التسلية بالرياضياتمن مجلة العلوم
عودة إلى لعبة الاحتكار (المونوپولي)(*)<I. ستيوارت>
في العدد المزدوج 11/12(2002) عرضت وصفا لنموذج رياضياتي للعبة الاحتكار (المونوپولي) Monopoly التي تُلعب على رقعة. عند ابتداء اللعبة، حين ينطلق كل واحد من موضع GO (اذهب) وذلك برمي حجر النرد، يكون احتمال شغل المربعات القليلة الأولى عاليا، وتكون المربعات البعيدة غير مشغولة. وقد بينت، باستخدام مفهوم متسلسلات ماركوڤ، أن تجمع الاحتمالات الابتدائي هذا يؤول في النهاية إلى التعادل بحيث تكون اللعبة عادلة: أي إن لكل من اللاعبين الفرصة نفسها في احتلال أي مربع وشراء ذلك العقار. على أي حال، فإن هذه النتيجة لا تكون صحيحة إلا عند وضع افتراضات معينة للتبسيط. وسرعان ما أكد المتحمسون للعبةِ الاحتكار أنه، في اللعب الفعلي، يكون توزع الاحتمالات على المدى البعيد غير عادل.
إذن ما الاحتمالات الصحيحة؟ يمكننا أيضا، أن نطبق طريقة متسلسلات ماركوڤ على اللعبة الفعلية، إلا أن علَّي التنبيه بأن التحليل معقد ويتطلب مساعدة حاسوبية أساسية. دعوني أذكركم أولا بكيفية استخدام متسلسلات ماركوڤ في لعبة الاحتكار. يستطيع اللاعب أن يشغل أي واحد من المربعات الأربعين التي سوف نرقمها للسهولة باتجاه دوران عقارب الساعة من الصفر حتى 39 ابتداء من كلمة GO (التي رقمها صفر).
ليكن A و B مربعين. عندئذ توجد كمية تسمى احتمال الانتقال transition probability ـ أي احتمال أن يصل لاعب يبتدئ من المربع A إلى المربع B عندما يأتي دوره لرمي حجر النرد. فإذا كانت هذه النقلة مستحيلة، فإن احتمال الانتقال يساوي الصفر.
يوجد إذن 1600i= 40x40 من احتمالات الانتقال، ويمكن تصور أن تكوَّد بمصفوفة مربعة M ذات 40 سطرا أفقيا و40 عمودا رأسيا. وهكذا فإن العنصر الواقع في السطر السادس والعمود العاشر، مثلا، يصف احتمال الانتقال من ReadingRailroad إلى ConnecticutAvenue. إن الاحتمالات الابتدائية لكل لاعب هي 1 للموضع 0 و 0 لبقية المواضع، ومن الممكن تكويدهاكمتجه I(0,...,0,1 )=V.
تدلنا نظرية متسلسلات ماركوڤ على أن تَغير توزع الاحتمالات هذا يُعطَى بمتتالية المتجهات M3v ،M2v ،Mv،v، وهكذا، أي إن كل رمية لحجر النرد توافق المصفوفة M المؤثرة في المتجه v. ويمكن حساب المتجهات الناتجة بالطرائق المصفوفية المعروفة والمتوفرة في أي حزمة برامج حاسوبية جيدة في الجبر. ويمكن لهذه البرامج أن تَحسب أيضا ما يسمى القيم الذاتية eigenvalues والمتجهات الذاتية eigenvectors للمصفوفة M. نقول إن المتجه u هو متجه ذاتي بقيمة ذاتية c إذا كان Mu = c x u، حيث يمكن أن تكون c عددا حقيقيا real أو عقديا complex. وتنص نظرية ماركوڤ الأساسية على أن التوزع الاحتمالي على المدى البعيد يُعطَى بالمتجه الذاتي الذي تملك قيمتُه الذاتية أكبر قيمة مطلقة.
وهكذا فَلِكَيْ نحلل عدالة لعبة الاحتكار، كل ما يجب علينا فعله هو حساب M وتطبيق جبر المصفوفات. هذا الأمر سهل في حال النموذج المبسط الذي قدمته، إلا أن علينا في اللعبة الفعلية أن ندخل في الاعتبار التدحرجات المتكررة لحجر النرد، وبعض المربعات الخاصة مثل GO TO JAIL (اذهب إلى السجن)، والتعليمات الموجودة على البطاقات التي يسحبها اللاعبون عندما يقعون في مربع الحظ CHANCE أو مربع الخزينة المشتركة COMMUNITY CHEST.
لقد أرسل لي كثير من القراء تحليلاتهم لهذه اللعبة. وقد كانت أكثر هذه التحليلات شمولية تلك التي أرسلها <J .W. بتلر> [من پورتسماوث في ولاية رود آيلاند] و<H .Th. فريدل> [وهو مهندس طيران من ماپل ڤالي بواشنطن] و<S. أبوت> [من قسم الرياضيات بكلية القديس أولاف في نورثفيلد بولاية مينيسوتا] بالاشتراك مع زميله <M. ريتشي>. وقد كتب بتلر برنامجا لپاسكال، في حين استخدم فريدل البرنامج Mathcad، أما أبوت فاستخدم البرنامج Maple. والمناقشة التالية هي دمج لجميع هذه النتائج. (جميع نماذج لعبة الاحتكار تضع فرضيات حول درجة التفصيل التي تُدخلها، لكن الاختلافات في الفرضيات التي وضعها الأشخاص الذين كتبوا إلينا كانت غير جوهرية.)
إن التعديل الأول على نموذجِي الأصلي هو أن أُدخِل في الاعتبار جميع القوانين المتعلقة بحجر النرد. فإذا رُمي زوج من أحجار النرد، وكانت النتيجة رقمين متشابهين، فعلى اللاعب أن يرمي حجري النرد مرة ثانية، لكن إذا حصل اللاعب في ثلاث رميات متتالية على رقمين متشابهين في كل مرة، فإنه يذهب إلى السجن (JAIL). إن رمي حجر النرد هو بحد ذاته متسلسلة ماركوڤ صغيرة، ويمكن أن تحل بالطريقة العادية. وتكون النتيجة مخططا لاحتمال التحرك بأي مسافة معطاة من الوضع الحالي [انظر الشكل في الصفحة المقابلة]. لاحظ أن المسافة الأكثر احتمالا هي 7، إلا أنه من الممكن التحرك حتى 35 مربعا (برمي 6,6 ثم 6,6 ثم 6,5). بيد أن احتمالات التحرك لأكثر من 29 مربعا قليلة جدا لدرجة أنها لا تكاد تظهر في المخطط. ويجري إدخال هذه النتائج في M بتغيير مناسب لكل عنصر منفرد في M.
ثم إن أثر مربع GO TO JAIL (اذهب إلى السجن) يجب أن يؤخذ في الحسبان. إن القواعد المتعلقة بالسجن تطرح مشكلة، لأن بإمكان اللاعبين دفع ثمن خروجهم من السجن أو البقاء فيه ومحاولة الحصول على أرقام مزدوجة تخرجهم منه. (أو في المراحل المتقدمة، عندما يصبح السجن هو الملاذ من دفع الإيجارات المرتفعة، فإنهم يستطيعون البقاء في السجن آملين عدم الحصول على رقمين متشابهين). وترتبط الاحتمالات المتعلقة بهذا الاختيار بنفسية اللاعب، وهكذا فالعملية هنا ليست ماركوڤية. ولقد تجنب معظم مرسلي التعليقات الخوض في هذا الطرح بافتراض أن اللاعب لا يدفع ثمن خروجه، وعندئذ لا يصبح السجن مربعا شاذا single بل عملية جزئية ماركوڤية ـ وهي متسلسلة من ثلاثة مربعات (فعلية) حيث ينتقل اللاعبون من السجن توّا Just inJail إلى قضى في السجن دورا واحد بالفعل In Jail OneTurn Already إلى يجب الخروج من السجن في الدور التالي Must Come Out of Jail Next Turn. أما احتمال مربع GO TO JAIL (اذهب إلى السجن) نفسه فهو يساوي الصفر، إذ لا أحد يشغله فعليا.
الخطوة التالية هي تعديل M لندخل في الاعتبار بطاقات الحظ والخزينة المشتركة، التي يمكن أن ترسل اللاعب إلى السجن أو إلى أي موضع آخر على الرقعة. ويمكن إجراء هذا التعديل مباشرة بحساب نسبة البطاقات التي ترسل اللاعب إلى أي مربع معطى. وعندئذ يضاف الاحتمال الإضافي إلى الموضع الموافق في M.
بعد أن نشكل مصفوفة انتقال دقيقة، يمكن إنجاز (حساب) الاحتمالات الراسخة إما بالحساب العددي لقيمها الذاتية ومتجهاتها الذاتية، أو بحساب أثر العدد الكبير من النقلات من القوى M3، M2 وهلم جرا. وبفضل النظرية العامة لماركوڤ، نرى أن هاتين الطريقتين متكافئتان رياضياتيا.
يبين الجدول [انظر الشكل في هذه الصفحة] احتمالات شغل المربعات المختلفة على المدى البعيد. والسمة الأكثر إثارة هنا هي أن احتمال أن يشغل اللاعب مربع السجن هو %5.89، وهو ضعف احتمال أن يشغل اللاعب أي مربع آخر. والمربع التالي الأكثر تكرارا هو مربع (%3.18) Illinois Avenue وتتتالى المربعات بالتكرارات النسبية كما يلي: B&Oا(%3.06)،I((2.44)%Short Line.(2.91%) Pennsylvania ،(2.92%) Reading. وسبب كون هذه النسبة أقل من النسب الأخرى هو أن Short Line لا تتمتع ببطاقة الحظ CHANCE. ومن بين المرافق تربحWaterWorksا (2.81%)، ثم يأتيElectricCompanyا(%2.62) الأقل احتمالا. واحتمال المربع (%3.11) GO يأتي في المرتبة الثالثة، والمربع CHANCE الثالث (%0.87) هو الأقل احتمال باستثناء GO TO JAIL ( ا%0، وهذا منطقي جدا).
ولقد ذهب فريدل إلى أبعد من ذلك وقام بتحليل سوق العقارات في اللعبة، وهو الأمر الذي يجعل اللعبة ممتعة. وكان هدفه إيجاد نقطة التعادل (لا ربح ولا خسارة) في شراء البيوت ـ أي تلك المرحلة التي يبدأ فيها الدخل بتجاوز الأثمان ـ وكذلك تعيين أفضل الاستراتيجيات لشراء البيوت والفنادق. وتتعلق مطالب سوق العقارات بعدد اللاعبين وبمجموعة القواعد الخاصة المتبعة. وبافتراض أنه يمكن شراء البيوت من البداية، فإن عددا من المبادئ العامة تنجم عن ذلك:
▪ مع أن شراء البيوت في وقت مبكر يكلف غاليا، فإن الوصول إلى نقطة التعادل يحدث بسرعة أكبر إذا اشتريتها.
▪ للوصول إلى نقطة التعادل نحتاج إلى 20 نقلة أو أكثر في حالة بيتين أو أقل. ويظهر تحسن ملحوظ في حال ثلاثة بيوت.
▪ إن مربع العقارات الواقع بينGO وIndiana Avenue، الذي يقدم أسرع نقطة تعادل في حال ثلاثة بيوت، هو NewYork Avenue الذي يوصل إلى التعادل بعد نحو 10 نقلات.
يقول فريدل إنه توقف عن تقييم عقارات أخرى بعد Indiana Avenue لأنه لم يتوقع قط أن ينشر نتائجه.
ولقد أسهم الكثير من القراء الآخرين بملاحظات مثيرة للاهتمام أذكر بعضا منها. فالمحاكيات simulations التي قدمها <A .E. پادّون> [من MarylandHeights بولاية ميسوري]، والحسابات التي قدمها <D. ويبلين> [من رستون بولاية فرجينيا]، عززت نمط الاحتمالات. وقد بيّن ويبلين أن هذه الاحتمالات لا تؤثر بشكل حقيقي في عدالة اللعبة، لأن جميع اللاعبين يواجهون الحالة نفسها. وبتطوير هذه النقطة، لاحظ أنه «إذا كانت مكافآت الوصول إلى مربعات ذات احتمال قليل غير متناسبة مع ذلك الاحتمال المنخفض، فستنشأ مشكلة. وعندما يحدث، بمحض المصادفة، أن يحصل أحد اللاعبين على ميزة كبيرة فإن اللعبة تكون غير عادلة.» وقد استنتج أن لعبة الاحتكار ـ بهذه الطريقة ـ ليست غير عادلة.
وقد ذكر <B. موسكوفيتش> [من شرق سيتاوكِتْ بولاية نيويورك] ما يلي: «مارست لعبة الاحتكار أيام الصبا مرات كثيرة مع إخوتي وأصدقائي، ولقد كان معروفا أن العقارات ذات اللون البني المصفر وهي St. James Place وTennesseeAvenue وNew York Avenue قيّمة جدا، وذلك لأن احتمال الوصول إلى أي واحد من هذه العقارات هو احتمال عال نسبيا عند ترك السجن.» وتُعزز الحساباتُ هذا الاقتراح بافتراض أن هذه العقارات الثلاثة جميعا هي من بين العقارات الاثني عشر الأكثر احتمالا في خريطة الاحتمالات.
لقد لامني <O .J. سايمون> [من كامبردج بولاية ماساتشوستس] بسبب اقتراحي أن العقارات الرخيصة قد وُضعت بجوار نقطة البداية لجعل اللعبة أكثر عدالة. ويضيف: «لقد ابتُكِرت لعبة الاحتكار خلال فترة الركود الاقتصادي الكبير من قبل مصمم وحيد هو <C. دارّو> في أوقات ربما لم يجد فيها شيئا يعمله. وهذه اللعبة، بما فيها من زخارف الثروة وأصحابها من الناس السمان الأغنياء، هي لعبة الإنسان الفقير. وفي واقع الأمر، ففي جميع المسابقات في لعبة الاحتكار... يتبين في نهاية المطاف أن العقارات (الرخيصة) هي الأكثر جذبا للاحتكار، أما العقارات المربحة، فإنك لا تقدر على امتلاكها أو بنائها دون وجود مصدر للدخل يوفره لك امتلاك مجموعة رخيصة من البيوت.» ومع قبولي بهذا الرأي، فإنني لا أزال أحاجّ في أن وضع عقار مُربح في النصف الأول للرقعة سوف يكون، بالتأكيد أمرا غير عادل، وفقا لمعيار ويبلين الذي يقرر أنه لا يمكن لأي لاعب أن يحظى بميزة كبيرة بسبب الحظ فقط. ثم إنني لست مقتنعا بأن شراء عدد كبير من العقارات الرخيصة وتأجيرها هو استراتيجية الإنسان الفقير!
(*) Monopoly Revisite
بالله عليكم لا تنسوا الردود والتقيم
