اختي الكريمة تغريد
بارك الله فيك و جزاك كل خير
واني ايضاً مثلك اتوق لرؤية محاولات الاخوة فى حل هذا السؤال
ارجو ذلك
عرض للطباعة
4- الفضاء الاتجاهي الخطي Linear Vector
Space
الفضاء الاتجاهي الخطي V يتكون من
a- فئة متجهات http://latex.codecogs.com/gif.latex?...v_2,...\in%20V
b- و حقل http://latex.codecogs.com/gif.latex?...f_2,...\in%20F
مع عمليتان ثنائيتان هما
c- عملية الجمع (+)
d- عملية الضرب القياسي
ويحقق الشروط A و B التالية:
الفرضيات A
A- http://latex.codecogs.com/gif.latex?(V,+) عبارة عن زمرة ابدالية تحت عملية الجمع
A1- الاغلاق
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...+v_i%20\in%20V
A2-خاصية الدمج
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...=(v_i+v_j)+v_k
A3- وجود محايد جمعي http://latex.codecogs.com/gif.latex?v_0
http://latex.codecogs.com/gif.latex?v_0+v_i=v_i+v_0=v_i
A4- وجود معكوس
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...(-v_i)+v_i=v_0
A5- الخاصية التبادلية:
http://latex.codecogs.com/gif.latex?v_i+v_j=v_j+v_i
الفرضيات B
B1-الاغلاق
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...0f_iv_j\in%20F
B2-خاصية الدمج
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...k)=(f_if_j)v_k
B3-وجود محايد ضربي 1
http://latex.codecogs.com/gif.latex?1v_i=v_i1=v_i
B4-الخاصية الثنائية-الخطية Bilinearity
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...=f_iv_k+f_jv_k
مثال (8)
ابسط مثال للمتجه هو "شئ يشير فى اتجاه محدد" مثل
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...20\mathbf{e}_3
مثال (9)
فئة كل الدوال http://latex.codecogs.com/gif.latex?f(\phi) المُعرفة على الدائرة http://latex.codecogs.com/gif.latex?...phi%3C%202\pi)
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...m%20e^{im\phi}
حيث m عدداً صحيحاً.
تشكل فضاءاً اتجاهياً
تمرين: برهن ذلك
مثال(10):
فئة كل المصفوفات من النظام mXn تشكل فضاءاً اتجاهياً تحت عملية جمع المصفوفات
سؤال: هل الحقول الحقيقية و المركبة و الكواتيريونية تشكل فضاءات اتجاهية ام لا؟
5-الجبر Algebra
الجبر الخطي يتكون من
a- فئة متجهات http://latex.codecogs.com/gif.latex?...v_2,...\in%20V
b- و حقل http://latex.codecogs.com/gif.latex?...f_2,...\in%20F
مع ثلاثة عمليات هي:
c- عملية الجمع (+)
d- عملية الضرب القياسي
e- الضرب المتجهي http://latex.codecogs.com/gif.latex?\boxed
وتحقق الشروط A و B و C التالية:
الشروط A:
تحقق الشروط A1 و A2 و A3 و A4 و A5 الخاصة بالفضاء الاتجاهي (راجع المشاركة السابقة)
الشروط B:
تحقق الشروط B1 و B2 و B3 و B4 الخاصة بالفضاء الاتجاهي (راجع المشاركة السابقة)
الشروط C:
C1- الاغلاق تحت عملية الضرب المتجهي:
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...0v_2%20\in%20V
C2- الخاصية الثنائية-الخطية Bilinearity
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...1\square%20v_3
من هنا نرى ان الجبر الخطي هو اضافة عملية ضرب متجهي على الفضاء الاتجاهي الخطي و عملية الضرب المتجهي ليس ضرورياً ان تحقق خواص الدمج و العنصر المحايد و المعكوس. و هناك انواع مختلفة من الجبرات (جمع جبر) التى يمكن الحصول عليها باضافة شروط اضافية
اذا حقق الجبر الخطي خاصية اضافية مثل خاصية الدمج
C3- خاصية الدمج
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...\square%20v_3)
فاننا نسمي الجبر حينها بالجبر الخطي الدمجي Associative linear algebra
اذا كان للجبر الخطي محايد تحت عملية الضرب المتجهي
C4- وجود محايد و هذا المحايد بشكل عام لا يساوي محايد عملية الجمع + او محايد عملية الضرب القياسى
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...\mathbf{1}=v_1
فنسمي الجبر بالجبر الخطي الذى له محايد Linear algebra with identity
يمكن ان تكون عملية الضرب المتجهي من ناحية ترتيب العناصر المضروبة عملية ابدالية او ضد ابدالية
C4- خاصية التماثل وضد التماثل Symmetric/Antisymmetric تحت التبديل
التماثل: http://latex.codecogs.com/gif.latex?...2\square%20v_1
ضد التماثل: http://latex.codecogs.com/gif.latex?...2\square%20v_1
و اخيراً يمكن ان يحقق الجبر الخطي خاصية الاشتقاق
C5- خاصية الاشتقاق Derivative property
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...\square%20v_3)
كم أنهذا رائع اخي الكريم الصادق
هل تعلم أخي أن هذا الطرح ربما أراه لأول مرة
كم كنت أود أن أتساءل لماذا يتم التعامل مع الضرب القياسي على نطاق واسع في كل المجالات
و يتم تجاهل
الضرب الاتجاهي
أكمل أخي الكريم و أعتقد أنه من الأفضل وضع محاولات الحلول للأسئلة
في موضوع مستقل ليحافظالموضوع على تكامله و اتصاله
حياك الله اختي الكريمة
لعل السبب هو ان الضرب القياسي (اى ضرب المتجه فى عنصر الحقل f) هو مضاعفة للمتجه اى ان ناتج الضرب القياسي يظل متجهاً مما لا يؤثر على خاصية الاغلاق
اما الضرب المتجهي (هو ضرب متجهين) قد يكون ناتجه ليس متجهاً بنفس الخواص مما يجعل الجبر غير منغلقاً لذلك يجب التعامل معه بحذر
والله اعلم
و انا ايضاً اتمنى ان تكون هناك محاولات لحل الاسئلة والتمارين و يتم فرد موضوع خاص بها
بارك الله فيك اختي الكريمة وجزاك كل خير
امثلة على الجبرات
مثال(11)
فئة كل المصفوفات الحقيقية من النوع nXn تشكل فضاءاً اتجاهياً تحت عملية جمع المصفوفات (+) و عملية الضرب القياسي فى الاعداد الحقيقية. والان اذا ارفقنا مع هذا الفضاء الاتجاهي عملية ثنائية اضافية تُعرف بعملية ضرب المصفوفات
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...n}A_{ik}B_{kj}
فان الفضاء الاتجاهي يصبح عبارة عن جبر خطي دمجي (طبعاُ نسبةً لان ضرب المصفوفات بطبيعة الحال يحقق خاصية الدمج)
و العنصر المحايد لعملية الجمع هو الـ0 (المصفوفة الصفرية)
والعنصر المحايد لعملية الضرب القياسي فى عدد حقيقي هو الـ1
والعنصر المحايد لعملية الضرب المتجهي (عملية ضرب المصفوفات) هو مصفوفة الوحدة I
وهذا المثال يحقق كل شروط الجبر الخطي كما انه يحقق ايضاً الشروط C3 و C4 و لذلك نقول ان فئة المصفوفات الحقيقية تحت عمليات الجمع و الضرب القياسي بعدد حقيقي والضرب المتجهي (ضرب المصفوفات) تشكل جبر خطي دمجي له محايد Linear Associative algebra with identity
مثال(12)
فئة كل المصفوفات الحقيقية المتماثلة Symmetric (المصفوفات المتماثلة هى تلك المصفوفة التى تساوى منقولها transpose) اى التى تحقق
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large%20A^t=A
هى عبارة عن عن فصاء خطي جزئي من الفضاء فى المثال السابق
دعنا الان نتأكد ماذا كانت المصفوفات المتماثلة تمثل جبر خطي تحت عملية ضرب المصفوفات ام لا
افترض ان A و B مصفوفات متماثلة اى ان http://latex.codecogs.com/gif.latex?...,\quad%20B^t=B مما يعني انهما تنتميان لفئة المصفوفات المتماثلة
الان ضرب المصفوفتين يعطي مصفوفة ليست بصورة عامة متماثلة
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...20A\square%20B
اى لا تحقق شرط الاغلاق C1 للجبر الخطي
ولكن معك ذلك توجد عملية ضرب متجهي اخرى تعرف بـ
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...A,B]_{+}=AB+BA
تحقق شرط الاغلاق C1 و شرط الثنائية-الخطية C2 مما يجعل فئة المصفوفات المتماثلة تشكل جبر خطي تحت عملية الضرب المصفوفي التماثلي المعرف بالقوس اعلاه
البرهان:
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...=B^tA^t+A^tB^t
ولما كانت المصفوفات Aو B الى فئة المصفوفات المتماثلة فانها تحقق http://latex.codecogs.com/gif.latex?...,\quad%20B^t=B
وعليه فان
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...}=A\square%20B
اذن فان ناتج الضرب التماثلي يمثل مصفوفة متماثلة و لذلك فانه ينتمي الى فئة المصفوفات المتماثلة مما يحقق شرط الاغلاق C1
تمرين: برهن ان عملية ضرب المصفوفات التماثُلي هذا يحقق الخاصية الثنائية- الخطية C2
مثال(13)
فئة كل المصفوفات ضد المتماثلة Antisymmetric اى التى تحقق
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large%20A^t=-A
غير مغلقة تحت عملية ضرب المصفوفات و لكن اذا عرفنا عملية ضرب مصفوفي ضد تماثلي على النحو التالىي
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...#91;A,B]=AB-BA
فانها شرط الاغلاق C1 و شرط الثنائية-الخطية C2 مما يجعل فئة المصفوفات الضد متماثلة تشكل جبر خطي تحت عملية الضرب المصفوفي ضد التماثلي المعرف بالقوس اعلاه والذي يسمى بقوس التبادلية
تمرين: برهن تحقق الشروط C1 و C2
ليس من العسير ان نبرهن ان هذا الجبر بصورة عامة ليس له عنصر محايد كما انه لا يحقق خاصية الدمج (اى لا يحقق الشروط C3 و C4)
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...0B)\square%20C
الان الجبر المُعرف بالضرب ضد التبادلي (علاقة التبادلية) يسمى بجبر ليي Lie Algebra و هذا الجبر يمثل حجر الاساس فى ميكانيكا الكم (حيث ان المؤثرات فى فضاء هيلبرت تحقق جبر ليي) و فى النظرية النسبية (حيث ان تحويلات لورنتز تمثل جبر جزئى من جبر بوينكاري Poincare’ Algebra والذي هو عبارة عن جبر لليي )
بالاضافة لخصائص الجبر فان جبر ليي يحقق خاصية الاشتقاق C6 (برهن) اى ان
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...(A\square%20C)
وهذه الخاصية تُعرف بخاصية الاشتقاق و تكتب بالصورة الشائعة التالية:
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...C,[A,B]]=0
التى تسمى بمتطابقة جاكوبي Jacobi’s Identity
تم بحمد الله و توفيقه
اللهم علمنا ما ينفعنا وانفعنا بما علمتنا ، وزدنا علماً
أشكرك أخي الكريم الصادق على هذا الطرح المتميز جدا
سلمت يداك أخي
الحقيقة كنت أرجو أن افهم يوما أكثر عن هذا النوع من الجبر
ربما الامر أيضا كان جديدا على لأن هناك مفاهيم اخري لها نفس الاسم algebra
سأحاول أن ارى ما إذا كان هذا مصادفة أم أنها بالفعل حالات خاصة من linear algebra
و ماذا تحقق من صفات اخرى
بارك الله فيك أخي الكريم الصادق و زادك من نوره و حكمته