بين النسبية الخاصة والعامة

[محمد ابوزيد]

بين النسبية الخاصة والعامة

المطلوب ايجاد تحويلات لورنتز فى النسبية الخاصة لجسم يتحرك بسرعة نسبية تساوى سرعة الهروب

ومقارنتها بتحويلات لورنتز فى النسبية العامة


نبدأ الان وسنستخدم قوانين نيوتن والنسبية الخاصة ثم نقارنها مع نتائج النسبية العامة

[محمد ابوزيد]

ايجاد سرعة الهروب

ساستعين هنا بمقالة لدكتور الصادق


اذا قمنا بقذف حجر راسيا الى اعلى من سطح الارض بسرعة v , فان الحجر سوف يقطع مسافة راسية y قبل ان يسقط مرة اخرى الى الارض والان دعنا نقذف الحجر مرة اخرى ولكن هذه المرة بسرعة اكبر فنجد ان الحجر سوف يقطع مسافة اكبر الا ان الجاذبية الارضية سوف تتغلب عليه وتجعله يسقط مرة اخرى الى سطح الارض, ولكن اذا قذفنا الحجر بسرعة كبيرة جدا اكبر من سرعة الافلات فان الحجر سوف يتغلب على الجاذبية الارضية ولن يسقط مرة اخرى بل سوف يهرب تماما من الارض
اى لكى يفلت الحجر من جاذبية الارض لابد على الاقل ان تساوى طاقته الحركية طاقة الجذب التثاقلى للارض

http://www.codecogs.com/eq.latex?%5Chuge%20%5Ccolor%7Bred%7 D%7B%5Cfrac%7BMv%5E2%7D%7B2%7D=%5Cf rac%7BGMm%7D%7BR%7D%7D

حيث M هى كتلة الارض , m كتلة الحجر, R نصف قطر الارض و G ثابت الجذب العام
وهذه المعادلة تقودنا الى ان مربع السرعة يعطى ب


http://www.codecogs.com/eq.latex?%5Chuge%20%5Ccolor%7Bred%7 D%7Bv%5E2=%5Cfrac%7B2GM%7D%7BR%7D%7 D

[محمد ابوزيد]

تحويلات لورنتز:

تحويلات لورنتز هى:



http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5CLARGE%20%7Bx%7D%27=%5C beta%20%28x-vt%29

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5CLARGE%20%7Bt%7D%27=%5C beta%28%20t-%28%5Cfrac%7Bv%7D%7Bc%5E%7B2%7D%7D% 29x%29


حيث
http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5CLARGE%20%5Cbeta%20=%5C frac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B1-%5Cfrac%7Bv%5E%7B2%7D%7D%7Bc%5E%7B2 %7D%7D%7D%7D

[محمد ابوزيد]

انكماش فتزجيرالد_لورنتز Fitzgerald_Lorentz contraction
http://faculty.etsu.edu/gardnerr/einstein/g-lorentz.bmp
إعتبر قضيبين مدرجين متماثلين تماما عندما يكونا ساكنين بالنسبة الى بعضهما , ثبت القضيبين فى وضع مواز للمحور http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5CLARGE%20ox
أحدهما فى الاطار http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5CLARGE%20s والاخر فى http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5CLARGE%20%7Bs%7D%27

بحيث يسهل مقارنة تدرجهما عند انزلاق أحدهما على الآخر

[محمد ابوزيد]

دع الملاحظ http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5CLARGE%20B فى http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5CLARGE%20%7Bs%7D%27 يصنع علامتين على قضيبه تحدد مسافة http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5CLARGE%20d%7Bx%7D%27 , و الملاحظ http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5CLARGE%20A يرقب حدثى إنطباق طرفى المسافة على تدارج قضيبه عندما يتحرك http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5CLARGE%20%7Bs%7D%27 مارا به


فى هذه الحالة يجب ان يسجل http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5CLARGE%20A الحادثين فى نفس اللحظة اى عندما
http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5CLARGE%20dt=0

من تحويل لورنتز:
http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5CLARGE%20d%7Bx%7D%27=%5 Cbeta%20%28dx-vdt%29

نجد أن:
http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5CLARGE%20d%7Bx%7D%27=%5 Cbeta%20dx
اى ان:
http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5CLARGE%20d%7Bx%7D%27=%5 Cfrac%7Bdx%7D%7B%5Csqrt%7B1-%5Cfrac%7Bv%5E%7B2%7D%7D%7Bc%5E%7B2 %7D%7D%7D%7D

حيث http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5CLARGE%20v سرعة http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5CLARGE%20%7Bs%7D%27 بالنسبة الى http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5CLARGE%20s

يمكن وضع المعادلة السابقة على الصورة

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5CLARGE%20dx=d%7Bx%7D%27 %5Csqrt%7B1-%5Cfrac%7Bv%5E%7B2%7D%7D%7Bc%5E%7B2 %7D%7D%7D

[محمد ابوزيد]

الان بالتعويض عن السرعة النسبية بسرعة الهروب:

http://www.codecogs.com/eq.latex?%5Chuge%20%5Ccolor%7Bred%7 D%7Bv%5E2=%5Cfrac%7B2GM%7D%7BR%7D%7 D


فى انكماش فتزجيرالد_لورنتز
Fitzgerald_Lorentz contraction


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5CLARGE%20dx=d%7Bx%7D%27 %5Csqrt%7B1-%5Cfrac%7Bv%5E%7B2%7D%7D%7Bc%5E%7B2 %7D%7D%7D

[محمد ابوزيد]

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5CLARGE%20dx=d%7Bx%7D%27 %5Csqrt%7B1-%5Cfrac%7B%5Cfrac%7B2GM%7D%7BR%7D%7 D%7Bc%5E%7B2%7D%7D%7D



http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5CLARGE%20dx=d%7Bx%7D%27 %5Csqrt%7B1-%5Cfrac%7B2GM%7D%7B%20Rc%5E%7B2%7D% 7D%7D

هذه المعادلة تعطى انكماش فيتزجيرالد لورنتز لجسم يتحرك بسرعة نسبية تساوى سرعة الهروب تبعا للنظرية النسبية الخاصة

يمكن وضعها فى الصورة:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5CLARGE%20dx=d%7Bx%7D%27 %281-%5Cfrac%7BGM%7D%7BRc%5E%7B2%7D%7D%2 9%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D

او فى الصورة:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5CLARGE%20dx%27=d%7Bx%7D %281-%5Cfrac%7BGM%7D%7BRc%5E%7B2%7D%7D%2 9%5E%7B%5Cfrac%7B-1%7D%7B2%7D%7D

[محمد ابوزيد]

الان لنذهب الى النسبية العامة لنرى

انكماش الطول فى حقل جاذبى

[محمد ابوزيد]

انكماش الطول فى حقل جاذبى
http://www.mth.uct.ac.za/omei/gr/chap8/img60.gif

[محمد ابوزيد]

الان اذا استعرضنا الزمن المحلى فى النسبية الخاصة بالتعويض عن سرعة الهروب ستجده مكافئا

لتمدد الوقت فى حقل الجاذبية:

تمدد الوقت في حقل الجاذبية


http://www.mth.uct.ac.za/omei/gr/chap8/img54.gif أي http://www.mth.uct.ac.za/omei/gr/chap8/img55.gif لدينا
http://www.mth.uct.ac.za/omei/gr/chap8/img56.gif
هى العلاقة بين الزمن المحلى وطول القوسhttp://www.mth.uct.ac.za/omei/gr/chap8/img57.gif ، لذلك
http://www.mth.uct.ac.za/omei/gr/chap8/img58.gif
الساعات تبطىء فى حقل الجاذبية.