الحالة الأرضية (المستقرة) لذرة الهيليوم !

[رجب مصطفى]

بسم الله الرحمن الرحيم

الحمد لله الذي صدق وعده، ونصر عبده، وأعز جنده، وهزم الأحزاب وحده، والصلاة السلام على من لا نبي بعده، رسوله الذي هدى به الأنام، وكشف به شبهات الأوهام، وعلى آله الطيبين الأطهار، وأصحابه المجاهدين الأبرار، الذين أغاظ الله بهم الكفار، وبسط بهم رحمته في جميع الأقطار.


أما بعد:


الحالة الأرضية (المستقرة) لذرة الهيليوم !

The Ground State of the Helium Atom



*** هام جداً كالعادة ... هذا الموضوع حصري لـ "منتدى الفيزياء التعليمي" فقط، غير ذلك سيكون واضعه سارقاً له !!!

المهم ...

تتمتع ذرة الهيليوم بنواة ذات شحنة +2e يدور حولها الإلكترونان، وسنفترض هنا أن النواة في حالة سكون، وسنضع مركز الإحداثيات (نقطة الأصل) على النواة، وسُنميز إحداثيات الإلكترونين 1، 2 كما هو موضح في الشكل التالي:


http://hazemsakeek.com/up/download.php?img=2040


ويجب أن نكون حذرين عند هذه النقطة؛ حيث أن الإلكترونات لا يمكن التمييز بينهم indistinguishable، وإن استخدام الأرقام 1، 2 للتعريف وليس للتمييز !!!

وبتطبيق قانون كولوم، فإن طاقة الوضع لهذا النظام تُعطى بمعرفة المسافات البينية بين الشحنات الثلاث، كالآتي:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C200dpi&space;%5Ctiny&space;V=-%5Cfrac%7B2e%5E%7B2%7D%7D%7Br_%7B1% 7D%7D-%5Cfrac%7B2e%5E%7B2%7D%7D%7Br_%7B2% 7D%7D+%5Cfrac%7Be%5E%7B2%7D%7D%7Br_ %7B12%7D%7D


وباستبدال شحنة النواة 2e بــ Ze حتى يكون الحل عاماً لكل الآيونات المشابهة لذرة الهيليوم:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C200dpi&space;%5Ctiny&space;H%5E%7B-%7D,Li%5E%7B+%7D,Be%5E%7B+2%7D


فإن طاقة الوضع تصبح:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C200dpi&space;%5Ctiny&space;V=-%5Cfrac%7BZe%5E%7B2%7D%7D%7Br_%7B1% 7D%7D-%5Cfrac%7BZe%5E%7B2%7D%7D%7Br_%7B2% 7D%7D+%5Cfrac%7Be%5E%7B2%7D%7D%7Br_ %7B12%7D%7D


حيث يُمثل الحدان الأول والثاني؛ التجاذب بين النواة وكلٌ من الإلكترون "1"، والإلكترون "2"، في حين يُمثل الحد الثالث؛ التنافر بين الإلكترونين !

والمطلوب قد يكون هو الحالات المتاحة للذرة والطاقات المصاحبة لها. وللوصول إلى هذا الهدف يجب أن نحل معادلة شرودنجر لهذا النظام، والتي هي:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C200dpi&space;%5Ctiny&space;%5Chat% 7BH%7D&space;%5Cpsi&space;=&space;E&space;%5Cpsi&space;%5Cto&space;%281 %29


لتصبح:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C200dpi&space;%5Ctiny&space;%5Cleft &space;%28-%5Cfrac%7B%5Chbar%5E%7B2%7D%7D%7B2m %7D%5Cleft&space;%5C%7B&space;%5Cnabla%5E%7B2%7 D_%7B1%7D+%5Cnabla%5E%7B2%7D_%7B2%7 D&space;%5Cright&space;%5C%7D-Ze%5E%7B2%7D%5Cleft&space;%5C%7B&space;%5Cfrac% 7B1%7D%7Br_%7B1%7D%7D+%5Cfrac%7B1%7 D%7Br_%7B2%7D%7D&space;%5Cright&space;%5C%7D+%7 B%5Ccolor%7Bblue%7D&space;%5Cfrac%7Be%5E% 7B2%7D%7D%7Br_%7B12%7D%7D%7D&space;%5Crig ht&space;%29%5Cpsi&space;=&space;E&space;%5Cpsi&space;%5Cto&space;%282% 29


حيث E هي الطاقة الكلية للذرة، والدالة http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C200dpi&space;%5Ctiny&space;%5Cpsi هي الدالة الموجية في المتغيرات الست الخاصة بالإلكترونين، أي:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C200dpi&space;%5Ctiny&space;%5Cpsi&space; =&space;%5Cpsi&space;%28x_%7B1%7D,y_%7B1%7D,z_% 7B1%7D,x_%7B2%7D,y_%7B2%7D,z_%7B2%7 D%29&space;%5Cto&space;%283%29


والسبيل الذي نعلمه لحل مثل المعادلة التفاضلة، المعادلة رقم 2، في عدة متغيرات هو محاولة فصل المتغيرات وتحويل هذه المعادلة إلى عدة معادلات تعتمد كل منها على متغير واحد.

يُتبع ...

[رجب مصطفى]

ولكن وللأسف الشديد، فإن المعادلة السابقة لا يمكن فصلها، ولا يمكن حلها حلاً تحليلياً وذلك بسبب وجود "حد التنافر" (باللون الأزرق) !

فلو لم يكن هذا الحد موجوداً، لكان الهاملتونينان الكلي لآيون الهيليوم عبارة عن مجموع إثنان من الهاملتونيان، أحدهما يؤثر على إحداثيات الإلكترون 1، والثاني على إحداثيات الإلكترون 2 !!!


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C200dpi&space;%5Ctiny&space;%5Chat% 7BH%7D&space;%5Cpsi&space;=&space;E&space;%5Cpsi&space;%5CRightar row&space;%28%5Chat%7BH%7D_%7B1%7D+%5Chat %7BH%7D_%7B2%7D%29%5Cpsi&space;=E%5Cpsi


وذلك ستأخذ الدالة الصورة الجديدة:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C200dpi&space;%5Ctiny&space;%5Cpsi&space; =&space;%5Cpsi_%7B1%7D%28x_%7B1%7D,y_%7B1 %7D,z_%7B1%7D%29&space;.%5Cpsi_%7B2%7D%28 x_%7B2%7D,y_%7B2%7D,z_%7B2%7D%29


كما أن الطاقة الكلية ستكون:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C200dpi&space;%5Ctiny&space;E=E_%7B 1%7D+E_%7B2%7D


ولحل المعضلة، المعادلة 2، تخضع ذرة الهيليوم لنوعين من المعالجات، إحداهما تعتمد على نظرية الإضطراب، والأخرى تعتمد على مبدأ التغير !

يُتبع ...

[رجب مصطفى]

معالجة مبنية على نظرية الإضطراب Perturbation Treatment:

وفي هذه الطريقة، لابد من فصل الهاملتونيان إلى قسمين، على النحو التالي:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C200dpi&space;%5Ctiny&space;%5Chat% 7BH%7D=%5Chat%7BH%7D%5E%7B0%7D+%5Ch at%7BH%7D%5E%7B1%7D%5Cto&space;%284%29


حيث يُمثل:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C200dpi&space;%5Ctiny&space;%5Chat% 7BH%7D%5E%7B0%7D=-%5Cfrac%7B%5Chbar%5E%7B2%7D%7D%7B2m %7D%5Cleft&space;%5C%7B&space;%5Cnabla%5E%7B2%7 D_%7B1%7D+%5Cnabla%5E%7B2%7D_%7B2%7 D&space;%5Cright&space;%5C%7D-Ze%5E%7B2%7D%5Cleft&space;%5C%7B&space;%5Cfrac% 7B1%7D%7Br_%7B1%7D%7D+%5Cfrac%7B1%7 D%7Br_%7B2%7D%7D&space;%5Cright&space;%5C%7D


الجزء غير المضطرب Unperturbed، في حين يُمثل:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C200dpi&space;%5Ctiny&space;%5Chat% 7BH%7D%5E%7B1%7D=%5Cfrac%7Be%5E%7B2 %7D%7D%7Br_%7B12%7D%7D%5Cto&space;%285%29


الجزء المضطرب perturbed منه.

والآن ... سنعمل على الحل ... فللجزء الأول غير المضطرب، فحله سهل ومعروف، بطريقة فصل المتغيرات، كما بيَّنا سابقاً، ليكون:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C200dpi&space;%5Ctiny&space;%5Chat% 7BH%7D%5E%7B0%7D&space;%5Cpsi%5E%7B0%7D=&space; E%5E%7B0%7D%5Cpsi%5E%7B0%7D


حيث:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C200dpi&space;%5Ctiny&space;%5Cpsi% 5E%7B0%7D%281,2%29=%5Cpsi%5E%7B0%7D %281%29.%5Cpsi%5E%7B0%7D%282%29


و:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C200dpi&space;%5Ctiny&space;E%5E%7B 0%7D=E%5E%7B0%7D_%7B1%7D+E%5E%7B0%7 D_%7B2%7D


لنحصل على:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C200dpi&space;%5Ctiny&space;%5Cfrac %7B%5Chbar%5E%7B2%7D%7D%7B2m%7D%5Cn abla%5E%7B2%7D_%7B1%7D%5Cpsi%5E%7B0 %7D%281%29+%5Cleft&space;%28E%5E%7B0%7D_% 7B1%7D+%5Cfrac%7BZe%5E%7B2%7D%7D%7B r_%7B1%7D%7D&space;%5Cright&space;%29%5Cpsi%5E% 7B0%7D%281%29=0



http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C200dpi&space;%5Ctiny&space;%5Cfrac %7B%5Chbar%5E%7B2%7D%7D%7B2m%7D%5Cn abla%5E%7B2%7D_%7B2%7D%5Cpsi%5E%7B0 %7D%282%29+%5Cleft&space;%28E%5E%7B0%7D_% 7B2%7D+%5Cfrac%7BZe%5E%7B2%7D%7D%7B r_%7B2%7D%7D&space;%5Cright&space;%29%5Cpsi%5E% 7B0%7D%282%29=0


وهذه معادلة شرودنجر لذرات شبيه بالهيدروجين ذات شحنة نووية Ze.

وتكون الدالة الموجية لأيها، هي المقابلة للحالة الأرضية أو المقابلة للدرجة الصفرية لذرة الهيدرجين، أي الحالة 1s، وعليه:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C200dpi&space;%5Ctiny&space;%5Cpsi% 5E%7B0%7D_%7B1s%7D%281%29=%5Cfrac%7 B1%7D%7B%5Csqrt%7B%5Cpi%7D%7D%5Clef t&space;%28%5Cfrac%7BZ%7D%7Ba_%7B0%7D%7D&space; %5Cright&space;%29%5E%7B3/2%7De%5E%7B-Zr_%7B1%7D/a_%7B0%7D%7D



http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C200dpi&space;%5Ctiny&space;%5Cpsi% 5E%7B0%7D_%7B1s%7D%282%29=%5Cfrac%7 B1%7D%7B%5Csqrt%7B%5Cpi%7D%7D%5Clef t&space;%28%5Cfrac%7BZ%7D%7Ba_%7B0%7D%7D&space; %5Cright&space;%29%5E%7B3/2%7De%5E%7B-Zr_%7B2%7D/a_%7B0%7D%7D


إذاً:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C200dpi&space;%5Ctiny&space;%5Cpsi% 5E%7B0%7D_%7B1s%7D%281,2%29=&space;%5Cpsi %5E%7B0%7D_%7B1s%7D%281%29.%5Cpsi%5 E%7B0%7D_%7B1s%7D%282%29


أو:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C200dpi&space;%5Ctiny&space;%7B%5Cc olor%7Bred%7D&space;%5Cpsi%5E%7B0%7D_%7B1 s%7D=%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cpi%7D%5Cle ft&space;%28%5Cfrac%7BZ%7D%7Ba_%7B0%7D%7D &space;%5Cright&space;%29%5E%7B3%7De%5E%7B-Zr_%7B1%7D/a_%7B0%7D%7De%5E%7B-Zr_%7B2%7D/a_%7B0%7D%7D%7D%5Cto&space;%286%29


يُتبع ...

[رجب مصطفى]

وعليه، نستطيع حساب التصحيح من الدرجة الأولى في الطاقة كما يلي:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C200dpi&space;%5Ctiny&space;E%5E%7B 1%7D=%5Cleft&space;%5Clangle&space;%5Chat%7BH%7 D%5E%7B1%7D&space;%5Cright&space;%5Crangle=%5Ci nt&space;%28%5Cpsi%5E%7B0%7D_%7B100%7D%29 %5E%7B%5Cast%7D%5Chat%7BH%5E%7B1%7D %7D%28%5Cpsi%5E%7B0%7D_%7B100%7D%29 &space;d%5Ctau


وبالتعويض بالمعادلتين 5، 6 ... نجد أن:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C200dpi&space;%5Ctiny&space;E%5E%7B 1%7D=%5Cfrac%7Be%5E%7B2%7D%7D%7B%5C pi%5E%7B2%7D%7D%5Cleft&space;%28&space;%5Cfrac% 7BZ%7D%7Ba_%7B0%7D%7D&space;%5Cright&space;%29% 5E%7B6%7D%5Cint&space;%5Cfrac%7Be%5E%7B-2Zr_%7B1%7D/a_%7B0%7D%7De%5E%7B-2Zr_%7B2%7D/a_%7B0%7D%7D%7D%7Br_%7B12%7D%7D&space;d%5 Ctau


وللسهولة في الكتابة، سنضع المقدار:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C200dpi&space;%5Ctiny&space;%5Cfrac %7B2Z%7D%7Ba_%7B0%7D%7D=%5Calpha%5C Rightarrow&space;%5Cleft&space;%28%5Cfrac%7BZ%7 D%7Ba_%7B0%7D%7D&space;%5Cright&space;%29%5E%7B 6%7D=%5Cfrac%7B%5Calpha%5E%7B6%7D%7 D%7B64%7D


وعليه ستأخذ المعادلة الأخيرة الصورة:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C200dpi&space;%5Ctiny&space;E%5E%7B 1%7D=%5Cfrac%7Be%5E%7B2%7D%5Calpha% 5E%7B6%7D%7D%7B64%5Cpi%5E%7B2%7D%7D %5Cint&space;%5Cfrac%7Be%5E%7B-%5Calpha&space;r_%7B1%7D%7De%5E%7B-%5Calpha&space;r_%7B2%7D%7D%7D%7Br_%7B12% 7D%7D&space;d%5Ctau%5Crightarrow&space;%287%29


وهنا تظهر مشكلة عنصر الحجم، فهكذا تكامل يُعرف بـ "التكاملات الحجمية المزدوجة Double Volume Integrals" لإحتوائه على المتغير http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C200dpi&space;%5Ctiny&space;r_%7B12 %7D ، فهو سيأخذ الصورة:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C200dpi&space;%5Ctiny&space;d%5Ctau =r%5E%7B2%7D_%7B1%7Ddr_%7B1%7D%5Csi n&space;%5Ctheta_%7B1%7D&space;d%5Ctheta_%7B1%7 Dd%5Cphi_%7B1%7D.r%5E%7B2%7D_%7B2%7 Ddr_%7B2%7D%5Csin&space;%5Ctheta_%7B2%7D&space; d%5Ctheta_%7B2%7Dd%5Cphi_%7B2%7D%5C rightarrow&space;%288%29


والذي يمكن إعادة كتابته بدلالة المتغير http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C200dpi&space;%5Ctiny&space;r_%7B12 %7D ، بالإستعانة بالشكل التالي، ليصبح:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C200dpi&space;%5Ctiny&space;d%5Ctau =r%5E%7B2%7D_%7B1%7Ddr_%7B1%7D%5Csi n&space;%5Ctheta_%7B1%7D&space;d%5Ctheta_%7B1%7 Dd%5Cphi_%7B1%7D.r%5E%7B2%7D_%7B12% 7Ddr_%7B12%7D%5Csin&space;%5Cpsi&space;d%5Cpsi&space; d%5Cchi&space;%5Crightarrow&space;%288-1%29


عفواً ... المتغير "إبساي" في المعادلة الأخيرة يُمثل ((الزاوية)) الموضحة بالشكل، وليس هو ((الدالة الموجية)) !!!


http://hazemsakeek.com/up/download.php?img=2094


يُتبع ...

[رجب مصطفى]

وباستخدام "قانون جيب التمام Law of Cosine"، نجد أن:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C200dpi&space;%5Ctiny&space;r%5E%7B 2%7D_%7B2%7D=r%5E%7B2%7D_%7B1%7D+r% 5E%7B2%7D_%7B12%7D-2r_%7B1%7Dr_%7B12%7D%5Ccos&space;%5Cpsi


وبتفاضل هذه المعادلة بالنسبة للزاوية "إبساي"، مع الإحتفاظ بـ http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C200dpi&space;%5Ctiny&space;r_%7B1% 7D,r_%7B12%7D ثابتين


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C200dpi&space;%5Ctiny&space;2r_%7B2 %7Ddr_%7B2%7D=-2r_%7B1%7Dr_%7B12%7D%28-%5Csin&space;%5Cpsi%29d%5Cpsi%5CRightarro w&space;r_%7B2%7Ddr_%7B2%7D=r_%7B1%7Dr_%7 B12%7D%5Csin&space;%5Cpsi&space;d%5Cpsi


أو:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C200dpi&space;%5Ctiny&space;%5Csin&space; %5Cpsi&space;d%5Cpsi=%5Cfrac%7Br_%7B2%7D% 7D%7Br_%7B1%7Dr_%7B12%7D%7Ddr_%7B2% 7D


والآن ... بالتعويض في معادلة عنصر الحجم المعدلة:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C200dpi&space;%5Ctiny&space;d%5Ctau =r%5E%7B2%7D_%7B1%7Ddr_%7B1%7D%5Csi n&space;%5Ctheta_%7B1%7D&space;d%5Ctheta_%7B1%7 Dd%5Cphi_%7B1%7D.r%5E%7B2%7D_%7B12% 7Ddr_%7B12%7D%5Cfrac%7Br_%7B2%7D%7D %7Br_%7B1%7Dr_%7B12%7D%7Ddr_%7B2%7D &space;d%5Cchi&space;


والتي ستصبح، بعد تكامل الزوايا وإجراء إختصار بسيط، على الصورة:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C200dpi&space;%5Ctiny&space;d%5Ctau =%282%29%282%5Cpi%29%282%5Cpi%29r_% 7B1%7Ddr_%7B1%7Dr_%7B2%7Ddr_%7B2%7D r_%7B12%7Ddr_%7B12%7D


إذاً ... بالتعويض في المعادلة 7 ... نجد أنفسنا أمام التكامل الثلاثي التالي:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C200dpi&space;%5Ctiny&space;E%5E%7B 1%7D=%5Cfrac%7Be%5E%7B2%7D%5Calpha% 5E%7B6%7D%7D%7B8%7D%5Cint%5Cint%5Ci nt&space;&space;e%5E%7B-%5Calpha&space;r_%7B1%7D%7D&space;e%5E%7B-%5Calpha&space;r_%7B2%7D%7Dr_%7B1%7Ddr_%7 B1%7Dr_%7B2%7Ddr_%7B2%7Ddr_%7B12%7D &space;%5Crightarrow&space;%289%29


يُتبع ...

[رجب مصطفى]

والآن ... تبقى لنا مشكلة حدود أو مدى التكاملات الثلاث، فهي كما هو معروف:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C200dpi&space;%5Ctiny&space;0&space;%5Cle q&space;r_%7B1%7D%5Cleq&space;%5Cinfty,%5Cqquad &space;0&space;%5Cleq&space;r_%7B2%7D%5Cleq&space;%5Cinfty, %5Cqquad&space;%5Cleft&space;%7C&space;r_%7B2%7D-r_%7B1%7D&space;%5Cright&space;%7C&space;%5Cleq&space;r_%7B 12%7D%5Cleq&space;r_%7B2%7D+r_%7B1%7D


وهنا ... تجبرنا إشارة القيمة المطلقة لنهاية http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C200dpi&space;%5Ctiny&space;r_%7B12 %7D أن نُقسم التكامل على http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C200dpi&space;%5Ctiny&space;r_%7B2% 7D إلى جزئين: الأول: http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C200dpi&space;%5Ctiny&space;r_%7B2% 7D%3E&space;r_%7B1%7D ، والثاني: http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C200dpi&space;%5Ctiny&space;r_%7B2% 7D%3C&space;r_%7B1%7D !!!

وعليه ستكون النهاية السفلى للمتغير http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C200dpi&space;%5Ctiny&space;r_%7B12 %7D في المنطقة الأولى هي http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C200dpi&space;%5Ctiny&space;r_%7B2% 7D-&space;r_%7B1%7D ، وفي المنطقة الثانية هي http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C200dpi&space;%5Ctiny&space;r_%7B1% 7D-&space;r_%7B2%7D !!!

وبالتالي سيصبح التكامل على الصورة:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C200dpi&space;%5Ctiny&space;%5Cint% 5E%7B%5Cinfty&space;%7D_%7B0%7De%5E%7B-%5Calpha&space;r_%7B1%7D%7Dr_%7B1%7Ddr_%7 B1%7D%5Ctimes%5Cint%5E%7B%5Cinfty&space;% 7D_%7Br_%7B1%7D%7De%5E%7B-%5Calpha&space;r_%7B2%7D%7Dr_%7B2%7Ddr_%7 B2%7D%5Ctimes%5Cint%5E%7Br_%7B2%7D+ r_%7B1%7D%7D_%7Br_%7B2%7D-r_%7B1%7D%7Ddr_%7B12%7D&space;+...



http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C200dpi&space;%5Ctiny&space;%5Cint% 5E%7B%5Cinfty&space;%7D_%7B0%7De%5E%7B-%5Calpha&space;r_%7B2%7D%7Dr_%7B2%7Ddr_%7 B2%7D%5Ctimes%5Cint%5E%7B%5Cinfty&space;% 7D_%7Br_%7B2%7D%7De%5E%7B-%5Calpha&space;r_%7B1%7D%7Dr_%7B1%7Ddr_%7 B1%7D%5Ctimes%5Cint%5E%7Br_%7B1%7D+ r_%7B2%7D%7D_%7Br_%7B1%7D-r_%7B2%7D%7Ddr_%7B12%7D&space;=


ولحله ... يجب إعادة كتابته على النحو التالي (التكاملين الثلاثيين متساويان ... وسنرى هذا الآن) ...

يُتبع ...

[رجب مصطفى]

بالنسبة للحد الأول:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C200dpi&space;%5Ctiny&space;%5Cint% 5E%7B%5Cinfty&space;%7D_%7B0%7D%5Cleft&space;%2 8%5Cint%5E%7B%5Cinfty&space;%7D_%7Br_%7B1 %7D%7D%5Cleft&space;%28%5Cint%5E%7Br_%7B2 %7D+r_%7B1%7D%7D_%7Br_%7B2%7D-r_%7B1%7D%7Ddr_%7B12%7D&space;%5Cright&space;%2 9e%5E%7B-%5Calpha&space;r_%7B2%7D%7Dr_%7B2%7Ddr_%7 B2%7D&space;%5Cright&space;%29e%5E%7B-%5Calpha&space;r_%7B1%7D%7Dr_%7B1%7Ddr_%7 B1%7D


حيث:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C200dpi&space;%5Ctiny&space;%5Cint% 5E%7Br_%7B2%7D+r_%7B1%7D%7D_%7Br_%7 B2%7D-r_%7B1%7D%7Ddr_%7B12%7D=2r_%7B1%7D


و:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C200dpi&space;%5Ctiny&space;%5Cint% 5E%7B%5Cinfty&space;%7D_%7Br_%7B1%7D%7De% 5E%7B-%5Calpha&space;r_%7B2%7D%7Dr_%7B2%7Ddr_%7 B2%7D=%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Calpha%7Dr _%7B1%7De%5E%7B-%5Calpha&space;r_%7B1%7D%7D+%5Cfrac%7B1%7 D%7B%5Calpha%5E%7B2%7D%7De%5E%7B-%5Calpha&space;r_%7B1%7D%7D


من خلال التكامل بالتجزئ ... إذا:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C200dpi&space;%5Ctiny&space;2r_%7B1 %7D%5Ctimes%5Cleft&space;%28%5Cfrac%7B1%7 D%7B%5Calpha%7Dr_%7B1%7De%5E%7B-%5Calpha&space;r_%7B1%7D%7D+%5Cfrac%7B1%7 D%7B%5Calpha%5E%7B2%7D%7De%5E%7B-%5Calpha&space;r_%7B1%7D%7D&space;%5Cright&space;%29= %5Cfrac%7B2%7D%7B%5Calpha%7Dr_%7B1% 7D%5E%7B2%7De%5E%7B-%5Calpha&space;r_%7B1%7D%7D+%5Cfrac%7B2%7 D%7B%5Calpha%5E%7B2%7D%7Dr_%7B1%7De %5E%7B-%5Calpha&space;r_%7B1%7D%7D


والخطوة الأخيرة ... هي ضرب المقدار السابق في الجزء الباقي من التكامل، لنحصل على:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C200dpi&space;%5Ctiny&space;%5Cfrac %7B2%7D%7B%5Calpha%7D%5Cint%5E%7B%5 Cinfty&space;%7D_%7B0%7Dr_%7B1%7D%5E%7B3% 7De%5E%7B-2%5Calpha&space;r_%7B1%7D%7Ddr_%7B1%7D+%5 Cfrac%7B2%7D%7B%5Calpha%5E%7B2%7D%7 D%5Cint%5E%7B%5Cinfty&space;%7D_%7B0%7Dr% 5E%7B2%7D_%7B1%7De%5E%7B-2%5Calpha&space;r_%7B1%7D%7D&space;dr_%7B1%7D


وحل هذا التكامل يتم ببساطة عن طريق "دالة جاما" Gamma Function ، ليكون:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C200dpi&space;%5Ctiny&space;%5Cfrac %7B2%7D%7B%5Calpha%7D%5Cfrac%7B3%21 %7D%7B%282%5Calpha%29%5E%7B4%7D%7D+ %5Cfrac%7B2%7D%7B%5Calpha%5E%7B2%7D %7D%5Cfrac%7B2%21%7D%7B%282%5Calpha %29%5E%7B3%7D%7D=%5Cfrac%7B5%7D%7B4 %5Calpha%5E%7B5%7D%7D


وبنفس الطريقة نجد أن الحد الثاني سيساوي نفس المقدار، وعليه تصبح قيمة التكامل الثلاثي الكلي هو:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C200dpi&space;%5Ctiny&space;%5Cint% 5Cint%5Cint&space;&space;e%5E%7B-%5Calpha&space;r_%7B1%7D%7D&space;e%5E%7B-%5Calpha&space;r_%7B2%7D%7Dr_%7B1%7Ddr_%7 B1%7Dr_%7B2%7Ddr_%7B2%7Ddr_%7B12%7D =%5Cfrac%7B10%7D%7B4%5Calpha%5E%7B5 %7D%7D=%5Cfrac%7B5%7D%7B2%5Calpha%5 E%7B5%7D%7D


يُتبع ...

[رجب مصطفى]

وسيكون مقدار التصحيح في الطاقة هو:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C200dpi&space;%5Ctiny&space;E%5E%7B 1%7D=%5Cfrac%7Be%5E%7B2%7D%5Calpha% 5E%7B6%7D%7D%7B8%7D%5Ctimes%5Cfrac% 7B5%7D%7B2%5Calpha%5E%7B5%7D%7D=%5C frac%7B5e%5E%7B2%7D%5Calpha%7D%7B16 %7D=%5Cfrac%7B5e%5E%7B2%7D%7D%7B16% 7D%5Cleft&space;%28%5Cfrac%7B2Z%7D%7Ba_%7 B0%7D%7D&space;%5Cright&space;%29


وفي النهاية، نجد أن:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C200dpi&space;%5Ctiny&space;E%5E%7B 1%7D=%5Cfrac%7B5%7D%7B8%7D%5Cfrac%7 BZe%5E%7B2%7D%7D%7Ba_%7B0%7D%7D


وأخيراً ... نجد أن طاقة الحالة الأرضية لذرة الهيليوم، شاملة المقدار الناتج عن التنافر بين الإلكترونين، هي:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C200dpi&space;%5Ctiny&space;E=E%5E% 7B0%7D+E%5E%7B1%7D=-%5Cfrac%7BZ%5E%7B2%7De%5E%7B2%7D%7D %7Ba_%7B0%7D%7D+%5Cfrac%7B5%7D%7B8% 7D%5Cfrac%7BZe%5E%7B2%7D%7D%7Ba_%7B 0%7D%7D=-%5Cfrac%7B11%7D%7B4%7D%5Cfrac%7Be%5 E%7B2%7D%7D%7Ba_%7B0%7D%7D=-74.4&space;%5C;%5Crm&space;eV


وهذه النتائج الأخيرة تحتوي على خطأ في الطاقة لا يتجاوز 5% ... وهذا يعتبر تحسناً حقيقياً وملموساً عن النتائج السابقة (نتائج الرتبة الصفرية للإضطراب والتي كانت - 108.8 إلكترون فولت) ... وبالتالي يمكننا الإستمرار في تحسين هذه النتيجة بحساب التصحيح من الدرجة الثانية والثالثة وهكذا ...

تم بحمد الله هذا الجزء ...


وآخر دعوانا أن الحمد لله رب العالمين
وصلِّ اللهم وبارك على نبي الرحمة سيد ولد أدم أبى القاسم "محمد بن عبد الله" وعلى آله الطيبين الطاهرين وعلى أصحابه الغر الميامين أجمعين وسلم تسليماً كثيراً
لا تنسونا من صالح دعائكم

[@ssi@]

الله يجزيك كل خير على هذا الإبداع والإتقان أولا أما شرحك المفصل فبأي كلمة سأعبر .... لكن لم استطع قراءته رغم أني انتظرته بصبر كبير سأحاول قراءته لاحقا قريبا جدا لأني الآن في حالة ضغط قاهرة جدا والله يفرج علينا

[khaled 442]

الله اكبر عليك يا دكتور
ربنا يبارك فيك

[احمد صلاح]

دراسة جميلة وحل معادلة شرودنجر بطريقة رياضية متكاملة ايضا يمكن استخدام الثنائي القضب لحل هذه المعادلات ودراسة الاستقطاب وطبعا باستخدام ميكانيكا الكم اصبح التفسير الكمي للذرات اكثر بساطة واكثر وضوح وايضا الدالة الموجية يمكن ان تفسر عديد من الخصائص شكرا لك