مُشتقة ليي، التناظرات و متجهات كيلنغ The Lie derivative, Symmetries and Killing vecto

[محمد ابوزيد]

http://dc11.arabsh.com/i/02855/r1wr6bty4q7q.gif

المصدر: كتب اخى الكريم د/ الصادق

http://thephysics.yoo7.com/t23-topic



مُشتقة ليي، التناظرات و متجهات كيلنغ
The Lie derivative, Symmetries and Killing vectors

1-تناظرات (تماثُلات) الممتد المتري


دعنا في البدية نشرح ما الذي نعنيه بتناظرات الممتد المتري. التناظر او التماثل في الممتد المتري هو عملية عدم تغير الممتد المتري عند إجراء تحويلات مُعينة، فمثلاً نستطيع ان نقول ان الممتد المتري في فضاء مينكوفسكي يخضع لتناظر تحت تحويلات بوينكاري (زمرة لورنتز هي زمرة جزئية من زمرة بوينكاري) اي ان زمرة بوينكاري هي زمرة لتناظرات الممتد المتري في فضاء مينكوفسكي. كذلك نستطيع ان نقول ان الممتد المتري للسطح الكروي له تناظر دوراني و ذلك لانه لا يتغير عند تدوير الكرة، ويمكن ان ننظر لعملية الدوران هذه من وجهتين : اما كتحويل إيجابي active transformation و ذلك عندما نقوم بتدوير سطح الكرة من دون ان يطرأ اي تغير عليها، أو كتحويل سلبي passive transformation وذلك عندما لا نقوم بتحيرك الكرة ولكن نقوم فقط بتدوير نظام الاحداثيات حيث ان النقاط على سطح الكرة لا تتغير و لكن تتغير تسمية تلك النقاط اي تصبح لها احداثيات جديدة في نظام الاحداثيات الجديد الذي حصلنا عليه بعد عملية الدوران. و هكذا وفقاً لوجهة النظر الاخيرة (التحويلات السلبية) فاننا نستطيع ان نعتبر التناظر على انه عملية عدم تغير الممتد المتري عند اجراء تحويلات إحداثية مُعينة.
لذلك دعنا نعتبر ممتد متري http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C120dpi&space;g_%7B%5Cmu%5Cnu %7D%28x%29 في نظام إحداثيات http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C120dpi&space;%5C%7Bx%5E%7B%5 Cmu%7D%5C%7D و قمنا بتغير نظام الاحداثيات http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C120dpi&space;x%5E%7B%5Cmu%7D %5Cto&space;y%5E%7B%5Cmu%7D%28x%29 فاننا سوف نحصل على ممتد متري http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C120dpi&space;g%27_%7B%5Cmu%5 Cnu%7D%28x%29 في نظام الاحداثيات الجديد و هو يُعطى بـ

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C150dpi&space;g%27_%7B%5Cmu%5 Cnu%7D%28y%28x%29%29=%5Cfrac%7B%5Cp artial&space;x%5E%7B%5Crho%7D%7D%7B%5Cpar tial&space;y%5E%7B%5Cmu%7D%7D%5Cfrac%7B%5 Cpartial&space;x%5E%7B%5Clambda%7D%7D%7B% 5Cpartial&space;y%5E%7B%5Cnu%7D%7Dg_%7B%5 Crho&space;%5Clambda%7D%28x%29&space;%5Cqquad&space;% 5Cqquad&space;%281%29

ومن المناقشة اعلاه فاننا نستنتج معنى التناظر، اي عدم تغير الممتد المتري عند اجراء تحويل إحداثي، بالتعبير التالي:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C150dpi&space;g%27_%7B%5Cmu%5 Cnu%7D%28x%29=g_%7B%5Cmu%5Cnu%7D%28 x%29&space;%5Cqquad&space;%5Cqquad&space;%282%29










http://img373.imageshack.us/img373/7384/14ii6.gif

[محمد ابوزيد]

http://dc11.arabsh.com/i/02855/r1wr6bty4q7q.gif

- مُشتقة ليي للدوال القياسية

الان نريد ان نترجم المناقشة السابقة في شكل شرط على التحويلات الإحداثية المتناهية الصغر التي تأخذ الصورة العامة التالية:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C150dpi&space;x%5E%7B%5Cmu%7D %5Cto&space;y%5E%7B%5Cmu%7D=x%5E%7B%5Cmu% 7D+%5Cepsilon&space;V%5E%7B%5Cmu%7D%5Cqqu ad&space;%5Cqquad&space;%283%29

لتوليد (إنتاج) تناظر للممتد المتري. في المعادلة السابقة نجد ان http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C120dpi&space;%5Cepsilon تمثل مقدار متناهي الصغر و http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C120dpi&space;V%5E%7B%5Cmu%7D عبارة عن حقل إتجاهي (متجه) و ذلك نسبة لانه على الرغم من ان الإحداثيات لا تتحول كتحول المتجهات، الا ان التغيرات المتناهية في الصغر للاحداثيات تتحول كمتجهات
http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C150dpi&space;%5Cdelta&space;z%5E%7 B%5Clambda%7D=%5Cfrac%7B%5Cpartial&space; z%5E%7B%5Clambda%7D%7D%7B%5Cpartial &space;x%5E%7B%5Cmu%7D%7D%5Cdelta&space;x%5E%7B %5Cmu%7D%5Cqquad&space;%5Cqquad&space;%284%29
لذلك يمكن ان نتعامل مع http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C120dpi&space;%5Cdelta&space;x%5E%7 B%5Cmu%7D على انها http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C120dpi&space;%5Cepsilon&space;V%5E %7B%5Cmu%7D. الان نفترض ان لدينا دالة قياسية http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C120dpi&space;%5Cphi%28x%29 و اذا قمنا باجراء التحويل الاحداثي متناهي الصغر (3) فان الدالة القياسية سوف تعتمد على الاحداثي الجديد http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C120dpi&space;%5Cphi%28y%28x% 29%29 و هكذا يمكننا مقارنة http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C120dpi&space;%5Cphi%28y%28x% 29%29 المُعرفة في نظام الاحداثيات x مع http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C120dpi&space;%5Cphi%27%28y%2 8x%29%29 المُعرفة في نظام الاحداثيات الجديد y، و لما كانت الدالة القياسية غير متغيرة عند التحويل من مناط احداثي الى آخر فان http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C120dpi&space;%5Cphi%27%28y%2 8x%29%29=%5Cphi%28x%29. و لذلك فان


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C150dpi&space;%5Cphi%28y%28x% 29%29-%5Cphi%27%28y%28x%29%29=%5Cphi%28y% 28x%29%29-%5Cphi%28x%29=%5Cphi%28x+%5Cepsilon &space;V%29-%5Cphi%28x%29%5Cqquad%5Cqquad%20%28 5%29

وباجراء تمديد (مفكوك) تايلور للدالة http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C120dpi&space;%5Cphi%28x+%5Ce psilon&space;V%29 حول النقطة x نحصل على


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C150dpi&space;%5Cphi%28x+%5Ce psilon&space;V%29=%5Cphi%28x%29+%5Cepsilo n&space;V%5E%7B%5Cmu%7D%5Cpartial_%7B%5Cm u%7D%5Cphi%28x%29+%5Cfrac%7B%5Cepsi lon%5E2%7D%7B2%21%7DV%5E%7B%5Cmu%7D V%5E%7B%5Cnu%7D%5Cpartial_%7B%5Cmu% 7D%5Cpartial_%7B%5Cnu%7D%5Cphi%28x% 29+...

و لما كانت http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C120dpi&space;%5Cepsilon متناهية في الصغر فاننا سوف نهمل مربعها و نكتفي فقط بالحدود الاول (الرتبة الصفرية http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C120dpi&space;%5Cepsilon%5E0) و الثاني في المفكوك (الرتبة الاولى http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C120dpi&space;%5Cepsilon%5E1) اي ان :



http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C150dpi&space;%5Cphi%28x+%5Ce psilon&space;V%29-%5Cphi%28x%29=%5Cepsilon&space;V%5E%7B%5C mu%7D%5Cpartial_%7B%5Cmu%7D%5Cphi%2 8x%29

و بالتعويض في المعادلة (5) سوف نحصل على

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C150dpi&space;%5Cphi%28y%28x% 29%29-%5Cphi%27%28y%28x%29%29=%5Cepsilon&space; V%5E%7B%5Cmu%7D%5Cpartial_%7B%5Cmu% 7D%5Cphi%28x%29%5Cqquad&space;%5Cqquad&space;%2 86%29

وبقسمة الطرفين على http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C120dpi&space;%5Cepsilon و اخذ النهاية عند http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C120dpi&space;%5Cepsilon%20%5 Cto%200 (هذا يبرر اسقاط الحد الذي يحتوي على مربع http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C120dpi&space;%5Cepsilon في مفكوك تايلور) فسوف نحصل على تعريف مشتقة ليي على الدوال القياسية

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C150dpi&space;%5Cboxed%7B%5Cp ounds_%7BV%7D%5Cphi:=%5Clim_%7B%5Ce psilon&space;%5Cto&space;0%7D&space;%5Cfrac%7B%5Cphi% 28y%28x%29%29-%5Cphi%27%28y%28x%29%29%7D%7B%5Ceps ilon%7D=&space;V%5E%7B%5Cmu%7D%5Cpartial_ %7B%5Cmu%7D%5Cphi%28x%29%5Cqquad&space;%5 Cqquad&space;%286%29%7D

ومن هنا نلاحظ ان مشتقة ليي على الدوال القيايسة هي ببساطة عبارة عن المشتقة الإتجاهية الاعتيادية، وهذا شئ متوقع جداً لانه اذا كانت الدالة تخضع لتناظر ما في اتجاه معين (المتجه V) فيجب ان تنعدم مشتقتها في ذالك الاتجاه اي لا تتغير قيمتها و تظل ثابة في ذلك الاتجاه.







http://img373.imageshack.us/img373/7384/14ii6.gif

[محمد ابوزيد]

http://dc11.arabsh.com/i/02855/r1wr6bty4q7q.gif

-مُشتقة ليي للحقول الإتجاهية

الان سوف نتبع نفس الخطوات السابقة حتى نحصل مشتقة ليي للحقول الإتجاهية، ومن اجل هذا الغرض دعنا نفترض متجه http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C120dpi&space;U%5E%7B%5Cmu%7D وتحول احدجاثي متناهي الصغر (3) وطالما ان تحويل المتجه عموماً يأخذ الصورة التالية:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C150dpi&space;U%27%5E%7B%5Cmu %7D%28y%28x%29%29=%5Cfrac%7B%5Cpart ial&space;y%5E%7B%5Cmu%7D%7D%7B%5Cpartial &space;x%5E%7B%5Cnu%7D%7DU%5E%7B%5Cnu%7D% 28x%29%5Cqquad&space;%5Cqquad&space;%286%29

فاننا نحتاج ان نحسب المصفوفة http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C120dpi&space;%5Cpartial&space;y%5E %7B%5Cmu%7D/%5Cpartial&space;x%5E%7B%5Cnu%7D باستخدام التحويل متناهي الاصغر (3).

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C150dpi&space;%5C%5C&space;y%5E%7B% 5Cmu%7D=x%5E%7B%5Cmu%7D+%5Cepsilon&space; V%5E%7B%5Cmu%7D%5CRightarrow&space;%5Cqqu ad&space;%5Cfrac%7B%5Cpartial&space;y%5E%7B%5Cm u%7D%7D%7B%5Cpartial&space;x%5E%7B%5Cnu%7 D%7D=%5Cdelta_%7B%5Cnu%7D%5E%7B%5Cm u%7D+%5Cepsilon%5Cpartial_%7B%5Cnu% 7DV%5E%7B%5Cmu%7D

و بالتعويض في المعادلة (6) نحصل على

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C150dpi&space;U%27%5E%7B%5Cmu %7D%28y%28x%29%29=%28%5Cdelta_%7B%5 Cnu%7D%5E%7B%5Cmu%7D+%5Cepsilon%5Cp artial_%7B%5Cnu%7DV%5E%7B%5Cmu%7D%2 8x%29%29U%5E%7B%5Cnu%7D%28x%29=U%5E %7B%5Cmu%7D%28x%29+%5Cepsilon&space;U%5E% 7B%5Cnu%7D%28x%29%5Cpartial_%7B%5Cn u%7DV%5E%7B%5Cmu%7D%28x%29%5Cqquad&space; %5Cqquad&space;%287%29



وبايجاد مفكوك تايلور للمتجه http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C120dpi&space;U%5E%7B%5Cmu%7D %28y%28x%29%29 حول النقطة x

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C150dpi&space;U%5E%7B%5Cmu%7D %28y%28x%29%29=U%5E%7B%5Cmu%7D%28x+ %5Cepsilon&space;V%29=U%5E%7B%5Cmu%7D%28x %29+%5Cepsilon&space;V%5E%7B%5Cnu%7D%5Cpa rtial_%7B%5Cnu%7DU%5E%7B%5Cmu%7D%28 x%29+%5Cfrac%7B%5Cepsilon%5E2%7D%7B 2%21%7DV%5E%7B%5Cnu%7DV%5E%7B%5Clam bda%7D%5Cpartial_%7B%5Cnu%7D%5Cpart ial_%7B%5Clambda%7DU%5E%7B%5Cmu%7D% 28x%29+...

مكتفين بالحدين الاول والثاني في المفكوك اي بعد إهمال الحد الذي يحتوي على مربع http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C120dpi&space;%5Cepsilon سوف نجد ان :


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C150dpi&space;U%5E%7B%5Cmu%7D %28y%28x%29%29=U%5E%7B%5Cmu%7D%28x% 29+%5Cepsilon&space;V%5E%7B%5Cnu%7D%5Cpar tial_%7B%5Cnu%7DU%5E%7B%5Cmu%7D%28x %29%5Cqquad&space;%288%29

الان بطرح المعادلة (7) من المعادلة (8) سوف نحصل على

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C150dpi&space;U%5E%7B%5Cmu%7D %28y%28x%29%29-U%27%5E%7B%5Cmu%7D%28y%28x%29%29=%5 Cepsilon&space;V%5E%7B%5Cnu%7D%5Cpartial_ %7B%5Cnu%7DU%5E%7B%5Cmu%7D%28x%29-%5Cepsilon&space;U%5E%7B%5Cnu%7D%5Cpartia l_%7B%5Cnu%7DV%5E%7B%5Cmu%7D%28x%29

وبقسمة الطرفين على http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C120dpi&space;%5Cepsilon و أخذ النهاية عند http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C120dpi&space;%5Cepsilon%20%5 Cto%200 فسوف نحصل على تعريف مشتقة ليي للمتجه U بواسطة المتجه V

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C150dpi&space;%5Cboxed%7B%5Cp ounds_%7BV%7DU%5E%7B%5Cmu%7D:=%5Cli m_%7B%5Cepsilon&space;%5Cto&space;0%7D%5Cfrac%7 BU%5E%7B%5Cmu%7D%28y%28x%29%29-U%27%5E%7B%5Cmu%7D%28y%28x%29%29%7D %7B%5Cepsilon&space;%7D=V%5E%7B%5Cnu%7D%5 Cpartial_%7B%5Cnu%7DU%5E%7B%5Cmu%7D-U%5E%7B%5Cnu%7D%5Cpartial_%7B%5Cnu% 7DV%5E%7B%5Cmu%7D%5Cqquad&space;%5Cqquad% 289%29%7D







http://img373.imageshack.us/img373/7384/14ii6.gif

[محمد ابوزيد]

اشكرك جدا جدا اخى العزيز د/ الصادق

حفظ الله اخلاصك لله وصحبة الرسول صلى الله عليه وسلم يقظة ومناما دنيا وآخرة

وصلى الله على سيدنا محمد وعلى اله وصحبه وسلم



http://www.samysoft.net/forumim/shokr/2/80898296.gif


اخوكم / محمد ابوزيد

[رجب مصطفى]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

جزاك الله خيراً على الموضوع أخينا / أبو آية ... على نقل الموضوع الرائع والمتوقع طبعاً من أستاذنا الغالي / الصادق ... جزاه ربي خيري الدنيا والأخرة ...

في أمان الله

[ام زاهيه]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

الحمدلله والصلاة والسلام على رسول الله وعلى آله وصحبه أجمعين

شـكــ وبارك الله فيك ـــرا لك ... (http://www.arabia-ms.com/). (http://arabia-ms.com/). لك مني أجمل تحية .