علاقة عدم التأكد للمتذبذب التوافقي !!!

[رجب مصطفى]

بسم الله الرحمن الرحيم

الحمد لله الذي صدق وعده، ونصر عبده، وأعز جنده، وهزم الأحزاب وحده، والصلاة السلام على من لا نبي بعده، رسوله الذي هدى به الأنام، وكشف به شبهات الأوهام، وعلى آله الطيبين الأطهار، وأصحابه المجاهدين الأبرار، الذين أغاظ الله بهم الكفار، وبسط بهم رحمته في جميع الأقطار


أما بعد:

*** ملحوظة هامة جداً كالعادة ... هذا الموضوع حصري لـ "منتدى الفيزياء التعليمي" فقط، غير ذلك سيكون واضعه سارقاً له !!!



علاقة عدم التأكد للمتذبذب التوافقي

The Uncertainty Relation of the Harmonic Oscillator



من المعروف أن الدالة الموجية المعيارة normalized wavefunction للمتذبذب التوافقي تأخذ الصورة العامة:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;%5Cpsi&space;_%7Bn%7D% 28x%29=%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2 %5E%7Bn%7D&space;%5C;n%21%5Csqrt%7B%5Cpi% 7D%7D%7D&space;%5Cleft&space;%28&space;%5Cfrac%7Bm&space;%5 Comega%7D%7B%5Chbar%7D&space;%5Cright&space;%29 %5E%7B1/4%7D&space;H_%7Bn%7D%5Cleft&space;%28%5Csqrt%7B &space;%5Cfrac%7Bm&space;%5Comega%7D%7B%5Chbar% 7D%7D&space;%5C;x%5Cright&space;%29e%5E%7B-m%5Comega&space;x%5E%7B2%7D/2%5Chbar%7D


ومنها، تكون الدالة الموجية للحالة الأرضية ground state wavefunction هي:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;%5Cpsi&space;_%7B0%7D% 28x%29=%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B% 5Csqrt%7B%5Cpi%7D%7D%7D&space;%5Cleft&space;%28 &space;%5Cfrac%7Bm&space;%5Comega%7D%7B%5Chbar% 7D&space;%5Cright&space;%29%5E%7B1/4%7D&space;e%5E%7B-m%5Comega&space;x%5E%7B2%7D/2%5Chbar%7D


وللحالة الأولى المثارة the first excited state wavefunction:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;%5Cpsi&space;_%7B1%7D% 28x%29=%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D% 7B%5Csqrt%7B%5Csqrt%7B%5Cpi%7D%7D%7 D&space;%5Cleft&space;%28&space;%5Cfrac%7Bm&space;%5Comega% 7D%7B%5Chbar%7D&space;%5Cright&space;%29%5E%7B3/4%7D&space;x&space;%5C;e%5E%7B-m%5Comega&space;x%5E%7B2%7D/2%5Chbar%7D


والذي مربعها هو:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;%5Cleft&space;%7C%5Cps i&space;_%7B1%7D%28x%29&space;%5Cright&space;%7C%5E%7 B2%7D=%5Cfrac%7B2%7D%7B%5Csqrt%7B%5 Cpi%7D%7D&space;%5Cleft&space;%28&space;%5Cfrac%7Bm&space;% 5Comega%7D%7B%5Chbar%7D&space;%5Cright&space;%2 9%5E%7B3/2%7D&space;x%5E%7B2%7D&space;%5C;e%5E%7B-m%5Comega&space;x%5E%7B2%7D/%5Chbar%7D


وعليه، تُصبح القيمة المتوقعة للموضع position expectation value هي:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;%5Cleft&space;%5Clangl e&space;x&space;%5Cright&space;%5Crangle&space;=&space;%5Cint _%7B-%5Cinfty&space;%7D%5E%7B%5Cinfty&space;%7Dx&space;%5C left&space;%7C%5Cpsi&space;_%7B1%7D%28x%29&space;%5Cr ight&space;%7C%5E%7B2%7Ddx


أي:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;%5Cleft&space;%5Clangl e&space;x&space;%5Cright&space;%5Crangle&space;=%5Cfrac%7B2 %7D%7B%5Csqrt%7B%5Cpi%7D%7D&space;%5Cleft &space;%28&space;%5Cfrac%7Bm&space;%5Comega%7D%7B%5Ch bar%7D&space;%5Cright&space;%29%5E%7B3/2%7D&space;%5Cint_%7B-%5Cinfty&space;%7D%5E%7B%5Cinfty&space;%7Dx%5E% 7B3%7D&space;%5C;e%5E%7B-m%5Comega&space;x%5E%7B2%7D/%5Chbar%7D&space;%5C;dx&space;=0


أما القيمة المتوقعة لمربع الموضع square position expectation value ، فهي:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;%5Cleft&space;%5Clangl e&space;x%5E%7B2%7D&space;%5Cright&space;%5Crangle&space;=% 5Cfrac%7B2%7D%7B%5Csqrt%7B%5Cpi%7D% 7D&space;%5Cleft&space;%28&space;%5Cfrac%7Bm&space;%5Comega %7D%7B%5Chbar%7D&space;%5Cright&space;%29%5E%7B 3/2%7D&space;%5Cint_%7B-%5Cinfty&space;%7D%5E%7B%5Cinfty&space;%7Dx%5E% 7B4%7D&space;%5C;e%5E%7B-m%5Comega&space;x%5E%7B2%7D/%5Chbar%7D&space;%5C;dx


ولكن:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;%5Cint_%7B-%5Cinfty&space;%7D%5E%7B%5Cinfty&space;%7Dx%5E% 7B4%7D&space;%5C;e%5E%7B-m%5Comega&space;x%5E%7B2%7D/%5Chbar%7D&space;%5C;dx&space;=&space;%5Cleft&space;%28&space;%5C frac%7B%5Chbar%7D%7Bm&space;%5Comega%7D&space;% 5Cright&space;%29%5E%7B5/2%7D%5C;&space;%5Cleft&space;%28&space;%5Cfrac%7B3%7D %7B4%7D&space;%5Csqrt%7B%5Cpi%7D%5Cright&space; %29


إذاً:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;%5Clarge&space;%5Cleft &space;%5Clangle&space;x%5E%7B2%7D&space;%5Cright&space;%5C rangle&space;=&space;%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D&space;%5Cl eft&space;%28&space;%5Cfrac%7B%5Chbar%7D%7Bm&space;%5 Comega%7D&space;%5Cright&space;%29


ومنها نحصل على مقدار الشك uncertainty في الموضع:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;%5CDelta&space;x&space;=&space;%5C sqrt%7B%5Cleft&space;%5Clangle&space;x%5E%7B2%7 D&space;%5Cright&space;%5Crangle&space;-&space;%5Cleft&space;%5Clangle&space;x&space;%5Cright&space;%5Cra ngle&space;%5E%7B2%7D%7D=&space;%5Csqrt%7B%5Cle ft&space;%5Clangle&space;x%5E%7B2%7D&space;%5Cright&space;% 5Crangle%7D=%5Csqrt%7B&space;%5Cfrac%7B3% 7D%7B2%7D&space;%5Cleft&space;%28&space;%5Cfrac%7B%5C hbar%7D%7Bm&space;%5Comega%7D&space;%5Cright&space;%2 9%7D


يُتبع ...

[رجب مصطفى]

وبنفس الخطوات، مع كمية التحرك momentum، لنحصل على مقدار الشك فيها، والذي سيكون:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;%5CDelta&space;p&space;=&space;%5C sqrt%7B%5Cleft&space;%5Clangle&space;p%5E%7B2%7 D&space;%5Cright&space;%5Crangle&space;-&space;%5Cleft&space;%5Clangle&space;p&space;%5Cright&space;%5Cra ngle&space;%5E%7B2%7D%7D=&space;%5Csqrt%7B%5Cle ft&space;%5Clangle&space;p%5E%7B2%7D&space;%5Cright&space;% 5Crangle%7D=%5Csqrt%7B&space;%5Cfrac%7B3% 7D%7B2%7D%5Cleft&space;%28m&space;%5Comega&space;%5Ch bar&space;%5Cright&space;%29%7D


ملحوظة هامة جداً جداً ... كن حذراً أثناء التفاضل حتى لا تنسى أي رمز، الأمر الذي يؤدي إلى الإخلال النتيجة !!!

والآن ... بالضرب، نحصل على علاقة هايزنبرج Heisenberg للمتذبذب التوافقي لهذه الحالة المثارة:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;%5CDelta&space;x&space;%5C;&space; %5CDelta&space;p&space;=%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%5 C;%5Chbar


وللتعميم ... لأي حالة، أو للحالة النونية nth state، تأخذ هذه العلاقة الصورة:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;%5CDelta&space;x&space;%5C;&space; %5CDelta&space;p&space;=%5Cleft&space;%28n+%5Cfrac%7B 1%7D%7B2%7D&space;%5Cright&space;%29%5C;%5Chbar


هذا ... على وجه السرعة



والله تعالى ... أعلى وأعلم


وآخر دعوانا أن الحمد لله رب العالمين
وصلِّ اللهم وبارك على نبي الرحمة سيد ولد أدم أبى القاسم "محمد بن عبد الله" وعلى آله الطيبين الطاهرين وعلى أصحابه الغر الميامين أجمعين وسلم تسليماً كثيراً
لا تنسونا من صالح دعائكم

[رجب مصطفى]

ملحوظة أخرى ... تم الإستعانة بالتكاملات التالية أثناء الحل:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;%5Cint_%7B-%5Cinfty&space;%7D%5E%7B%5Cinfty&space;%7Dz%5E% 7B2n%7D&space;%5C;e%5E%7B-z%5E%7B2%7D%7D%5C;dz&space;=&space;%5Cfrac%7B1. 3.5....%282n-1%29%7D%7B2%5E%7Bn%7D%7D%5Csqrt%7B% 5Cpi%7D&space;%5Cqquad&space;:&space;n=1,2,3&space;....



http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;%5Cint_%7B-%5Cinfty&space;%7D%5E%7B%5Cinfty&space;%7Dz%5E% 7Bn%7D&space;%5C;e%5E%7B-z%5E%7B2%7D%7D%5C;dz&space;=&space;0%5Cqquad&space;:&space; n%5C;&space;%5Crm&space;odd

[رجب مصطفى]

تطبيق ...


من المعروف أيضاً أن طاقة الوضع للمتذبذب التوافقي، تُعطى من العلاقة:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;V=%5Cfrac%7B1%7D %7B2%7D%5C;k%5C;x%5E%7B2%7D



وبالتالي تكون القيمة المتوقعة لها هي:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;%5Cleft&space;%5Clangl e&space;V&space;%5Cright&space;%5Crangle=%5Cfrac%7B1% 7D%7B2%7D%5C;k%5C;%5Cleft&space;%5Clangle &space;x%5E%7B2%7D&space;%5Cright&space;%5Crangl e


ولكن:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;%5Clarge&space;%5Cleft &space;%5Clangle&space;x%5E%7B2%7D&space;%5Cright&space;%5C rangle&space;=&space;%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D&space;%5Cl eft&space;%28&space;%5Cfrac%7B%5Chbar%7D%7Bm&space;%5 Comega%7D&space;%5Cright&space;%29



إذاً ...


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;%5Cleft&space;%5Clangl e&space;V&space;%5Cright&space;%5Crangle=%5Cfrac%7B1% 7D%7B2%7D%5C;k%5C;%5Cleft&space;%5Clangle &space;x%5E%7B2%7D&space;%5Cright&space;%5Crangle=&space;%5 Cfrac%7B3%7D%7B4%7D%5C;k&space;&space;%5Cleft&space;% 28&space;%5Cfrac%7B%5Chbar%7D%7Bm&space;%5Comeg a%7D&space;%5Cright&space;%29=%5Cfrac%7B3%7D%7B 4%7D%5C;%5Comega%5Chbar


والتي بدورها تساوي القيمة المتوقعة لطاقة الحركة ... إذاً:



http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;%5Cleft&space;%5Clangl e&space;T&space;%5Cright&space;%5Crangle=&space;%5Cfrac%7B3 %7D%7B4%7D%5C;%5Comega%5Chbar



وعليه تصبح الطاقة الكلية للمتذبذب هي:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;E&space;=&space;%5Cleft&space;%5Cl angle&space;T&space;%5Cright&space;%5Crangle&space;+&space;%5Clef t&space;%5Clangle&space;V&space;%5Cright&space;%5Crangle=&space;% 5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%5C;%5Comega%5C hbar


والله أعلى وأعلم

[ولد البحيرات]

آخي رجب وآذآ اردنـآ ايجاد القيمه الذاتيه لكلآ من x , p كيف يسكون طريقه حلهم ؟