معادلات لاجرانج ... والنسبية الخاصة !

[رجب مصطفى]

بسم الله الرحمن الرحيم

الحمد لله الذي صدق وعده، ونصر عبده، وأعز جنده، وهزم الأحزاب وحده، والصلاة السلام على من لا نبي بعده، رسولٍه الذي هدى به الأنام، وكشف به شبهات الأوهام، وعلى آله الطيبين الأطهار، وأصحابه المجاهدين الأبرار، الذين أغاظ الله بهم الكفار، وبسط بهم رحمته في جميع الأقطار.



أما بعد:




معادلات لاجرانج ... والنسبية الخاصة !

Lagrange Equations ... and Special Relativity !





معادلات لاجرانج في المكانيكا التقليدية ...


لا تنبع أهمية معادلة لاجرانج (Lagrange formulation) من خلال تطبيقاتها الواسعة، إنما أيضاً تعزز الفهم الفيزيائي العميق. وعلى الرغم من أن بداية اللاجرانجيان سعت إلى وصف الميكانيكا الكلاسيكية، إلا أن مبدأ الفعل (The Action Principle) الذي استخدمه لاجرانج لاشتقاق معادلته ذو تطبيقات واسعة في ميكانيكا الكم.


في الميكانيكا الكلاسيكية، يُعرّف الـ "لاجرانجيان" على أنه الفرق بين طاقة الحركة kinetic energy لنظامٍ ما وطاقة وضعه potential energy.


وحيث أن طاقة الوضع هي دالة في الإحداثيات http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;%5Cdpi%7B120%7D&space; %5Cbg_white&space;V%28q%29 ، في حين أن طاقة الحركة هي دالة في السرعة (المشتق الزمني لإحداثي الموضع) http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;%5Cdpi%7B120%7D&space; %5Cbg_white&space;T%28%5Cdot&space;q&space;%29 ، إذاً يمكن التعبير عن الـ "لاجرانجيان" http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;%5Cdpi%7B120%7D&space; %5Cbg_white&space;%5Cmathcal&space;L بالصورة:



http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;%5Cdpi%7B120%7D&space; %5Cbg_white&space;%5Cmathcal&space;L=T%28%5Cdot &space;q&space;%29-V%28q%29%5Cquad&space;%5Cto&space;%281%29



حيث http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;%5Cdpi%7B120%7D&space; %5Cbg_white&space;q هو إحداثي عام generalized coordinate، و http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;%5Cdpi%7B120%7D&space; %5Cbg_white&space;%5Cdot&space;q هو المشتق الزمني time-derivative للإحداثي العام السابق.


والآن ... بتفاضل المعادلة (1) بالنسبة للإحداثي العام http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;%5Cdpi%7B120%7D&space; %5Cbg_white&space;q نجد أن:



http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;%5Cdpi%7B120%7D&space; %5Cbg_white&space;%5Cfrac%7B%5Cpartial&space;%5 Cmathcal&space;L%7D%7B%5Cpartial&space;q%7D=-%5Cfrac%7B%5Cpartial&space;V%28q%29%7D%7B %5Cpartial&space;q%7D=&space;F_%7Bq%7D%5Cquad&space;% 28Force%29%5Cquad&space;%5Cto&space;%282%29



حيث http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;%5Cdpi%7B120%7D&space; %5Cbg_white&space;F_%7Bq%7D هي مركبة القوة في إتجاه الإحداثي http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;%5Cdpi%7B120%7D&space; %5Cbg_white&space;q .


وبتفاضل (1) مرة أخرى بالنسبة للمشتق الزمني للإحداثيات العامة، أي السرعة، نجد أن:



http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;%5Cdpi%7B120%7D&space; %5Cbg_white&space;%5Cfrac%7B%5Cpartial&space;%5 Cmathcal&space;L%7D%7B%5Cpartial&space;%5Cdot&space;q %7D=%5Cfrac%7B%5Cpartial&space;T%28%5Cdot &space;q%29%7D%7B%5Cpartial&space;%5Cdot&space;q%7D=&space; P_%7Bq%7D%5Cquad&space;%28Momentum%29%5Cq uad&space;%5Cto&space;%283%29



حيث http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;%5Cdpi%7B120%7D&space; %5Cbg_white&space;P_%7Bq%7D هي مركبة كمية الحركة في إتجاه الإحداثي http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;%5Cdpi%7B120%7D&space; %5Cbg_white&space;q . ولكن:



http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;%5Cdpi%7B120%7D&space; %5Cbg_white&space;F_%7Bq%7D=%5Cfrac%7Bd%7 D%7Bdt%7DP_%7Bq%7D&space;%5Cquad&space;%5CRight arrow&space;%5Cquad&space;F_%7Bq%7D=%5Cfrac%7Bd %7D%7Bdt%7D%5Cleft&space;%28&space;%5Cfrac%7B%5 Cpartial&space;%5Cmathcal&space;L%7D%7B%5Cparti al&space;%5Cdot&space;q%7D&space;%5Cright&space;%29&space;%5Cto&space;% 5Cquad&space;%284%29



من (2) و (4)، نجد أن:




http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;%5Cdpi%7B120%7D&space; %5Cbg_white&space;%7B%5Ccolor%7BRed%7D&space;%5 Cfrac%7Bd%7D%7Bdt%7D%5Cleft&space;%28&space;%5C frac%7B%5Cpartial&space;%5Cmathcal&space;L%7D%7 B%5Cpartial&space;%5Cdot&space;q%7D&space;%5Cright&space;%2 9&space;=&space;%5Cfrac%7B%5Cpartial&space;%5Cmathcal &space;L%7D%7B%5Cpartial&space;&space;q%7D&space;%5Cquad&space;%5 CLeftrightarrow&space;%5Cquad&space;%5Cfrac%7Bd %7D%7Bdt%7D%5Cleft&space;%28&space;%5Cfrac%7B%5 Cpartial&space;%5Cmathcal&space;L%7D%7B%5Cparti al&space;%5Cdot&space;q%7D&space;%5Cright&space;%29&space;-&space;%5Cfrac%7B%5Cpartial&space;%5Cmathcal&space;L% 7D%7B%5Cpartial&space;&space;q%7D&space;=&space;0&space;%5Cquad&space;% 5Cto&space;%5Cquad&space;%285%29%7D




وهذه هي معادلات "لاجرانج"، أو بتسميةً أدق، معادلات "أويلر – لاجرانج" Euler-Lagrange equations .


يُتبع ...

[رجب مصطفى]

معادلات لاجرانج في النسبية الخاصة ...


من معلوماتنا عن مبادئ النظرية النسبية الخاصة، عند السرعات العالية (أي التي تقترب من سرعة الضوء)، تكون طاقة الحركة النسبية عبارة عن الفرق بين الطاقة الكلية total energy والطاقة السكونية (أو طاقة الكتلة السكونية) rest mass energy، أي:



http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;%5Cbg_white&space;T=mc %5E%7B2%7D-&space;m_%7B0%7Dc%5E%7B2%7D=m_%7B0%7Dc%5E %7B2%7D%5Cleft&space;%28&space;%5Cfrac%7B1%7D%7 B%5Csqrt%7B1-%5Cbeta%5E%7B2%7D%7D%7D&space;-1%5Cright&space;%29%5Cquad&space;%5Cto&space;%286%29% 5Cquad&space;:&space;%5Cbeta&space;=%5Cfrac%7Bv%7D%7B c%7D



والآن ... بإعتبار مركبة طاقة الحركة في الإتجاه السيني، ثم التفاضل بالنسبة لمركبة السرعة في نفس الإتجاه، نجد أن:



http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;%5Cbg_white&space;%5Cf rac%7B%5Cpartial&space;T_%7Bx%7D%7D%7B%5C partial&space;%5Cdot&space;x%7D=%5Cfrac%7Bm_%7B 0%7D&space;%5Cdot&space;x%7D%7B%5Cleft&space;%28&space;1-%5Cbeta%5E%7B2%7D&space;%5Cright&space;%29%5E%7 B3/2%7D%7D%5Cneq&space;P_%7Bx%7D=%5Cfrac%7Bm _%7B0%7D&space;%5Cdot&space;x%7D%7B%5Cleft&space;%28&space; 1-%5Cbeta%5E%7B2%7D&space;%5Cright&space;%29%5E%7 B1/2%7D%7D



أي أن الصيغة السابقة لطاقة الحركة لا تسمح لنا بإستنتاج القيمة الصحيحة لكمية الحركة كما هي في النسبية !


إذاً ... ما الحل ؟!


الحل هو أن نفترض دالة أخري لطاقة الحركة، ولتكن http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;%5Cbg_white&space;T%27 ، تحقق المعادلة:



http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;%5Cbg_white&space;%5Cf rac%7B%5Cpartial&space;T%27_%7Bx%7D%7D%7B %5Cpartial&space;%5Cdot&space;x%7D=%5Cfrac%7Bm_ %7B0%7D&space;%5Cdot&space;x%7D%7B%5Cleft&space;%28&space;1-%5Cbeta%5E%7B2%7D&space;%5Cright&space;%29%5E%7 B1/2%7D%7D=&space;P_%7Bx%7D



ولكن:



http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;%5Cbg_white&space;dT%2 7&space;=&space;%5Cfrac%7B%5Cpartial&space;T%27_%7Bx% 7D%7D%7B%5Cpartial&space;%5Cdot&space;x%7D&space;d&space;%5 Cdot&space;x+%5Cfrac%7B%5Cpartial&space;T%27_%7 By%7D%7D%7B%5Cpartial&space;%5Cdot&space;y%7D&space;d &space;%5Cdot&space;y&space;+&space;%5Cfrac%7B%5Cpartial&space;T% 27_%7Bz%7D%7D%7B%5Cpartial&space;%5Cdot&space;z %7D&space;d&space;%5Cdot&space;z



ومنها:



http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;%5Cbg_white&space;dT%2 7&space;=%5Cfrac%7Bm_%7B0%7D%7D%7B%5Cleft &space;%28&space;1-%5Cbeta%5E%7B2%7D&space;%5Cright&space;%29%5E%7 B1/2%7D%7D%5Cleft&space;%28&space;%5Cdot&space;x&space;d&space;%5Cdo t&space;x&space;+%5Cdot&space;y&space;d&space;%5Cdot&space;y+%5Cdot&space;z&space;d &space;%5Cdot&space;z%5Cright&space;%29



أو:



http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;%5Cbg_white&space;dT%2 7&space;=%5Cfrac%7Bm_%7B0%7D%7D%7B%5Cleft &space;%28&space;1-%5Cbeta%5E%7B2%7D&space;%5Cright&space;%29%5E%7 B1/2%7D%7Dvdv



وبدلالة http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;%5Cbg_white&space;%5Cb eta ، حيث:



http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;%5Cbg_white&space;v=&space;c &space;%5Cbeta&space;,&space;%5Cquad&space;dv=&space;c&space;d%5Cbeta,&space; %5Cquad&space;%5CRightarrow&space;%5Cquad&space;vdv=&space; c%5E%7B2%7D&space;%5Cbeta&space;d&space;%5Cbeta



إذاً ...



http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;%5Cbg_white&space;%5Cl arge&space;%5Cbg_white&space;dT%27&space;=%5Cfrac%7Bm _%7B0%7Dc%5E%7B2%7D%7D%7B%5Cleft&space;%2 8&space;1-%5Cbeta%5E%7B2%7D&space;%5Cright&space;%29%5E%7 B1/2%7D%7D%5Cbeta&space;d&space;%5Cbeta



وبالتكامل:



http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;%5Cbg_white&space;%5Cl arge&space;%5Cbg_white&space;T%27&space;=m_%7B0%7Dc%5 E%7B2%7D%5Cint&space;%5Cfrac%7B%5Cbeta&space;d&space; %5Cbeta%7D%7B%5Csqrt%7B1-%5Cbeta%5E%7B2%7D%7D%7D



يُتبع ...

[رجب مصطفى]

وحل هذا التكامل بسيط وهو على النحو التالي:



http://hazemsakeek.com/up/download.php?img=2736



بفرض أن:



http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;%5Cbg_white&space;%5Ca lpha&space;=&space;%5Csqrt%7B1-%5Cbeta%5E%7B2%7D%7D,&space;%5Cquad&space;%5Cbe ta&space;=&space;%5Csqrt%7B1-%5Calpha%5E%7B2%7D%7D,&space;%5Cquad&space;d&space;%5 Cbeta&space;=&space;-&space;%5Cfrac%7B&space;%5Calpha%7D%7B%5Csqrt%7 B1-%5Calpha%5E%7B2%7D%7D%7D&space;d&space;%5Calpha



إذاً ... بعد التعويض ... نجد أن:



http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;%5Cbg_white&space;T%27 =-&space;m_%7B0%7Dc%5E%7B2%7D%5Cint&space;d&space;%5Cal pha=&space;-&space;m_%7B0%7Dc%5E%7B2%7D&space;%5Calpha&space;+&space;A&space; %5Cquad&space;%28constant%29



أو:



http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;%5Cbg_white&space;T%27 =&space;-&space;m_%7B0%7Dc%5E%7B2%7D%5Cleft&space;% 28&space;1-%5Cfrac%7Bv%5E%7B2%7D%7D%7Bc%5E%7B2 %7D%7D&space;%5Cright&space;%29%5E%7B1/2%7D&space;+&space;A&space;%5Cquad&space;%5Cto&space;%5Cquad&space;%287 %29



وعند السرعات المنخفضة، نجد أن:



http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;%5Cbg_white&space;at&space;% 5C;&space;v%3C%3Cc&space;%5C;&space;%5CRightarrow&space;%5C ;&space;%5Cleft&space;%28&space;1-%5Cfrac%7Bv%5E%7B2%7D%7D%7Bc%5E%7B2 %7D%7D&space;%5Cright&space;%29%5E%7B1/2%7D&space;%5Csim&space;1&space;-&space;%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D&space;%5Cfrac%7Bv% 5E%7B2%7D%7D%7Bc%5E%7B2%7D%7D&space;%5Cqu ad&space;and&space;%5C;&space;%5C;&space;T%27=%5Cfrac%7B1%7 D%7B2%7Dm_%7B0%7Dv%5E%7B2%7D



وعليه، بالتعويض في (7):



http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;%5Cbg_white&space;%5Cf rac%7B1%7D%7B2%7Dm_%7B0%7Dv%5E%7B2% 7D=&space;-&space;m_%7B0%7Dc%5E%7B2%7D+%5Cfrac%7B1%7 D%7B2%7Dm_%7B0%7Dv%5E%7B2%7D&space;+&space;A&space;%5 Cquad&space;%5Cto&space;%5Cquad&space;A&space;=&space;m_%7B0%7Dc% 5E%7B2%7D



وبالتالي:



http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;%5Cbg_white&space;%5Cl arge&space;%5Cbg_white&space;T%27=&space;-&space;m_%7B0%7Dc%5E%7B2%7D%5Cleft&space;% 28&space;1-%5Cfrac%7Bv%5E%7B2%7D%7D%7Bc%5E%7B2 %7D%7D&space;%5Cright&space;%29%5E%7B1/2%7D&space;+&space;m_%7B0%7Dc%5E%7B2%7D



أو:



http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;%5Cbg_white&space;%5Cl arge&space;%5Cbg_white&space;T%27=m_%7B0%7Dc%5E %7B2%7D%5Cleft&space;%28&space;1-%5Csqrt%7B1-&space;%5Cbeta&space;%5E%7B2%7D&space;%7D%5Cright&space;%29 %5Cquad&space;%5Cto&space;%5Cquad&space;%288%29



وعليه تصبح معادلة "لاجرانج" في النسبية على الصورة:



http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;%5Cbg_white&space;%7B% 5Ccolor%7BRed%7D&space;%5Cmathcal&space;L&space;=&space;T%2 7-V=m_%7B0%7Dc%5E%7B2%7D%5Cleft&space;%28&space;1-%5Csqrt%7B1-&space;%5Cbeta&space;%5E%7B2%7D&space;%7D%5Crigh t&space;%29-V%5Cquad&space;%5Cto&space;%5Cquad&space;%289%29%7D



بضرب المعادلة (8) في المقدار:



http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;%5Cbg_white&space;%5Cf rac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B1-%5Cbeta%5E%7B2%7D%7D%7D=%5Cgamma



نجد أن:



http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;%5Cbg_white&space;%5Cg amma&space;%5C;&space;T%27=m_%7B0%7Dc%5E%7B2%7D %5Cleft&space;%28&space;%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqr t%7B1-&space;%5Cbeta&space;%5E%7B2%7D&space;%7D%7D-1%5Cright&space;%29%5Cquad&space;%5Cto&space;%5Cquad&space; %2810%29



وبمقارنة هذه المعادلة بالمعادلة (6)، نستنتج أن:



http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;%5Cbg_white&space;%7B% 5Ccolor%7BBlue%7D&space;T&space;=&space;%5Cgamma&space;%5C; &space;T%27%5Cquad&space;%5Cto&space;%5Cquad&space;%2811%29 %7D



والله أعلى وأعلم



وآخر دعوانا أن الحمد لله رب العالمين
وصلِّ اللهم وبارك على نبي الرحمة سيد ولد أدم أبى القاسم "محمد بن عبد الله" وعلى آله الطيبين الطاهرين وعلى أصحابه الغر الميامين أجمعين وسلم تسليماً كثيراً
لا تنسونا من صالح دعائكم

[محمد ابوزيد]

اشكرك اخى العزيز رجب مصطفى دائما تتحفنا بالاعمال الرائعة والمجهود الوافر والفكر المنظم

واليك هذه الهدية:

http://www.herosh.com/download/8657963/_____.________._______1.pdf.html


اخوكم / محمد ابوزيد

[الصادق]

بارك الله فيك وجزاك خيراً اخي العزيز رجب على هذا العرض الماتع والمميز جداَ

[رجب مصطفى]

اشكرك اخى العزيز رجب مصطفى دائما تتحفنا بالاعمال الرائعة والمجهود الوافر والفكر المنظم

واليك هذه الهدية:

http://www.herosh.com/download/8657963/_____.________._______1.pdf.html


اخوكم / محمد ابوزيد

بارك الله فيك ... أستاذنا الغالي / أبو آية ... ومنكم نتعلم ... وهديتكم مقبولة ... كنت سأقوم بها لولا بعض المشكلات الطارئة في جهازي وفي النت عندي ...


بارك الله فيك وجزاك خيراً اخي العزيز رجب على هذا العرض الماتع والمميز جداَ

بارك الله فيك ... أستاذنا الغالي / الصادق ... ومنكم نتعلم فنحن تلاميذتكم ...

[nuha1423]

بارك الله فيك وجزاك خيرا

شكراً لك

[محمد ابوزيد]

اهلا بك اخى العزيز الغالى رجب مصطفى

حقيقة اعمالك واعمال اخى الصادق واختنا الكريمة تغريد
هى اعمال فريدة لذا ارجو منكم حفظها فى ملفات pdf عليها اسم منتدى الفيزياء التعليمى


اخوكم / محمد ابوزيد

[islam066]

مشكوووووووور
بس ياريت حد يجبلي كتاب عن التفاضل والتكامل غير بتاع الدراسه
ويريت يبعتهولي علي الخاص