الطاقة والزخم ... وتحويلات لورنتز !!!

[رجب مصطفى]

بسم الله الرحمن الرحيم

الحمد لله الذي صدق وعده، ونصر عبده، وأعز جنده، وهزم الأحزاب وحده، والصلاة السلام على من لا نبي بعده، رسولٍه الذي هدى به الأنام، وكشف به شبهات الأوهام، وعلى آله الطيبين الأطهار، وأصحابه المجاهدين الأبرار، الذين أغاظ الله بهم الكفار، وبسط بهم رحمته في جميع الأقطار.


أما بعد:



الطاقة والزخم ... وتحويلات لورنتز !!!

Energy and Momentum in Lorentz Transformations



*** ملحوظة هامة جداً ... هذا الموضوع حصري لـ "منتدى الفيزياء التعليمي"، ومنتدى "ملتقى الفيزيائيين العرب" فقط، غير ذلك سيكون واضعه سارقاً له !!!


وحتى لا أطُيل عليكم ...


عند التحدث عن تحويلات لورنتز تذهب أذهاننا مباشرة إلى التحويلات المكانية والزمنية وتحويلات السرعات ...

ولكن ماذا عن الطاقة وكمية الحركة (الزخم) ؟ هل يمكن الحصول على تحويلات لورنتز للطاقة وكمية الحركة ؟


للإجابة على هذا السؤال ... دعونا نسير مع بعضنا خطوةً خطوة ...


بفرض أن لدينا مرجعان (أو إطاران أو نظامين للإحداثيات) http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;%5Cdpi%7B100%7D&space; %7B%5Ccolor%7BRed%7D&space;S,S%27%7D ، يتحرك أحدهما؛ وليكن المرجع http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;%5Cdpi%7B100%7D&space; %7B%5Ccolor%7BRed%7DS%27%7D ، بسرعة http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;%5Cdpi%7B100%7D&space; %7B%5Ccolor%7BRed%7Dv%7D إلى اليمين في إتجاه المحور السيني http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;%5Cdpi%7B100%7D&space; %7B%5Ccolor%7BRed%7Dx%7D ، بالنسبة للإطار http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;%5Cdpi%7B100%7D&space; %7B%5Ccolor%7BRed%7DS%7D .



http://galileo.phys.virginia.edu/classes/252/energy_p_reln_files/image062.gif



وبفرض أن هناك جسيمٍ ما، كتلته السكونية http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;%5Cdpi%7B100%7D&space; %7B%5Ccolor%7BRed%7Dm_%7B0%7D%7D ، يتحرك بسرعة http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;%5Cdpi%7B100%7D&space; %7B%5Ccolor%7BRed%7Du%7D بالنسبة لراصد أو مراقب في الإطار http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;%5Cdpi%7B100%7D&space; %7B%5Ccolor%7BRed%7DS%7D ، وسرعته بالنسبة لراصد في الإطار http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;%5Cdpi%7B100%7D&space; %7B%5Ccolor%7BRed%7DS%27%7D هي http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;%5Cdpi%7B100%7D&space; %7B%5Ccolor%7BRed%7Du%27%7D .


وعليه فإن طاقة هذا الجسيم، معادلة الطاقة الشهيرة لأينشتاين، في الإطار http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;%5Cdpi%7B100%7D&space; %7B%5Ccolor%7BRed%7DS%7D هي:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;%5Cdpi%7B100%7D&space; %5CLARGE&space;%5Cdpi%7B100%7D&space;E=%5Cfrac% 7Bm_%7B0%7Dc%5E%7B2%7D%7D%7B%5Csqrt %7B1-%5Cfrac%7Bu%5E%7B2%7D%7D%7Bc%5E%7B2 %7D%7D%7D%7D&space;%5Cquad&space;%5Cto&space;%5Cquad&space; %281%29


وطاقة نفس الجسيم، كما يحسبها راصد في الإطار http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;%5Cdpi%7B100%7D&space; %7B%5Ccolor%7BRed%7DS%27%7D ، هي:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;%5Cdpi%7B100%7D&space; %5CLARGE&space;%5Cdpi%7B100%7D&space;E%27=%5Cfr ac%7Bm_%7B0%7Dc%5E%7B2%7D%7D%7B%5Cs qrt%7B1-%5Cfrac%7Bu%27%5E%7B2%7D%7D%7Bc%5E% 7B2%7D%7D%7D%7D&space;%5Cquad&space;%5Cto&space;%5Cqu ad&space;%282%29


حيث السرعة http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;%5Cdpi%7B100%7D&space; %7B%5Ccolor%7BRed%7Du%27%7D تُعطى من تحويلات لورنتز للسرعات من العلاقة:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5CLARGE&space;%5Cdpi%7B100%7D&space; u%27=%5Cfrac%7Bu-v%7D%7B1-%5Cfrac%7Bvu%7D%7Bc%5E%7B2%7D%7D%7D %5Cquad&space;%5Cto&space;%5Cquad&space;%283%29


حيث http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;%5Cdpi%7B100%7D&space; %7B%5Ccolor%7BRed%7Dv%7D ، كما سبق وأن قلنا، هي سرعة الإطار.

يُتبع ...

[رجب مصطفى]

الآن ... بالتعويض من (3) في (2):



http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5CLARGE&space;%5Cdpi%7B100%7D&space; E%27=%5Cfrac%7Bm_%7B0%7Dc%5E%7B2%7D %7D%7B%5Csqrt%7B1-%5Cfrac%7B1%7D%7Bc%5E%7B2%7D%7D%28&space; %5Cfrac%7Bu-v%7D%7B1-%5Cfrac%7Bvu%7D%7Bc%5E%7B2%7D%7D%7D &space;%29%5E%7B2%7D%7D%7D



ومنها:



http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5CLARGE&space;%5Cdpi%7B100%7D&space; E%27=%5Cfrac%7Bm_%7B0%7Dc%5E%7B2%7D %7D%7B%5Cleft&space;%28&space;1/%5Cleft&space;%28&space;1-%5Cfrac%7Bvu%7D%7Bc%5E%7B2%7D%7D&space;%5 Cright&space;%29&space;%5Cright&space;%29%5Csqrt%7B%5 Cleft&space;%28&space;1-%5Cfrac%7Bvu%7D%7Bc%5E%7B2%7D%7D&space;%5 Cright&space;%29%5E%7B2%7D-%5Cleft&space;%28%5Cfrac%7Bu-v%7D%7Bc%7D&space;%5Cright&space;%29%5E%7B2%7D% 7D%7D



أو:



http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5CLARGE&space;%5Cdpi%7B100%7D&space; E%27=%5Cfrac%7Bm_%7B0%7Dc%5E%7B2%7D %5Cleft&space;%28&space;1-%5Cfrac%7Bvu%7D%7Bc%5E%7B2%7D%7D&space;%5 Cright&space;%29%7D%7B%5Csqrt%7B%5Cleft&space;% 28&space;1-%5Cfrac%7Bvu%7D%7Bc%5E%7B2%7D%7D&space;%5 Cright&space;%29%5E%7B2%7D-%5Cleft&space;%28%5Cfrac%7Bu-v%7D%7Bc%7D&space;%5Cright&space;%29%5E%7B2%7D% 7D%7D%5Cquad&space;%5Cto&space;%5Cquad&space;%284%29



لكن:



http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5CLARGE&space;%5Cdpi%7B100%7D&space; %5Cleft&space;%28&space;1-%5Cfrac%7Bvu%7D%7Bc%5E%7B2%7D%7D&space;%5 Cright&space;%29%5E%7B2%7D=1-%5Cfrac%7B2vu%7D%7Bc%5E%7B2%7D%7D+% 5Cfrac%7Bv%5E%7B2%7Du%5E%7B2%7D%7D% 7Bc%5E%7B4%7D%7D



و:



http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5CLARGE&space;%5Cdpi%7B100%7D&space; %5Cleft&space;%28%5Cfrac%7Bu-v%7D%7Bc%7D&space;%5Cright&space;%29%5E%7B2%7D= %5Cfrac%7Bu%5E%7B2%7D%7D%7Bc%5E%7B2 %7D%7D-%5Cfrac%7B2vu%7D%7Bc%5E%7B2%7D%7D+% 5Cfrac%7Bv%5E%7B2%7D%7D%7Bc%5E%7B2% 7D%7D



إذاً:



http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;%5Cdpi%7B120%7D&space; %5Cleft&space;%28&space;1-%5Cfrac%7Bvu%7D%7Bc%5E%7B2%7D%7D&space;%5 Cright&space;%29%5E%7B2%7D-%5Cleft&space;%28%5Cfrac%7Bu-v%7D%7Bc%7D&space;%5Cright&space;%29%5E%7B2%7D= 1-%5Cfrac%7B2vu%7D%7Bc%5E%7B2%7D%7D+% 5Cfrac%7Bv%5E%7B2%7Du%5E%7B2%7D%7D% 7Bc%5E%7B4%7D%7D-%5Cfrac%7Bu%5E%7B2%7D%7D%7Bc%5E%7B2 %7D%7D+%5Cfrac%7B2vu%7D%7Bc%5E%7B2% 7D%7D-%5Cfrac%7Bv%5E%7B2%7D%7D%7Bc%5E%7B2 %7D%7D



ومنها:



http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;%5Cleft&space;%28&space;1-%5Cfrac%7Bvu%7D%7Bc%5E%7B2%7D%7D&space;%5 Cright&space;%29%5E%7B2%7D-%5Cleft&space;%28%5Cfrac%7Bu-v%7D%7Bc%7D&space;%5Cright&space;%29%5E%7B2%7D= 1+%5Cfrac%7Bv%5E%7B2%7Du%5E%7B2%7D% 7D%7Bc%5E%7B4%7D%7D-%5Cfrac%7Bu%5E%7B2%7D%7D%7Bc%5E%7B2 %7D%7D-%5Cfrac%7Bv%5E%7B2%7D%7D%7Bc%5E%7B2 %7D%7D=&space;%5Cleft&space;%28&space;1-%5Cleft&space;%28%5Cfrac%7Bu%7D%7Bc%7D&space;%5 Cright&space;%29%5E%7B2%7D&space;%5Cright&space;%29&space;% 5Cleft&space;%28&space;1-%5Cleft&space;%28%5Cfrac%7Bv%7D%7Bc%7D&space;%5 Cright&space;%29%5E%7B2%7D&space;%5Cright&space;%29



وبالتالي تصبح المعادلة (4) على الصورة:



http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;%5Cdpi%7B100%7D&space; E%27=%5Cfrac%7Bm_%7B0%7Dc%5E%7B2%7D %5Cleft&space;%28&space;1-%5Cfrac%7Bvu%7D%7Bc%5E%7B2%7D%7D&space;%5 Cright&space;%29%7D%7B%5Csqrt%7B%5Cleft&space;% 28&space;1-%5Cleft&space;%28%5Cfrac%7Bu%7D%7Bc%7D&space;%5 Cright&space;%29%5E%7B2%7D&space;%5Cright&space;%29&space;% 5Cleft&space;%28&space;1-%5Cleft&space;%28%5Cfrac%7Bv%7D%7Bc%7D&space;%5 Cright&space;%29%5E%7B2%7D&space;%5Cright&space;%29%7 D%7D=%5Cfrac%7Bm_%7B0%7Dc%5E%7B2%7D-m_%7B0%7Dvu%7D%7B%5Csqrt%7B1-%5Cleft&space;%28%5Cfrac%7Bv%7D%7Bc%7D&space;%5 Cright&space;%29%5E%7B2%7D%7D%5Csqrt%7B1-%5Cleft&space;%28%5Cfrac%7Bu%7D%7Bc%7D&space;%5 Cright&space;%29%5E%7B2%7D&space;%7D%7D



أو:



http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;%5Cdpi%7B100%7D&space; E%27=%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B1-%5Cleft&space;%28%5Cfrac%7Bv%7D%7Bc%7D&space;%5 Cright&space;%29%5E%7B2%7D&space;%7D%7D%5Cleft&space;[%5Cfrac%7Bm_%7B0%7Dc%5E%7B2%7D%7D%7 B%5Csqrt%7B1-%5Cleft&space;%28%5Cfrac%7Bu%7D%7Bc%7D&space;%5 Cright&space;%29%5E%7B2%7D&space;%7D%7D&space;-%5Cfrac%7Bm_%7B0%7Duv%7D%7B%5Csqrt% 7B1-%5Cleft&space;%28%5Cfrac%7Bu%7D%7Bc%7D&space;%5 Cright&space;%29%5E%7B2%7D&space;%7D%7D&space;%5Crigh t&space;]



ولكن:



http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;%5Cdpi%7B100%7D&space; %5Cgamma%5Cequiv&space;%5Cfrac%7B1%7D%7B% 5Csqrt%7B1-%5Cleft&space;%28%5Cfrac%7Bv%7D%7Bc%7D&space;%5 Cright&space;%29%5E%7B2%7D&space;%7D%7D,%5Cquad &space;E=%5Cfrac%7Bm_%7B0%7Dc%5E%7B2%7D%7 D%7B%5Csqrt%7B1-%5Cleft&space;%28%5Cfrac%7Bu%7D%7Bc%7D&space;%5 Cright&space;%29%5E%7B2%7D&space;%7D%7D,&space;%5Cqua d&space;P&space;=%5Cfrac%7Bm_%7B0%7Du%7D%7B%5Cs qrt%7B1-%5Cleft&space;%28%5Cfrac%7Bu%7D%7Bc%7D&space;%5 Cright&space;%29%5E%7B2%7D&space;%7D%7D



إذاً:



http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5CLARGE&space;%5Cdpi%7B120%7D&space; E%27=%5Cgamma%5Cleft&space;%28&space;E-vP&space;%5Cright&space;%29%5Cquad&space;%5Cto&space;%5Cqua d&space;%285%29



يُتبع ...

[رجب مصطفى]

وللحصول على تحويلات لورنتز العكسية Inverse Transformations، أي التحويل من المرجع http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;%5Cdpi%7B100%7D&space; %7B%5Ccolor%7BRed%7DS%27%7D إلى المرجع http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;%5Cdpi%7B100%7D&space; %7B%5Ccolor%7BRed%7DS%7D ، تستبدل السرعة http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;%5Cdpi%7B100%7D&space; %7B%5Ccolor%7BRed%7Dv%7D بالسرعة http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;%5Cdpi%7B100%7D&space; %7B%5Ccolor%7BRed%7D-v%7D ؛ حيث يتحرك المرجع http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;%5Cdpi%7B100%7D&space; %7B%5Ccolor%7BRed%7DS%7D إلى اليسار بالنسبة للمرجع http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;%5Cdpi%7B100%7D&space; %7B%5Ccolor%7BRed%7DS%27%7D ، وبذلك ينتج أن:



http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5CLARGE&space;%5Cdpi%7B120%7D&space; E=%5Cgamma%5Cleft&space;%28&space;E%27+vP%27&space;%5 Cright&space;%29%5Cquad&space;%5Cto&space;%5Cquad&space;%28 5-1%29



وهو المطلوب إثباته.

[رجب مصطفى]

وبالنسبة لكمية الحركة:

وبنفس الطريقة يمكن الحصول على تحويل لورنتز لكمية الحركة، إذا علمنا أن كمية حركة الجسيم، كما يحسبها راصد في الإطار http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;%5Cdpi%7B100%7D&space; %7B%5Ccolor%7BRed%7DS%27%7D ، هي:



http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5CLARGE&space;%5Cdpi%7B120%7D&space; P%27=%5Cfrac%7Bm_%7B0%7Du%27%7D%7B% 5Csqrt%7B1-%5Cfrac%7Bu%27%5E%7B2%7D%7D%7Bc%5E% 7B2%7D%7D%7D%7D&space;%5Cquad&space;%5Cto&space;%5Cqu ad&space;%286%29



والآن بالتعويض من المعادلة (3) في المعادلة (6)، نحصل على العلاقة:



http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;P%27=%5Cfrac%7Bm _%7B0%7D%5Cleft&space;%28&space;%5Cfrac%7Bu-v%7D%7B1-%5Cfrac%7Bvu%7D%7Bc%5E%7B2%7D%7D%7D &space;%5Cright&space;%29%7D%7B%5Csqrt%7B1-%5Cfrac%7B1%7D%7Bc%5E%7B2%7D%7D%28&space; %5Cfrac%7Bu-v%7D%7B1-%5Cfrac%7Bvu%7D%7Bc%5E%7B2%7D%7D%7D &space;%29%5E%7B2%7D%7D%7D=%5Cfrac%7Bm_%7 B0%7D%5Cleft&space;%28&space;u-v&space;%5Cright&space;%29%7D%7B%5Csqrt%7B%5Cle ft&space;%28&space;1-%5Cfrac%7Bvu%7D%7Bc%5E%7B2%7D%7D%5C right&space;%29%5E%7B2%7D-%5Cfrac%7B%5Cleft&space;%28u-v&space;%5Cright&space;%29%5E%7B2%7D%7D%7Bc%5E% 7B2%7D%7D%7D%7D



والتي يمكن إعادة كتابتها على الصورة، بتطبيق الخطوات في الجزء الأول، ...:



http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;P%27=%5Cfrac%7B1 %7D%7B%5Csqrt%7B1-%5Cleft&space;%28%5Cfrac%7Bv%7D%7Bc%7D&space;%5 Cright&space;%29%5E%7B2%7D&space;%7D%7D%5Cleft&space;[%5Cfrac%7Bm_%7B0%7Du%7D%7B%5Csqrt%7 B1-%5Cleft&space;%28%5Cfrac%7Bu%7D%7Bc%7D&space;%5 Cright&space;%29%5E%7B2%7D&space;%7D%7D&space;-%5Cfrac%7Bm_%7B0%7Dv%7D%7B%5Csqrt%7 B1-%5Cleft&space;%28%5Cfrac%7Bu%7D%7Bc%7D&space;%5 Cright&space;%29%5E%7B2%7D&space;%7D%7D&space;%5Crigh t&space;]



أو:



http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5CLARGE&space;%5Cdpi%7B120%7D&space; P%27=%5Cgamma%5Cleft&space;%28&space;P-mv&space;%5Cright&space;%29



ولكن:



http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;%5Cdpi%7B120%7D&space; E=mc%5E%7B2%7D%5Cquad&space;%5CRightarrow &space;%5Cquad&space;m=%5Cfrac%7BE%7D%7Bc%5E%7B 2%7D%7D



إذاً:



http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5CLARGE&space;%5Cdpi%7B120%7D&space; P%27=%5Cgamma%5Cleft&space;%28&space;P-vE/c%5E%7B2%7D&space;%5Cright&space;%29%5Cquad%5Ct o%5Cquad%287%29



أما التحويلة العكسية، فستكون:



http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5CLARGE&space;%5Cdpi%7B120%7D&space; P=%5Cgamma%5Cleft&space;%28&space;P%27+vE%27/c%5E%7B2%7D&space;%5Cright&space;%29%5Cquad%5Ct o%5Cquad%287%29



والله أعلى وأعلم


وآخر دعوانا أن الحمد لله رب العالمين
وصلِّ اللهم وبارك على نبي الرحمة سيد ولد أدم أبى القاسم "محمد بن عبد الله" وعلى آله الطيبين الطاهرين وعلى أصحابه الغر الميامين أجمعين وسلم تسليماً كثيراً
لا تنسونا من صالح دعائكم

[رجب مصطفى]

لتحميل الموضوع في صورة ملف PDF من الرابط التالي:



قبل الضغط والتحميل ... صلِّ على حبيبك المصطفى (صلى الله عليه وسلم) وعلى آله وصحبه أجمعين (http://hazemsakeek.com/up/download.php?id=2723)



في أمان الله

[سعيد الزريجاوي]

شكرا استاذ رجب وبارك الله فيك .

[صادق السعداوي]

شكرا اخ رجب بارك الله فيك على هذا الموضوع حيث كنت بحاجة اليه
ولكن لي رجاء عندك ان امكن ان تقوم برفع مجموعة من المسائل على تحويلات لورنز وغاليلو وكمية الحركة والطاقة
وترفعها الى المنتدى لان هذا الموضوع سيكون ضمن المنهج للصف السادس ولاتتوفر لدي مصادر
فيها حسابات عن النسبية وشكرا

[abdabneh]

شكرررررررررررررررررررا يااستاذ مجهود رائع

[محمد ابوزيد]

اشكرك اخى العزيز رجب ولى عودة ان شاء الله

http://galileo.phys.virginia.edu/classes/252/energy_p_reln.pdf

[محمد ابوزيد]

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/relativ/vec4.html