تصويب علاقة بور

[فيزيائي هاوي]

بسم الله الرحمن الرحيم . نعلم جميعا ان طاقة الالكترون في ذرة الهيدروجين يعبر عنها بالعلاقة

http://latex.codecogs.com/gif.latex?E%3D-%5Cfrac%7Bme%5E%7B4%7D%7D%7B8%5Ceps ilon%20_%7B0%7D%5E%7B2%7Dh%5E%7B2%7 Dn%5E%7B2%7D%7D . طالما تسائلت عن معنى هذه الاشارة السالبة في المعادلة . وقلت في نفسي اذا كان الفيزيائيون قد عجبوا وامتعضو من الطاقة السالبة التي اظهرتها معادلة ديراك فلماذا العجب من ذلك طالما طاقة الكترون ذرة الهيدروجين تكون سالبة حسب علاقة بور . اذن هل فعلا طاقة الالكترون تكون سالبة ? واي معنى لذلك . للاجابة عن هذا التساؤل يجب ان نبحث عن اصل هذه العلاقة . نعلم ان طاقة الالكترون تساوي مجموع طاقة الحركة وطاقة الوضع الكهروستاتيكية http://latex.codecogs.com/gif.latex?E%3D%20E_%7Bc%7D+E_%7Bp%7 D . ولدينا http://latex.codecogs.com/gif.latex?E_%7Bc%7D%3D%20%5Cfrac%7B 1%7D%7B2%7Dmv%5E%7B2%7D
و http://latex.codecogs.com/gif.latex?E_%7Bp%7D%3D%5Cint%20F.dr حيث F القوة الكهرساكنة المؤثرة على الالكترون من طرف النواة . اذن http://latex.codecogs.com/gif.latex?E_%7Bp%7D%3D%5Cint%20%5Cf rac%7B1%7D%7B4%5Cpi%20%5Cepsilon%20 _%7B0%7D%7D%5Cfrac%7Be%5E%7B2%7D%7D %7Br%5E%7B2%7D%7Ddr نجد ان http://latex.codecogs.com/gif.latex?E_%7Bp%7D%3D%5Cfrac%7Be%5 E%7B2%7D%7D%7B4%5Cpi%20%5Cepsilon%2 0_%7B0%7D%7D%5Cleft%20%5B%20-%5Cfrac%7B1%7D%7Br%7D%20%5Cright%20 %5D اذن http://latex.codecogs.com/gif.latex?E_%7Bp%7D%3D-%5Cfrac%7Be%5E%7B2%7D%7D%7B4%5Cpi%2 0%5Cepsilon%20_%7B0%7D%7D%5Cleft%20 %5Cfrac%7B1%7D%7Br%7D%20%5Cright .
نستنتج اذن ان طاقة الوضع الكهرساكنة لها مقدار سالب . هذه هي طريقة استخراج طاقة الوضع التي درسناها في الكلية . لكن عقلي لم يتقبل تلك الاشارة السالبة . لو قدر للالكترون ان يسقط وفق خط مستقيم نحو النواة فان طاقة الوضع ستتحول الى طاقة حركة وما دامت طاقة الوضع سالبة فان طاقة الحركة ستكون سالبة كذلك . ولكن حسب الصيغة الرياضية لطاقة الحركة فانها يجب ان تكون موجبة . يتبع .

[فيزيائي هاوي]

لنطرح السؤال : التكامل الذي في صيغة طاقة الوضع هو تكامل من اين الى اين ? النواة تحاول جذب الالكترون الذي يوجد على مسافة r من مركزها الى سطحها حيث تكون المسافة بينه وبين مركزها هي R ) R هو نصف قطر النواة ) . اذن التكامل الذي لدينا هو من r الى R يعني ان : http://latex.codecogs.com/gif.latex?E_%7Bp%7D%3D%5Cint_%7BR%7 D%5E%7Br%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B4%5Cpi% 20%5Cepsilon%20_%7B0%7D%7D%5Cfrac%7 Be%5E%7B2%7D%7D%7Br%5E%7B2%7D%7Ddr% 3D%20%5Cfrac%7Be%5E%7B2%7D%7D%7B4%5 Cpi%20%5Cepsilon%20_%7B0%7D%7D%5Cle ft%20%5B%20-%5Cfrac%7B1%7D%7Br%7D%20%5Cright%20 %5D_%7Br%5Crightarrow%20R%7D اذن http://latex.codecogs.com/gif.latex?E_%7Bp%7D%3D%20%5Cfrac%7B e%5E%7B2%7D%7D%7B4%5Cpi%20%5Cepsilo n%20_%7B0%7D%7D%5Cleft%20%28%5Cfrac %7B1%7D%7BR%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7Br%7D%29 يظهر لنا بوضوح الان ان طاقة الوضع موجبة وليست سالبة . من علاقتي السرعة والموضع لبور http://latex.codecogs.com/gif.latex?r%3D%5Cfrac%7B%5Cepsilon% 20_%7B0%7Dh%5E%7B2%7Dn%5E%7B2%7D%7D %7B%5Cpi%20me%5E%7B2%7D%7D و http://latex.codecogs.com/gif.latex?v%3D%5Cfrac%7Be%5E%7B2%7D %7D%7B2%5Cepsilon%20_%7B0%7Dh.n%7D ينتج لنا http://latex.codecogs.com/gif.latex?E_%7Bp%7D%3D%5Cfrac%7Be%5 E%7B2%7D%7D%7B4%5Cpi%20%5Cepsilon%2 0_%7B0%7D.R%7D-%5Cfrac%7Bme%5E%7B4%7D%7D%7B4%5Ceps ilon%20_%7B0%7D%5E%7B2%7Dh%5E%7B2%7 D.n%5E%7B2%7D%7D و http://latex.codecogs.com/gif.latex?E_%7Bc%7D%3D%5Cfrac%7Bme% 5E%7B4%7D%7D%7B8%5Cepsilon%20_%7B0% 7D%5E%7B2%7Dh%5E%7B2%7D.n%5E%7B2%7D %7D ومنه نجد ان : http://latex.codecogs.com/gif.latex?E%3D%5Cfrac%7Be%5E%7B2%7D %7D%7B4%5Cpi%20%5Cepsilon%20_%7B0%7 D.R%7D-%5Cfrac%7Bme%5E%7B4%7D%7D%7B8%5Ceps ilon%20_%7B0%7D%5E%7B2%7Dh%5E%7B2%7 D.n%5E%7B2%7D%7D هذه هي الصيغة الصحيحة للطاقة الكلية للالكترون وهي كما راينا مقدار موجب لاننا وجدنا ان طاقة الوضع موجبة وطاقة الحركة موجبة كذلك وبالتالي فان مجموعهما موجب . ولكن هل ستؤثر هذه النتيجة على استنتاج طيف اشعاع ذرة الهيدروجين ?? هذا ما سنراه لاحقا . شكرا على اهتمامكم .

[فيزيائي هاوي]

اذا انتقل الالكترون من مستوى n1 الى مستوى n2 فانه يصدر فوتونا له طاقة مقدارها http://latex.codecogs.com/gif.latex?h\nu اذن لدينا http://latex.codecogs.com/gif.latex?E_{n2}-E_{n1}%3Dh\nu و http://latex.codecogs.com/gif.latex?E_{n2}-E_{n1}%3D\frac{me^{4}}{8\epsilon _{0}^{2}h^{2}.n1^{2}}-\frac{me^{4}}{8\epsilon _{0}^{2}h^{2}.n2^{2}} http://latex.codecogs.com/gif.latex?E_{n2}-E_{n1}%3D\frac{me^{4}}{8\epsilon _{0}^{2}h^{2}}\left ( \frac{1}{n1^{2}}-\frac{1}{n2^{2}} \right ) http://latex.codecogs.com/gif.latex?h\nu %3D\frac{me^{4}}{8\epsilon _{0}^{2}h^{2}}\left ( \frac{1}{n1^{2}}-\frac{1}{n2^{2}} \right ) http://latex.codecogs.com/gif.latex?\nu %3D\frac{me^{4}}{8\epsilon _{0}^{2}h^3}\left ( \frac{1}{n1^{2}}-\frac{1}{n2^{2}} \right ) وهذه هي العلاقة التي تعطي تردد الفوتون ومنها نستنتج علاقة الطول الموجي للاشعاع http://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{1}{\lambda } %3D\frac{me^{4}}{8\epsilon _{0}^{2}h^3c}\left ( \frac{1}{n1^{2}}-\frac{1}{n2^{2}} \right ) وهي نفسها العلاقة التي استنتجها بور . اذن فتصويب علاقة طاقة الكترون ذرة الهيدروجين لا يؤثر على نتيجة طيف الاشعاع . اتمنى لكم الاستفادة ورمضان مبارك كريم .

[bohre]

بسم الله الرحمان الرحيم أليست المسسألة تخص التغيير في نقطة الأصل للطاقة الوضع و من ثمة تغيير التكامل،و ما المانع في كون طاقة الوضع سالبة؟ تحياتي

[فيزيائي هاوي]

السلام عليكم يا سيد bohre . معك حق و اظن اني قد اخطات . فقد نسبت نقطة الاصل لطاقة الوضع الى سطح النواة بينما كان علي ان انسبها الى المركز . لكني ساحاول تدارك الخطا ان شاء الله . ولكن قبل ان افعل ذلك اود منك او من الاعضاء الكرام لو تكرمتم بمدي بكيفية الحصول على صيغة طاقة الوضع التي ظهرت سالبة جزاكم الله خيرا . اما بالنسبة لسؤالك ما المانع في كون طاقة الوضع سالبة فجوابه كالتالي : تخيل معي ان الكترونا جذبته النواة الى مركزها بحيث انه انطلق من مسافة r عن مركز النواة بدون سرعة بدئية الى نقطة المركز ; عندئذ يمكننا القول ان طاقة وضع الالكترون في الموضع r قد تحولت الى طاقة حركة في المركز وبالتالي فان طاقة الوضع عند r تساوي طاقة الحركة عند 0 . اي Ep=Ec وحيث ان Ep سالبة فان Ec كذلك سالبة بحكم التساوي بينهما . ولكن Ec=1/2mv2 اي ان طاقة الحركة Ec موجبة حسب صياغتها الرياضية الشئ الذي يؤدي الى تناقض .