mohammed for
09-13-2007, 01:38 PM
معادلات حركة الموجة :-
اذا تحركت موجة في اي وسط فان جميع الجسيمات الحاملة للموجة تتذبذب بنفس الحركة التوافقية البسيطة و يكون لها نفس السعة السعة و نفس التردد و لكنها تختلف في الطور.
نفرض ان (Y) هي الازاحة لجسيم يقع عند نقطة الاصل
Y= A sin ωt
اما الازاحة لاي جسيم اخر على يمين او يسار الجسيم و يبعد عنه مسافة قدرها (x) .فهي :-
Y= A sin (ωt[+ or -]α)…….(1).
حيث (α) هي فرق الطور في ذبذبة الجسمين.
و لكن (α) تتناسب مع البعد (x).
Then :- α= kx……………(2).
حيث (k) مقدار ثابت.
اي جسيم يبعد عن نقطة الاصل بمسافة تساوي طول الموجة )( (λفأنه يتبع نفس ذبذبة الجسم الموجود عند نقطة الاصل و يختلف عنه في الطور بمقدار (α = 2 π).
و بالتعويض بذلك في المعادلة (46) :-
Then :- 2 π= kλ
Then :- k=2 π/λ
و بالتعويض في المعادلة (1) :-
Then :- Y= A sin (ωt[+ or -] 2 π x/ λ(
But :- ω= 2 π f = 2 π / T
حيث (f) هو التردد, (T) الزمن الدوري.
Then :- Y = A sin ([2 π t/ T ]{+ or -}[2 π x / λ])
= A sin 2 π([t / T]{+ or -}[x / λ])…………(3).
Then :- Y = A sin (2 π/λ) (vt[+ or -] x )……………..(4).
Because :- v = λ / T
حيث (v) هي سرعة انتشار الموجة.
فأذا كان اتجاه انتشار الموجة هو في الاتجاه الموجب من (x)
Then : - Y = A sin (2 π/λ) (vt-x)………….(5).
تعطي هذه المعادلة ازاحة جسيم عند اي زمن (t) حيث (x) هو بعد الجسيم عن نقطة الاصل .
بتفاضل المعادلة (5) بالنسبة الى (x)
Then :- (dy/dx)= - A (2 π/λ) cos (2 π/λ) (vt-x)………..(6).
و بتفاضل المعادلة (5) بالنسبة الى (t)
Then :- (dy/dt) = A (2 π v/ λ) cos (2 π/λ) (vt-x)………..(7).
و بمقارنة المعادلتين (6 , 7)
Then :- (dy/dt) = - v (dy/dx)………….(8).
و لكن (dy/dt) هي سرعة الجسيم الذي يبعد عن نقطة الاصل بمسافة (x) , (v) هي سرعة انتشار الموجة , (dy/dx) هوميل المماس للموجة على بعد (x) من نقطة الاصل.
اذن :-
سرعة جسيم يبعد عن نقطة الاصل بمسافة (x) يساوي حاصل ضرب سرعة انتشار الموجة في ميل مماس الموجة على بعد (x) من نقطة الاصل .
و بتفاضل المعادلة (6) مرة اخرى :-
({[d^2]y}/dx^2) = - A (4 [π^2] / λ^2) sin (2 π/λ) (vt-x)………..(9).
و بتفاضل المعادلة (7) مرة اخرى كذلك :-
({[d^2]y}/dt^2) = - A (4 [π^2] [v^2]/ λ^2) sin (2 π/λ) (vt-x)……….(10).
و بمقارنة المعادلتين (9 , 10)
Then :- ({[d^2]y}/dt^2) = (v^2) ({[d^2]y}/dx^2)……………(11).
و هذه هي المعادلة التفاضلية لحركة الموجة . و اي معادلة من هذا القبيل تمثل حركة موجة سرعتها هو جذر معامل ({[d^2]y}/dx^2).
اذا تحركت موجة في اي وسط فان جميع الجسيمات الحاملة للموجة تتذبذب بنفس الحركة التوافقية البسيطة و يكون لها نفس السعة السعة و نفس التردد و لكنها تختلف في الطور.
نفرض ان (Y) هي الازاحة لجسيم يقع عند نقطة الاصل
Y= A sin ωt
اما الازاحة لاي جسيم اخر على يمين او يسار الجسيم و يبعد عنه مسافة قدرها (x) .فهي :-
Y= A sin (ωt[+ or -]α)…….(1).
حيث (α) هي فرق الطور في ذبذبة الجسمين.
و لكن (α) تتناسب مع البعد (x).
Then :- α= kx……………(2).
حيث (k) مقدار ثابت.
اي جسيم يبعد عن نقطة الاصل بمسافة تساوي طول الموجة )( (λفأنه يتبع نفس ذبذبة الجسم الموجود عند نقطة الاصل و يختلف عنه في الطور بمقدار (α = 2 π).
و بالتعويض بذلك في المعادلة (46) :-
Then :- 2 π= kλ
Then :- k=2 π/λ
و بالتعويض في المعادلة (1) :-
Then :- Y= A sin (ωt[+ or -] 2 π x/ λ(
But :- ω= 2 π f = 2 π / T
حيث (f) هو التردد, (T) الزمن الدوري.
Then :- Y = A sin ([2 π t/ T ]{+ or -}[2 π x / λ])
= A sin 2 π([t / T]{+ or -}[x / λ])…………(3).
Then :- Y = A sin (2 π/λ) (vt[+ or -] x )……………..(4).
Because :- v = λ / T
حيث (v) هي سرعة انتشار الموجة.
فأذا كان اتجاه انتشار الموجة هو في الاتجاه الموجب من (x)
Then : - Y = A sin (2 π/λ) (vt-x)………….(5).
تعطي هذه المعادلة ازاحة جسيم عند اي زمن (t) حيث (x) هو بعد الجسيم عن نقطة الاصل .
بتفاضل المعادلة (5) بالنسبة الى (x)
Then :- (dy/dx)= - A (2 π/λ) cos (2 π/λ) (vt-x)………..(6).
و بتفاضل المعادلة (5) بالنسبة الى (t)
Then :- (dy/dt) = A (2 π v/ λ) cos (2 π/λ) (vt-x)………..(7).
و بمقارنة المعادلتين (6 , 7)
Then :- (dy/dt) = - v (dy/dx)………….(8).
و لكن (dy/dt) هي سرعة الجسيم الذي يبعد عن نقطة الاصل بمسافة (x) , (v) هي سرعة انتشار الموجة , (dy/dx) هوميل المماس للموجة على بعد (x) من نقطة الاصل.
اذن :-
سرعة جسيم يبعد عن نقطة الاصل بمسافة (x) يساوي حاصل ضرب سرعة انتشار الموجة في ميل مماس الموجة على بعد (x) من نقطة الاصل .
و بتفاضل المعادلة (6) مرة اخرى :-
({[d^2]y}/dx^2) = - A (4 [π^2] / λ^2) sin (2 π/λ) (vt-x)………..(9).
و بتفاضل المعادلة (7) مرة اخرى كذلك :-
({[d^2]y}/dt^2) = - A (4 [π^2] [v^2]/ λ^2) sin (2 π/λ) (vt-x)……….(10).
و بمقارنة المعادلتين (9 , 10)
Then :- ({[d^2]y}/dt^2) = (v^2) ({[d^2]y}/dx^2)……………(11).
و هذه هي المعادلة التفاضلية لحركة الموجة . و اي معادلة من هذا القبيل تمثل حركة موجة سرعتها هو جذر معامل ({[d^2]y}/dx^2).