رجب مصطفى
09-01-2011, 01:50 AM
بسم الله الرحمن الرحيم
الحمد لله الذي صدق وعده، ونصر عبده، وأعز جنده، وهزم الأحزاب وحده، والصلاة السلام على من لا نبي بعده، رسوله الذي هدى به الأنام، وكشف به شبهات الأوهام، وعلى آله الطيبين الأطهار، وأصحابه المجاهدين الأبرار، الذين أغاظ الله بهم الكفار، وبسط بهم رحمته في جميع الأقطار
أما بعد:
الممتدات Tensors ... ما هي ؟!! وما أهميتها ؟!! ...
مقدمة ... الفضاء نوني البُعد N-Dimensional space :
إذا كان لدينا مجموعة مرتبة من المتغيرات الحقيقية (http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;%5Cleft&space;%5C%7B&space;x %5E%7B1%7D,x%5E%7B2%7D,...,x%5E%7Bi %7D,...,x%5E%7Bn%7D%5Cright&space;%5C%7D) تُمثل احداثيات نقطةٍ ما، فإن كل النقاط التي تُمثل قيم المتغيرات تُكوّن ما يُعرف بـ "الفضاء نوني البُعد N-Dimensional space" (أي ذي N من الأبعاد) ويُرمز له بالرمز http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;V_%7Bn%7D .
مع ملاحظة أن الأرقام http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;i=1,2,...,n تعمل هنا كـ "دليل" للإحداثيات وليست كـ "قوى".
وبالحديث عن الفضاء نوني البُعد http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;V_%7Bn%7D، يجب التطرق إلى "الفضاء الجزئي Subspace" http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;V_%7Bm%7D منه، حيث m < n.
فمثلاً ... إذا كانت n = 3، فهذا يعني أننا نتعامل بالفضاء ثلاثي الأبعاد http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;V_%7B3%7D، فإذا كانت منظومة الإحداثيات المستخدمة هي الإحداثيات الكارتيزية المتعامدة؛ فإن http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;x%5E%7B1%7D=x,x% 5E%7B2%7D=y,x%5E%7B3%7D=z ، وأن http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;V_%7B2%7D هو فضاء في المستوى كما أنه فضاء جزئي من http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;V_%7B3%7D. كذلك لو تعاملنا في http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;V_%7B3%7D بالإحداثيات الكروية، فإن http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;x%5E%7B1%7D=r,x% 5E%7B2%7D=%5Ctheta,x%5E%7B3%7D=%5Cp hi، وأن الفضاء الجزئي منه نحصل عليه عندما نتعامل مع الإحداثيات القطبية ... وهكذا!
ولمّا كنّا من المخلوقات ثلاثية الأبعاد، فإننا نجد صعوبة في تخيل فضاء أعظم يحتوي على أكثر من ثلاثة أبعاد، في حين أن محاولتنا لتخيل فضاء يحتوي على عدد أقل من ثلاثة أبعاد تبدو أكثر سهولة لنا ...فالسطح المستوي وسطح الجسم الكروي أو أي سطح أخر على سبيل المثال كلها فضاءات جزئية ثنائية الأبعاد، طالما أن موضع أي نقطة على هذه السطوح تتحدد برقمين لا أكثر ...
بالمثل ... الخط (منحنياً كان أو مستقيماً) يعتبر فضاءً جزئياً أحادي البُعد ... كما أن النقطة الواحدة هي فضاء جزئي بُعده صفراً ... إذ أنه لا يمكن وجود موضعين مختلفين على نقطة واحدة، ولكن من ذا الذي يهتم بأمر النقاط على أية حال !
يُتبع ...
الحمد لله الذي صدق وعده، ونصر عبده، وأعز جنده، وهزم الأحزاب وحده، والصلاة السلام على من لا نبي بعده، رسوله الذي هدى به الأنام، وكشف به شبهات الأوهام، وعلى آله الطيبين الأطهار، وأصحابه المجاهدين الأبرار، الذين أغاظ الله بهم الكفار، وبسط بهم رحمته في جميع الأقطار
أما بعد:
الممتدات Tensors ... ما هي ؟!! وما أهميتها ؟!! ...
مقدمة ... الفضاء نوني البُعد N-Dimensional space :
إذا كان لدينا مجموعة مرتبة من المتغيرات الحقيقية (http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;%5Cleft&space;%5C%7B&space;x %5E%7B1%7D,x%5E%7B2%7D,...,x%5E%7Bi %7D,...,x%5E%7Bn%7D%5Cright&space;%5C%7D) تُمثل احداثيات نقطةٍ ما، فإن كل النقاط التي تُمثل قيم المتغيرات تُكوّن ما يُعرف بـ "الفضاء نوني البُعد N-Dimensional space" (أي ذي N من الأبعاد) ويُرمز له بالرمز http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;V_%7Bn%7D .
مع ملاحظة أن الأرقام http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;i=1,2,...,n تعمل هنا كـ "دليل" للإحداثيات وليست كـ "قوى".
وبالحديث عن الفضاء نوني البُعد http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;V_%7Bn%7D، يجب التطرق إلى "الفضاء الجزئي Subspace" http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;V_%7Bm%7D منه، حيث m < n.
فمثلاً ... إذا كانت n = 3، فهذا يعني أننا نتعامل بالفضاء ثلاثي الأبعاد http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;V_%7B3%7D، فإذا كانت منظومة الإحداثيات المستخدمة هي الإحداثيات الكارتيزية المتعامدة؛ فإن http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;x%5E%7B1%7D=x,x% 5E%7B2%7D=y,x%5E%7B3%7D=z ، وأن http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;V_%7B2%7D هو فضاء في المستوى كما أنه فضاء جزئي من http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;V_%7B3%7D. كذلك لو تعاملنا في http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;V_%7B3%7D بالإحداثيات الكروية، فإن http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;x%5E%7B1%7D=r,x% 5E%7B2%7D=%5Ctheta,x%5E%7B3%7D=%5Cp hi، وأن الفضاء الجزئي منه نحصل عليه عندما نتعامل مع الإحداثيات القطبية ... وهكذا!
ولمّا كنّا من المخلوقات ثلاثية الأبعاد، فإننا نجد صعوبة في تخيل فضاء أعظم يحتوي على أكثر من ثلاثة أبعاد، في حين أن محاولتنا لتخيل فضاء يحتوي على عدد أقل من ثلاثة أبعاد تبدو أكثر سهولة لنا ...فالسطح المستوي وسطح الجسم الكروي أو أي سطح أخر على سبيل المثال كلها فضاءات جزئية ثنائية الأبعاد، طالما أن موضع أي نقطة على هذه السطوح تتحدد برقمين لا أكثر ...
بالمثل ... الخط (منحنياً كان أو مستقيماً) يعتبر فضاءً جزئياً أحادي البُعد ... كما أن النقطة الواحدة هي فضاء جزئي بُعده صفراً ... إذ أنه لا يمكن وجود موضعين مختلفين على نقطة واحدة، ولكن من ذا الذي يهتم بأمر النقاط على أية حال !
يُتبع ...