ممكن حد يشرح معادله شرودنجر الامعتمده على الزمن ؟

[Quantum man]

ممكن حد يشرح معادله شرودنجر الامعتمده على الزمن ؟
رياضيا وفيزياءيا ووجه الافاده

[محبة الرسول]

والله لا أريد أن أقول أن حظ حضرتك سيء.. لأنك دخلت في وقت غاب عن المنتدى عالم من علماء الكوانتم (ميكانيكا الكم) وهو الأستاذ/ رجب مصطفى..

نسأل الله أن يعود إليه ثانية ليفيدكم ويفيد جميع الأعضاء..

[Quantum man]

ان شااء الله شكرا جدا .....

[الموحدة لله]

طيب الاستاذ رجب مصطفى تغيب عن المنتدى ولكن موضوعاته مازالت موجودة يستفيد منها كل رواد المنتدى

http://www.hazemsakeek.info/vb/showthread.php?26385-%C5%D0%C7-%DF%E4%CA-%CA%D1%ED%CF-%C3%E4-%CA%CA%CE%D5%D5-%DD%ED-%C7%E1%DF%E3-%C7%CF%CE%E1-%DA%E1%ED-%E3%E6%C7%D6%ED%DA-%C7%E1%C3%D3%CA%C7%D0-%D1%CC%C8-%E3%D5%D8%DD%ED

هذا الموضوع يجمع كل ما تفضل به استاذنا الفاضل ف المنتدى ..........ان شاء الله يفيد حضرتك

بس للاسف .....دخلت ع احد الموضوعات
معادلة "شرودنجر" لجسيم منفرد (http://www.hazemsakeek.info/vb/showthread.php?16699-%D9%85%D8%B9%D8%A7%D8%AF%D9%84%D8%A 9-quot-%D8%B4%D8%B1%D9%88%D8%AF%D9%86%D8%A C%D8%B1-quot-%D9%84%D8%AC%D8%B3%D9%8A%D9%85-%D9%85%D9%86%D9%81%D8%B1%D8%AF)
وجدت المعادلات غير موجودة لا ادري هذا عيب متصفح ام ماذا ؟؟

[محبة الرسول]

قصدت أنه كان سيجيب على أسئلته واستفساراته لحظة بلحظة, ويزيل أي لبس يحدث :)

[محمد ابوزيد]

اشتقاق معادلة شرودنجر (المعادلة الاساسية فى ميكانيكا الكم)

معلوم اننا فى ميكانيكا الكم نستبدل الكميات المُقاسة كلاسكياً بمؤثرات مقابلة لها تؤثر على دالة تسمى بالدالة الموجية وهى دالة تتمتع بخصائص رياضية محددة (دالة منتهية , أُحادية القيمة وتؤول الى الصفر عند الاطراف اللانهائية للفضاء )

يعطى مؤثر الطاقة بالشكل التالى:

http://www.codecogs.com/eq.latex?%5Chuge%20%5Chat%7BE%7D=i% 5Chbar%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5C partial%20t%7D

بينما يعطى مؤثر كمية الحركة الخطية ب

http://www.codecogs.com/eq.latex?%5Chuge%20%5Chat%7B%5Cvec% 7BP%7D%7D=%5Cfrac%7B%5Chbar%7D%7Bi% 7D%5Cvec%7B%5Cnabla%7D

الان نستخدم تعريف الطاقة الكلية على انها مجموع طاقتى الحركة والجهد وعليه يكون مؤثر الطاقة الكلية يساوى مجموع مؤثرى طاقة الحركة وطاقة الجهد

http://www.codecogs.com/eq.latex?%5Chuge%20%5Chat%7BE%7D=%5 Chat%7BT%7D+%5Chat%7BV%7D

ولكن طاقة الحركة تساوى نصف الكتلة ضرب مربع السرعة

http://www.codecogs.com/eq.latex?%5Chuge%20T=%5Cfrac%7Bmv%5 E2%7D%7B2%7D

ولكن من جانب اخر نجد ان كمية الحركة تساوى حاصل ضرب الكتلة فى السرعة وعليه نجد ان السرعة تساوى كمية الحركة مقسومة على الكتلة وهكذا بالتعويض فى طاقة الحركة اعلاه نحصل على

http://www.codecogs.com/eq.latex?%5Chuge%20T=%5Cfrac%7Bm%28 %5Cfrac%7BP%7D%7Bm%7D%29%5E2%7D%7B2 %7D=%5Cfrac%7BP%5E2%7D%7B2m%7D

وهكذا نستطيع كتابة مؤثر الطاقة الكلية بدلالة مؤثر كمية الحركة

http://www.codecogs.com/eq.latex?%5Chuge%20%5Chat%7BE%7D=%5 Cfrac%7B%5Chat%7BP%7D%5E2%7D%7B2m%7 D+%5Chat%7BV%7D

وبتعويض قيمة مؤثر الطاقة وكمية الحركة نحصل على


http://www.codecogs.com/eq.latex?%5Chuge%20i%5Chbar%5Cfrac% 7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial%20t%7D =-%5Cfrac%7B%5Chbar%5E2%7D%7B2m%7D%5C nabla%5E2+%5Chat%7BV%7D

وكما قلنا سابقاً ان المؤثرات الكمية تؤثر على دالة موجية فاننا نستطيع ضرب طرفى المعادلة اعلاه فى دالة موجية ابساى لنحصل على معادلة شرودنجر

http://www.codecogs.com/eq.latex?%5Chuge%20i%5Chbar%5Cfrac% 7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial%20t%7D %5CPsi%28t,%5Cvec%7Bx%7D%29=-%5Cfrac%7B%5Chbar%5E2%7D%7B2m%7D%5C nabla%5E2%5CPsi%28t,%5Cvec%7Bx%7D%2 9+V%5CPsi%28t,%5Cvec%7Bx%7D%29

[محبة الرسول]

ما شاء الله أستاذ محمد قمت بالواجب وزيادة..

جزاكم الله خيرا على مجهوداتكم الرائعة..

[محمد ابوزيد]

اشكرك جدا

هذا الاثبات كتبه اخى الكريم د/ الصادق

[محمد ابوزيد]

ولكنى اعتقد ان اخى الكريم رجل الكم لا يقصد هذا الاثبات المباشر

بل يقصد اثبات معين درسه هو بالجامعة

[محمد ابوزيد]

وجدت هذه المشاركة باحد المنتديات

http://lmsat3.com/vb/t6479.html


معادلة شرودنجر
Schrِdinger Equation


نعلم أن أي موجة تنتشر في اتجاه واحد x يمكن وصفها من خلال المعادلة التفاضلية التالية:




(1) ....... http://lmsat3.com/vb/imgcache2/43265.gif


حيث F تمثل الدالة الموجية التي تعتمد على المكان x والزمن t. والسرعة http://www.lmsat3.com/uploud/uploads/images/lmsat3136a7c14fd.JPG تمثل سرعة الموجة (phase speed), فإذا كنا نتحدث على موجة صوتية مثلاً تنتشر في الهواء فإن الدالة الموجية F هي مقدار التغير في التضاغط والتخلخل في جزيئات الهواء والسرعة vph هي سرعة الصوت في الهواء وإذا كانت موجة ضوء فإن الدالة الموجية F هي التغير في المجال الكهربي والمغناطيسي والسرعة هي سرعة الضوء.


في حالة وصف جسيم بدالة موجية فإن مربع الدالة الموجية يعبر عن احتمالية رصد الجسيم في الفراغ في وحدة الزمن. وسوف نرمز لهذه الدالة الموجية بالرمز Y.


وحيث أن الدالة الموجية متغيرة في كل من المكان والزمان لذا سنفترض أنها تأخذ الصورة التالية:


Y(x,t) = y(x) f(t) ....... (2)

عند صياغة معادلة (http://lmsat3.com/vb/t6479.html) شرودنجر (http://lmsat3.com/vb/t6479.html) نفترض نظام مكون من جسيم يتحرك في بعد واحد x وينتشر كموجة وان هذا الجسيم يتفاعل مع ما يحيط به ومرتبط به من خلال دالة الجهد V وله طاقة كلية E ثابتة وسوف نفترض أن التردد معروف بدقة n=h/E لذا فإن الدالة f تكون دالة جيبية على النحو التالي:


f(t) = cos 2pn t ....... (3)

بالتعويض في المعادلة (1) بالدالة الموجية في المعادلة (2) نحصل على



http://lmsat3.com/vb/imgcache2/43266.gif



http://lmsat3.com/vb/imgcache2/43267.gif





بالــتــعــويــض فـي الــمــعــادلــة (1) نـحــصــل عـلـى





http://lmsat3.com/vb/imgcache2/43282.gif


http://lmsat3.com/vb/imgcache2/43283.gif


http://lmsat3.com/vb/imgcache2/43284.gif




(4) ....... http://lmsat3.com/vb/imgcache2/43285.gif





إذا كان الجسيم وكتلته m موجود في وسط له جهد V فتكون الطاقة الكلية E للجسيم والوسط هو مجموع طاقة الحركة Ek وطاقة الوضع الممثلة في الجهد V.




http://lmsat3.com/vb/imgcache2/43286.gif




(5) ....... http://lmsat3.com/vb/imgcache2/43287.gif



بالـتـعــويـض فـي الــمــعــادلـة (4) مـن الــمــعــادلـة (5)





(6) ....... http://lmsat3.com/vb/imgcache2/43288.gif





وهذه معادلة (http://lmsat3.com/vb/t6479.html) شرودينجر في بعد واحد والتي تفترض أن الجسيم ينتشر على شكل موجة وتسمى بالمعادلة الموجية وحيث أن الجسيم يتفاعل مع المحيط الموجود به من خلال الجهد V.


باستخدام معادلة (http://lmsat3.com/vb/t6479.html) شرودينجر على جسيم مرتبط بجهد V أي أن القوة التي يؤثر بها الوسط على الجسيم المرتبط معروفة يمكن إيجاد الدالة الموجية ومستويات الطاقة المسموحة وكمية الحركة. وحيث أن مربع الدالة الموجية يعبر عن احتمالية تواجد الجسيم في مكان x في وحدة الزمن فإن الحل المقبول للدالة الموجية y يجب أن يحقق الشروط الحدية التي يفرضها الجهد V وهذه الشروط الحدية سوف تؤدي إلى تكميم الطاقة للجسيم أي أن تكون هناك قيم محدد فقط للطاقة مسموحة.

ولتوضيح هذا سوف نطبق مـعادلة شرودينجـر على المثال السابق لجسيم في صندوق جهد لانهائي.

__________________________


Particle in one dimensional potential well of infinite height

من أسهل التطبيقات على معادلة (http://lmsat3.com/vb/t6479.html) شرودينجر هو حل مشكلة جسيم موجود داخل صندوق ذو بعد واحد L وجدار الصندوق تمثل جهد V لانهائي بحيث لا يمكن للجسيم ان يفلت من هذا الجهد وبالتالي فإن الجسيم سيحدد وجوده في المسافة بين x=0 و x=L. حيث يتحرك بحرية في هذا المدى بجهد يساوي صفر وتكون التصادمات بين الجسيم وجدار الصندوق هي تصادمات مرنة لا يفقد فيها الجسيم طاقة.




http://lmsat3.com/vb/imgcache2/43289.gif


بالتعويض عن قيمة الجهد V=0 في معادلة (http://lmsat3.com/vb/t6479.html) شرودنجر (http://lmsat3.com/vb/t6479.html) نحصل على




(7) ....... http://lmsat3.com/vb/imgcache2/43290.gif





بإعادة ترتيب المعادلة على الشكل التالي:


(8) ........ http://lmsat3.com/vb/imgcache2/43291.gif






حـــيـــث أن


http://lmsat3.com/vb/imgcache2/43292.gif







حيث أن الصندوق يمثل الجهد المطبق على الجسيم واعتبر أن جدار الصندوق ذات ارتفاع لانهائي بحيث لا يمكن للجسيم أن يتواجد خارج الصندوق لذا فإن الشروط الحدية هي:


V(x) = 0 for 0 < x < L
V(x) = ¥ for 0 > x < L
y(x) = 0 for 0 ³ x ³ L

والحل الذي يحقق المعادلة التفاضلية (7) يجب أن يكون متوافق مع الشروط الحدية السابقة أي أن


y(0) = 0 & y(L) = 0

والحل المناسب الذي يحقق تلك الشروط هو

y(x) = A sin Bx

نلاحظ أن الشرط y(0) = 0 محقق, ولكي يصبح الشرط الثاني y(L) = 0 محقق فإن BL=np حيث n عدد صحيح وبالتعويض عن B نحصل على




http://lmsat3.com/vb/imgcache2/43293.gif





وعليه تكون الطاقة للجسيم داخل صندوق الجهد هو




http://lmsat3.com/vb/imgcache2/43294.gif




وتكون الدالة الموجية له هي



http://lmsat3.com/vb/imgcache2/43295.gif










وهذه نفس النتائج التي حصلنا عليها في السابق والتي توضح أن الطاقة المسموحة للجسيم مكممة.

[محمد ابوزيد]

اذا لم تظهر المعادلات يمكنك الذهاب الى الرابط مباشرة

[Quantum man]

شكـرا لكما جزاكما الله خيرا :)