزيعات الطبيعية التى تدخل فى صميم الميكانيكا الاحصائية
والله اعلم
مشاركة: اريد اثبات associated Legendre polynomial
حقيقه انى اعلم تطبيق واحد لها وهو فى ذرة الهدروجين
ولقد بحث عنه ولم اجده
واعلم استاذى ان بلادى تزعم انى خريج جامعه الان عرفت وتيقنت انى خريج عزبه
وهذا لانه هناك اهم من العلم فى بلادى
فعفوا على التطفل
لو امكن بعض الشرح للمساعده كما ترى استاذى اكون شاكر